福建省厦门海沧实验中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

2023—2024学年第一学期

高二10月阶段性检测数学试题

满分：150 分 考试时间：120分钟

一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知向量，，且，则（    ）

A．10 B．-10 C．4 D．-4

2．平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（    ）

A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定

3．已知为空间任意一点，若，则四点（    ）

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断

4．设 ,其中 是两两垂直的单位向量,若 ,则实数λ,μ,v的值分别是 (    )

A.1,-2,3           B.-2,1,-3             C.-2,1,3             D.-1,2,3

5．在四面体中，点在上，且，为中点，则=（    ）

A．                  B．

C．                 D．

6．已知四边形满足，，，，则该四边形为（    ）．

A．平行四边形 B．梯形

C．长方形 D．空间四边形

7．已知正四棱柱中，，为的中点，则异面直线与所形成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．3

二、多选题：本题共 4小题，每小题5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0 分．

9．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

10．设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则

B．则两两共面，但不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．则一定能构成空间的一个基底

11．若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）.

A．4 B．5 C．6 D．7

12．如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．是等边三角形

C．与所成的角为

D．与平面所成的角为

三、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．

13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是  ．

14．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是           .

15．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为          .

16．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为           .

四、解答题：本题共 6小题，共90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，，且．

(1)求c的值；

(2)若与互相垂直，求实数k的值．

18．如图，已知正方体，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：

(1)；

(2)

(3)

19．如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．

(1)求直线到直线的距离；

(2)求点到平面的距离．

20．（如图，已知六面体的面为梯形，，，，，棱平面，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

21．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值；

22．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.

 2023—2024学年第一学期高二10月月考试数学试题参考答案

1~8：DABBBDCC；9~12：AC、BCD 、CD 、ABC ；

13．；14．；15．；16．2.

12.解：如图所示对于A，取的中点，连接，折叠是等腰直角三角形，，，又,所以平面，平面，所以，故A项正确；对于B，设折叠前正方形的边长为，则，，由平面平面，因为是的中点，是等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面，所以平面,平面，所以,所以，所以是等边三角形，故B项正确；对于C，设折叠前正方形的边长为，则取的中点的中点，连接，，所以所以是直线与所成的角（或补角），

在中，，所以是等边三角形，所以，

所以与所成的角为，故C项正确；对于D，由B 选项知，平面,是直线在平面内的射影，所以是直线与平面所成的角，因为是的中点，是等腰直角三角形，所以，，所以是等腰直角三角形；即，所以与平面所成的角为，故项错误.

16：解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，

，又，

得即；又平面，为与平面所成角，令，

当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.

17．(1)；(2) 解：（1），所以，解得：；（2）当时，，，因为与互相垂直，所以，解得：；当时，，因为与互相垂直，所以，解得：，综上：.

18．(1)；(2)；(3)

解：（1），.  

（2，.

（3），.

  19．(1)；(2)

解：（1）建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则，

，（1），故，设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；∴则直线到直线的距离为．             

（2）设平面的法向量为，由 令，则，所以设点到平面的距离为，，则点到平面的距离为．

20．（1）见详解；（2）

解：（1）因为平面ABCD，所以，，且，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以

设平面的法向量为，则，令，解得，故，所以，故，又平面，所以平面.

（2）由（1）得设平面的法向量为则，令，解得，故所以，设直线与平面所成的角为，则又，所以.

21．(1)证明见解析；(2)

（2）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，

，所以，，因为，所以，所以，即，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，易知平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.

22．(1)证明见解析；(2)存在，点是线段的中点

（1）证明：连接，取线段的中点，连接，

在Rt中，，，

在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.

（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，

则，设平面的法向量为，则，令，则，由已，

解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.