福建省厦门集美中学2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试题（含答案）

福建省厦门市集美中学2024届第一学期第二次质量检测 数学

满分: 150分  时间120分

一 单项选择题（共计8道小题，每题5分，共40分）

1. 已知向量 是单位向量, 且,则向量与的夹角是（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

2. 过 的直线方程是（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

3. 在平行六面体 中,​, 则（    ）

A.​ B.​             C.​ D.​

4. 直线 ​的图象可能是（    ）

A. B.  C. D.

5. 已知圆 ​, 则当圆的面积最小时, 圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

6. 由直线 上的一点向圆​引切线, 则切线长的最小值为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

7. 已知圆 ​, 点​为直线上一个动点, 过点作圆的两条切线, 切点分别为, 则四边形周长的最小值为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

8. 已知直线 y=kx+m(m为常数) 与圆​交于点M,N, 当k变化时, 若​的最小值为​, 则m=（    ）

A.​ B.​     C.​ D.​

二 多项选择题（共计4道小题，每题5分，共20分）

9. 已知直线 ​, 则下列结论正确的是（    ）

A.直线 的倾斜角是      B.若直线 , 则​

C.点 到直线的距离是​

D.过 与直线平行的直线方程是​

10. 若直线 将圆平分, 且在两坐标轴上的截距相等, 则直线的方程为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

11. 已知点 ​在圆上, 点​, 则（    ）

A.点 到直线的距离小于​     B.点 到直线的距离大于​

C.当 最小时,​  D.当 最大时,​

12.在长方体 ​中,为线段上的动点, 则（    ）

A.当 为的中点时,的周长最小

B.三棱锥 的体积为定值

C.在线段 上存在点,使得​

D.在线段 上有且仅有一个点,使得​

三 填空题 （共4道小题，每题5分，共20分）

13. 直线 过点​, 且与直线​平行, 则直线的一般式方程为______.

14.已知直线 与的方程分别为. 若,则___.

15. 直线 ​和的位置关系是___________.

16.已知动点 ​满足为坐标原点, 则的最大值为_________.

四 解答题（共计6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. （本题满分10分）在 中,​.

(1)求 ​;(2)若点 在上, 且,求点的坐标.

18. （本题满分12分）已知圆 上的一定点,点为圆内一点,为圆上的动点.

(1)求线段 中点的轨迹方程;

(2)若 , 求线段中点的轨迹方程.

19. （本题满分12分） 已知平面内三点 ​.

(1)若直线 经过点且与线段有交点, 求直线的倾斜角的取值范围;

(2)若直线 经过点,且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为, 求直线的方程.

20. （本题满分12分）设 是坐标原点,直线与圆交于两点.

(1)求线段中点的坐标;(2)若 ,求该圆的面积.

21. （本题满分12分）如图, 在平面直角坐标系 中, 点, 直线​, 设圆的半径为, 圆心在上.

(1) 若圆心 也在直线上, 过点​作圆的切线, 求切线方程;

(2) 若圆 上存在点,使, 求圆心的横坐标的取值范围.

22. （本题满分12分）如图, 直三棱柱的体积为的面积为​.

(1)求 到平面的距离;

(2)设 为的中点,, 平面平面, 求二面角的正弦值.

福建省厦门市集美中学2024届第一学期第二次质量检测 数学参考答案及解析

满分: 150分  时间120分

一 单项选择题（共计8道小题，每题5分，共40分）

1.  【答案】B

 【解析】设向量 的夹角为,为单位向量,

​,​​,即 ​, 解得​.

2.  【答案】B

 【解析】因为所求直线过点 ​, 所以直线方程为​, 即​

3.  【答案】C

 【解析】​

​

​,

又​

​即为 ​,可得 ​.

4.  【答案】D

 【解析】将 ​化为​,

将 ​化为​.

对于 , 若图象正确, 则​,图象经过第一、二、四象限,不正确;

对于 , 若图象正确, 则​,

图象经过第一、二、三象限,​不正确;

对于 , 若图象正确, 则​

图象经过第一、二、四象限,​不正确;

对于 , 若图象正确, 则​,

图象经过第二、三、四象限,正确.

5.  【答案】D

 【解析】根据题意, 圆 ​, 变形可得​.

则其圆心为 , 半径​,

当圆 的面积最小时, 必有, 此时​.

圆 的方程为​,

圆心 到原点为距离​,

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 .故选 D.

6.  【答案】A

 【解析】将圆方程化为标准方程得:​得到圆心 , 半径​,

​圆心到直线的距离​​切线长的最小值为:​

7.  【答案】A

 【解析】圆 ​的圆心坐标为, 半径为,

因为过点 作圆的两条切线, 切点分别为,​

所以有

因此有​

要想四边形 周长最小, 只需最小, 即当​时，

此时 ​, 此时​,

即最小值为 ​,

8.  【答案】C

 【解析】设圆心到直线的距离为 ​;​要使 ​最小, 则最大

因为直线横过 , 所以最大时即为圆

心到点​的距离,​

由题意得 ​

​

二 多项选择题（共计4道小题，每题5分，共20分）

9.  【答案】CD

【解析】对于 . 直线​的斜率​,

 故直线的倾斜角是​, 故错误;

对于 . 因为直线的斜率,故直线与直线不垂直，故错误;

对于 . 点到直线的距离, 故正确;

对于 .过与直线平行的直线方程是, 整理得:, 故正确.

