广东省广州市南海中学2023-—2024学年九年级上学期10月期中数学试题

这是一份广东省广州市南海中学2023-—2024学年九年级上学期10月期中数学试题，共14页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1.下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中80次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）
A．40个B．32个C．48个D．24个
3.用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．B．
C． =D．
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则∠A的度数是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．无法确定
5.平面直角坐标系中，点A（1，a）和点B（﹣1，b）关于原点对称，则a+b的值分别是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．无法确定
6.已知一矩形的两邻边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6cm和9cmB．5cm和10cmC．4cm和11cmD．7cm和8cm
7.如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
8.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10°B．12.5°C．15°D．20°
9.矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．
A．2B．3C．4D．5
10.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的位置上．
11.如图，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是 ．
12.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
13.如图所示，甲乙两建筑物在太阳光的照射下的影子的端点重合在C处，若BC=20m，CD=40m，乙的楼高BE=15m，则甲的楼高AD= m．
14.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为 ．
15.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=AA′，S△ABC=4，S△A′B′C′= ．
三、计算题（本大题2小题，每小题6分，共12分)
16.
（1）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
（2）（x﹣3）2=2x﹣6．
四、解答题（本大题4小题，共33分）
17.作图题
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：菱形ABCD边长为a，有一个内角等于∠α，求作此菱形ABCD．
结论：
18.在郑州外国语中学的文化建设进程中，“打造书香校园”一直是其最重要的内容之一．我校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小红与小明每人从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率是多少？
19.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，若AC=16，BD=12，则OF= ．
20.如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E为AC上一点，D为BC延长线上一点，且CE=CD，连接AD，BE，并延长BE交AD于F．
（1）求证：BF⊥AD．
（2）若点N与C关于直线AD对称，连接CN，连接AN．
①如图2，作∠ACB的角平分线CM交BE于点M，连接AM．判断∠DAN与∠DAM的数量关系，并证明你的结论．
②如图3，若AF=1，CN=4，求AB的长．
答案
1.【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
2.【解答】解：由题意可得：
8÷﹣8=32（个）
答：白球的个数大约有32个；
故选：B．
3.【解答】解：∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=﹣c，
∴x2+x=﹣，
∴x2+x+=﹣+，
∴．
故选：C．
4.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴∠A=30°．
故选C．
5.【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a＝﹣b，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1，a）和点B（﹣1，b）关于原点对称，
∴a＝﹣b，
∴a+b＝0．
故选：C．
6.【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．
∴∠ABE=∠EBC．
∵AD∥BC．
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE．
当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．
当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．
故选：B．
7.【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°，
故选：C．
8.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°．
故选：C．
9.【解答】解：连接AB'，
①由题意得∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°，
∴∠M=∠CB'E=∠DAB'，故可得①正确；
②根据折叠的性质可得AB'=AB，AP=AP，∠B'AP=∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB=PB'，故可得②正确；
③在Rt△ADB'可得，B'D==3，从而可得CB'=5﹣3=2，
设AE=x，则EB'=EB=，
在Rt△CEB'中，CE2+CB'2=EB'2，即（4﹣）2+4=x2﹣25，
解得：x=，即AE=．
故可得③正确；
④假如MB′=CD，则可得MB'=AB=AB'，
∴∠M=∠BAB'，由①得∠M=∠DAB′，
故有∠BAB'=∠DAB'，
而本题不能判定∠BAB'=∠DAB'，即假设不成立．
故可得④错误．
⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，
∴∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，
∴EB'=B'P，
故可得⑤正确．
综上可得①②③⑤正确，共四个．
故选：C．
10.【解答】解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤，a≠1，
则整数a的最大值为0．
故选：C．
11.【解答】解：观察这个图可知：转盘停止转动时指针指向阴影部分的面积与非阴影部分面积相等，各占，
故其概率等于．
故答案为．
12.【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
13.【解答】解：根据题意得AD∥BE，
∴△CBE∽△CDA，
∴=，即=，
∴DA=30（m）．
故答案为30．
14.【解答】解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA＝2，
∴OA′＝2，
∴点A′的横坐标为2×＝，
纵坐标为﹣2×＝﹣，
所以，点A′的坐标为（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
15.【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又∵S△ABC=4，
∴S△A'B'C'=4×=9．
故答案是：9．
16.
（1）x2﹣6x﹣4=0
移项得，x2﹣6x=4，
配方得，x2﹣6x+9=4+9，
（x﹣3）2=13，
开方得，x﹣3=±，
x1=3+，x2=3﹣．
（2）∵（x﹣3）2=2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0，
则（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5．
17.【解答】解：如图菱形ABCD即为所求．
18.【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%=200人，
故答案为：200；
（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%=30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30=70人，
如图所示：
（3）记社科类图书为A、文史类图书为B、生活类图书为C、小说类图书为D，
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能情况，其中二人恰好选择文史类的只有1种结果，
所以二人恰好选择文史类的概率为．
19.【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=AC=8，OB=BD=6，
由勾股定理得：BC==10，
∵△BOC的面积=BC•OF=OB•OC，
∴OF==4.8．
故答案为：4.8．
20.【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE=∠CAD，
又∵Rt△ACD中，∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBE+∠D=90°，
∴∠BFD=90°，即BF⊥AD；
（2）①∠DAN=∠DAM．
证明：∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
在△ACM和△BCM中，
，
∴△ACM≌△BCM（SAS），
∴∠CBE=∠CAM，
由（1）可得，∠CBE=∠CAD，
∴∠CAM=∠CAD，
∵点N与C关于直线AD对称，
∴AD垂直平分CN，
∴AC=AN，
∴∠CAD=∠DAN，
∴∠DAN=∠ACD=∠CAM，
即∠DAN=∠DAM；
②如图，连接FN，过C作CH⊥CF，交BE于H，
∵AC⊥BD，
∴∠BCH+∠ACH=∠ACF+∠ACH=90°，
∴∠BCH=∠ACF，
由（1）可得，∠CBH=∠CAF，
又∵BC=AC，
∴△BCH≌△ACF，
∴BH=AF=1，CH=CF，
∴△FCH是等腰直角三角形，
∴∠HFC=45°，
∵BF⊥AD，CN⊥AD，
∴BF∥CN，
∴∠FCN=∠BFC=45°，
又∵AD垂直平分CN，
∴FC=FN，
∴∠FNC=∠FCN=45°，
∴△NCF是等腰直角三角形，
∴Rt△NCF≌Rt△HFC，
∴HF=NC=4，
∴BF=1+4=5，
∴Rt△ABF中，AB===．