河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(无答案)

这是一份河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(无答案)，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：曹付祥 审核人：孙志明
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线，若，则实数（ ）
A．1B．3C．1或3D．0
3．若过点的直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）A．B．C．D．
4．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ）
A．1B．3或－1C．－3D．－3或1
5．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是共线的充要条件；
③若，则可共线；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中），则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ）
A．12，B．，C．12，8D．9，
二、多项选择题：本小题共4题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知点，且点P在直线上，则（ ）
A．存在点P，使得B．存在点P，使得
C．的最小值为D．的最大值为
10．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
11．已知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．PQ与EF一定不垂直B．平面PEF与平面EFQ夹角的正弦值是
C．三角形PEF的面积是D．点P到平面QEF的距离是定值
12．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：是双曲线的左右焦点，从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分．若双曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．射线n所在直线的斜率为k，则
B．当时，
C．当n过点时，光线由到P再到Q所经过的路程为13
D．若点T坐标为，直线PT与C相切，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点且与直线垂直的直线方程为______．（请用一般式表示）
14．方程化简后为______．
15．如图，在棱长为2的正四面体PABC中，平面ABC，垂足为O，D为PC的中点，则______．
16．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C上关于原点对称的两点A，B满足，若，则双曲线C的离心率______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤．
17．已知，
求：（1）；
（2）与所成角的余弦值．
18．的四条边所在直线的方程分别是，，求的面积．
19．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，已知，E为弧的中点．
（1）证明：．
（2）若，求直线CE与平面所成角的正弦值．
20．已知半径为4的圆C与直线相切，圆心C在y轴的负半轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线与圆C相交于A，B两点，且的面积为8，求直线的方程．
21．已知实数m，n满足．令，记动点的轨迹为E．
（1）求E的方程，并说明E是什么曲线；
（2）过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：．
22．在平面直角坐标系中，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设动直线与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．