综上所述, 正确的选项为 ​.

10. 【答案】CD

 【解析】圆 ​化为: 圆​,

圆的圆心坐标, 半径为,

直线 将圆平分, 则直线经过圆心​,

若在两坐标轴上的截距都为 , 则直线过坐标 原点, 此时斜率为​,

直线 的方程为​, 即, 若截距不为​,

设直线方程为 , 则, 可得​,

​, 即​,

综上所述: 直线 ​的方程为​或​

11. 【答案】ACD

 【解析】由题意知直线 : 到直线的距离. 因为, 所以项正确.

因为, 所以 B 项错误.

当直线 与圆相切时,取得最值.

如图, 当切点在点 的位置时,最小, 此时圆心到点的距离为, 则;

当切点在点 的位置时,最大, 同理可得​. 所以项正确. 故选.

12. 【答案】AB

 【解析】如图建系，则 ​，

​

​时，最小，

此时周长最小，此时为中点，对.

，则平面​到平面的距离为定值，为定值，

则 为定值，B 对.

​

​不存在点​使得​错.

​

​

​

​，无解，D错，选​.

三 填空题 （共4道小题，每题5分，共20分）

13. 【答案】​

 【解析】解: 因为直线 ​与直线​平行，所以假设直线​为​,

因为直线​过点​，所以​，解得​，

所以直线 ​的一般式方程为​

14. 【答案】​或

 【解析】​直线与的方程分别为

​,​,​,

 即​, 解得或​.

15. 【答案】相切

 【解析】​圆的圆心为,半径为,其圆心到直线的距离是:

​

​直线与圆的位置关系是相切.

16. 【答案】​

 【解析】在第一象限内 (含坐标轴), 曲线方程为 ​

转化为: ​,

表示以 为圆心,半径为​的圆的一 部分.

由于 ​,

的最大值为​.

四 解答题（共计6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. 【答案】 (1) ​(2)​

 【解析】解: 因为 ​

所以 ​,

则 ​所以​.

(2) 解: 由 (1) 知, ​, 因为​, 所以点​的坐标为​.

设点 ​为坐标原点,​,

则 ​,

则 ​,

 点的坐标为​

18. 【答案】(1) ​(2) ​

 【解析】(1) 解: 设 ​, 则​,

设线段 中点坐标为​, 则​,解得 ​,

代入 ​, 得​,

即 ​;

(2) 设线段 中点坐标为​, 因为​, 所以​,

因为 ​, 所以​,

即 ​,

化简得 ​.

19. 【答案】(1) ​(2) ​

 【解析】(1) 因为直线 ​的斜率为​, 直线​的斜率为​, 所以​对应的倾斜角分别为​,

结合图形, 当直线 过点且与线段有交点时,​的倾斜角范围为​;

( 2 )设直线 在轴,轴上的截距分别为​,

由题意知 ,则直线的方程为​,

由直线 ​经过点​, 且与​轴,​轴围成的三角形的面积为​,得 ​,

解得 或(舍).

所以直线 的方程为​, 即​.

20. 【答案】(1) ​;(2) ​.

 (1) 圆 的圆心为, 直线​的斜率为​,

所以线段 的垂直平分线的斜率为, 且经过​,

所以线段 的垂直平分线方程为​, 即​,

由 , 得​,

所以线段 中点的坐标为​.

(2)由 ​, 化简得​,

设 ​, 则​,

又 ​, 由于​,

所以 ​, 即​,

即 ​, 所以​,

解得 , 所以圆的半径为​,

所以圆的面积为 ​.

21. 【答案】（1） 或​；（2）​.

【解】(1) 由 ​得圆心​,

​圆的半径为​,​圆的方程为:​,

显然切线的斜率一定存在, 设所求圆 ​的切线方程为​, 即​.​,

或​.

​所求圆​的切线方程为或​.

(2) ​圆​的圆心在直线​上, 所以, 设圆心​为​,

则圆 ​的方程为​.

又 ​,

​设为​, 则, 整理得, 设为圆​.

所以点 应该既在圆上又在圆上, 即圆和圆有交点,

,

由 , 得​,

由,得​.

综上所述, ​的取值范围为​.

22. 【答案】(1) ​(2) ​

 【解析】【分析】(1) 由等体积法运算即可得解;

(2) 由面面垂直的性质及判定可得 平面 建立空间直角坐标系, 利用空间向 量法即可得解.

(1)在直三棱柱 中, 设点​到平面​的距离为,

则 ,解得 ​,

所以点 到平面的距离为​;

(2)取 的中点,连接,如图, 因为, 所以​,

又平面 平面​,

平面平面​,

且 平面, 所以平面​,

在直三棱柱 中,平面​,

由 平面平面可得​,

又 平面​且相交, 所以平面​,

所以 两两垂直, 以为原点, 建立空间直角坐标系, 如图,

由 (1) 得 ​, 所以​, 所以​,

则 ​, 所以的中点​,

则​,

设平面 的一个法向量​, 则​,

可取 ​,

设平面 的一个法向量​, 则​,

可取 ​,

则 ​，

所以二面角 的正弦值为

​