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    2024年高考数学第一轮复习精品导学案第80讲 正态分布(学生版)+教师版

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    这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第80讲 正态分布(学生版)+教师版,共2页。学案主要包含了2022年新高考2卷等内容,欢迎下载使用。

    正态分布
    (1)定义
    若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=eq \f(1,σ\r(2π))·eeq \f(-(x-μ)2,2σ2),x∈R,其中,μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从 ,记为X~N(μ,σ2).
    (2)正态曲线的特点
    ①曲线是单峰的,它关于直线 对称.
    ②曲线在 处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
    ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
    (3)3σ原则
    ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
    ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
    ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
    (4)正态分布的均值与方差
    若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
    1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,且P(22.5)=____________.
    2、(21•新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布,则下列结论中不正确的是
    A.越小,该物理量在一次测量中落在内的概率越大
    B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
    C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
    D.该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
    1、已知随机变量服从正态分布,若,则( )
    A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023
    2、某校高三年级有1000人参加期末考试,经统计发现数学成绩近似服从正态分布,且成绩不低于140分的人数为100,则此次考试数学成绩高于100分的人数约为( )
    A.700B.800C.900D.950
    3、(2022·滨州二模)设随机变量X~N(μ,σ2),则“μ≥1”是“P(X<2)< eq \f(1,2)”的( )
    A. 充分不必要条件
    B. 必要不充分条件
    C. 充要条件
    D. 既不充分又不必要条件
    4、设随机变量X~N(3,σ2),若P(X>m)=0.3,则P(X>6-m)=________.
    5、设,,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
    A.
    B.
    C.对任意正数,
    D.对任意正数,
    考向一 利用正态分布求概率
    例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( )
    A.该地水稻的平均株高为100cm
    B.该地水稻株高的方差为10
    C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
    D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
    变式1、设,,这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    变式2、(2022·江苏如皋·高三期末)已知随机变量X服从正态分布,且,则( )
    A.0.43B.0.28C.0.14D.0.07
    变式3、(2022·广东·铁一中学高三期末)已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布,估计这些考生成绩落在的人数约为( )
    (附:,则,)
    A.36014B.72027C.108041D.168222
    变式4、(1)(2023·浙江·校联考三模)已知随机变量服从正态分布,若,则_____________.
    (2)(2023·福建泉州·统考三模)设随机变量,若,则____________.
    考向二 正态分布的综合性问题
    例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期的生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
    (1) 假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
    (2) 在一天内抽检的零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
    ①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
    ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
    9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
    10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
    经计算,得 eq \x\t(x)= eq \f(1,16)=9.97,s=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.用样本平均数 eq \x\t(x)作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ-3σ,μ+3σ)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ.(精确到0.01)
    附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ0.997 416≈0.959 2, eq \r(0.008)≈0.09.
    变式1、从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率直方图:
    (1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数 eq \x\t(x)和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表,记作xi,i=1,2,…,7);
    (2) 由频率直方图可以认为,这种产品的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 eq \x\t(x),σ2近似为样本方差s2.
    ①若使84.14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准,则合格标准的质量指标值大约为多少?
    ②若该企业又生产了这种产品1 000件,且每件产品相互独立,则这1 000件产品质量指标值不低于12.14的件数最有可能是多少?
    附:(xi- eq \x\t(x))2hi=3.46,3.46≈ eq \f(1,2)×2.632;若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ变式2、(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末)为保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图:
    (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表);
    (2)由直方图可以看出,目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
    ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若,令,则,且利用直方图得到的正态分布,求;
    ②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求Z的均值.
    参考数据:,若,则.
    方法总结:对于正态分布题型的数据分析,需要结合μ,σ的含义来进行理解,根据题设中如P(μ-σ1、(2022·江苏海门·高三期末)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,最后结果的误差,Xn ~N(0,),则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下,至少要测量的次数为( )
    (附)随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(u-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.
    A.32B.64C.128D.256
    2、(多选)(2023·山西运城·统考三模)已知某校高二男生的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,16),且,则( )
    A.该校高二男生的平均身高是175cm
    B.该校高二男生身高的方差为4
    C.该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
    D.从该校高二男生中任选一人,身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
    3、(多选)(2023·湖南郴州·统考三模)给出下列命题,其中正确的是( )
    A.对于独立性检验的值越大,说明两事件相关程度越大.
    B.若随机变量,则
    C.若,则
    D.已知样本点组成一个样本,得到回归直线方程,且,剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为,则新的回归方程为
    4、(多选)(2023·辽宁沈阳·统考三模)下列命题中正确的是( )
    A.已知一组数据6,6,7,8,10,12,则这组数据的50%分位数是7.5
    B.已知随机变量,且,则
    C.已知随机变量,则
    D.已知经验回归方程,则y与x具有负线性相关关系
    5、(2023·重庆·统考三模)已知随机变量,若,则______.
    6、(2022·山东青岛·高三期末)习近平总书记在党的十九大报告中指出,保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成,为了解市民对该项目的满意度,从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分),绘制成如图所示的频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级:
    (1)若市民的满意度评分相互独立,以满意度样本估计全市民满意度,现从全市民中随机抽取5人,求至少2人非常满意的概率;
    (2)相关部门对该项目进行验收,验收的硬性指标是:全民对该项目的满意指数不低于0.8,否则该项目需要进行整改,根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过验收,并说明理由;(注:满意指数=)
    (3)在等级为不满意的市民中,老人占,现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因,并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数,求X的分布列及数学期望E(X).
    7、(2022·湖北江岸·高三期末)5G网络是第五代移动通信网络的简称,是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来,我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度,从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查,并将这200人根据其满意度得分分成以下6组:、、、…,,统计结果如图所示:
    (1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z(单位:分)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差s,并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户,试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数(每组数据以区间的中点值为代表);
    (2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动,每人最多有3轮抽奖活动,每一轮抽奖相互独立,中奖率均为.每一轮抽奖,奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖;若未中奖,则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动,求小王所获话费总额X的数学期望.
    参考数据:若随机变量Z服从正态分布,即,则,.
    8、(2022·山东青岛·高三期末)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000,上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000,标准差为50的正态分布.
    (1)已知如下结论:若,从的取值中随机抽取个数据,记这个数据的平均值为,则随机变量.利用该结论解决下面问题.
    (i)假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记随机购买25个面包的平均值为,求;
    (ii)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在上,并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由;
    (2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包有2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
    附:
    ①随机变量服从正态分布,则,;
    ②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
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