安徽省滁州市明光市第二中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份安徽省滁州市明光市第二中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了10月等内容，欢迎下载使用。

（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.由英文单词“bk”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.16
2.已知a∈R，b∈R，若集合{a,ba,1}={a2,a−b,0}，则a2019+b2019的值为( )
A.-2B.-1C.1D.2
3.下列命题为真命题的是( )
A.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件
B.“A∩B≠∅”是“A⫋B”的充分条件
C.“b2−4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件
D.“一个三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”
4.已知“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则p是q的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
5.若集合M={s||s|<4},N={x|3x≥−1}，则M∩N=( )
A.{x|0≤x<4}B.{x|−13≤x<4}C.{x|−46.“a+b>4”是“a>2且b>2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知p：0A.18.已知集合A={x|−1A.{a|a>12}B.{a|a<−12}C.{a|a≤−12}D.{a|a<0}
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
10.“方程x2+x+2m=0没有实数根”的一个充分不必要条件可以是( )
A.m≥18B.m>2C.m>1D.m<1
11.若集合{x∣ax2+x+b=0}={1}， 则b的值可能为( )
A.−1B.−12C.0D.12
12.设集合M={x|(x−a)(x−3)=0}，N={x|(x−4)(x−1)=0}则下列说法不正确的是( )
A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠∅B.若M∩N≠∅,则M∪N有4个元素
C.若M∩N≠∅,则M∪N={1,3,4}D.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠∅
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.已知集合A={1,3,5}，则集合A的所有非空子集的元素之和为______.
14.已知集合A={0,2,3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A}，则A※A=________.
15.设方程x2−mx+m2−21=0解集为A，x2−6x+8=0解集为B，x2−3x+2=0解集为C，且A∩B=∅，A∩C≠∅，则m=_________.
16.若A={x|2a−11}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）求方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件.
18.（12分）已知全集U={x|−6≤x≤5},M={x|−3(1)求M∩(∁UN)；
(2)若C={x|a≤x≤2a−1}且C⊆(∁UM)，求a的取值范围.
19.（12分）已知 P={x|1≤x≤4},S={x|1−m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.
20.（12分）设集合U=R，A={x|0≤x≤3}，B={x|m−1≤x≤2m}.
(1)m=3，求A∩(∁UB)；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围.
21.（12分）设全集U=R，集合A={x∣−1(1)当a=4时，求(∁UA)∩B；
(2)从下面三个条件中任选一个，求实数a的取值范围.
①A∩B=A，②A∪B=B；③A∩(∁UB)=∅.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22.（12分）已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab−a2−b2=0.注：a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab).
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】A
【解析】3个不同的元素
2.【答案】B
【解析】根据集合相等的条件及分式ba有意义可知a≠0,ba=0，
则b=0，
代入集合得{a,0,1}={a2,a,0}，
则{a2=1a≠1，得a=−1
因此a2019+b2019=(−1)2019+02019=−1.
故选：B.
3.【答案】D
【解析】对于A，取x=0,y=6，满足x+y>5，但是推不出x>2且y>3，故错误；
对于B，取A={1,2}，B={2,3},满足A∩B≠∅，但是推不出A⫋B，故错误；
对于C，取一元二次不等式−2x2+x−1>0，则其解集为∅，但是满足b2−4ac<0，故错误；
对于D，若一个三角形的三边满足勾股定理，则此三角形为直角三角形，充分性满足；
若一个三角形为直角三角形，则此三角形的三边满足勾股定理，必要性也满足，故正确；
故选：D
4.【答案】B
【解析】“若p，则q”为假命题，则p⇏q；
“若q，则p”为真命题，则q⇒p，
由充分条件和必要条件的定义可知，p是q的必要不充分条件.
故选：B
5.【答案】B
【解析】M={s||s|<4}={s|−4所以M∩N={x|−13≤x<4}.
故选： B.
6.【答案】B
【解析】当a=1,b=4，此时满足a+b>4，但a>2且b>2不成立，所以充分性不成立；
反之：若a>2且b>2，可得a+b>4成立，所以必要性成立，
所以“a+b>4”是“a>2且b>2”必要不充分条件.
故选： B.
7.【答案】C
【解析】对于A中，由1对于B中，由−1对于C中，由0对于D中，由0故选： C.
8.【答案】C
【解析】由x−2a<0，得x<2a，所以B={x|x<2a}，
因为A∩B=∅，所以2a≤−1，故a≤−12.
故选：C.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ACD
【解析】A选项，已知a>b，当c<0时，则acC选项，已知ac>bc，当c<0时，则aB选项，已知a=b，方程两边同乘以c，可得ac=bc，故“ac=bc”是“a=b”的必要条件，B正确；
D选项，不妨设a=1,b=2,c=0，满足ac=bc，但不满足a=b，D错误.
故选：ACD
10.【答案】BC
【解析】若方程x2+x+2m=0没有实数根，则Δ=1−8m<0，解得m>18，
因为{m|m≥18}{m|m>18}，{m|m>2}{m|m>18}，{m|m>1}{m|m>18}，
{m|m<1}⊄{m|m>18}，
所以，“方程x2+x+2m=0没有实数根”的一个充分不必要条件可以是m>2、m>1，
故选：B C.
11.【答案】AB
【解析】根据题意， ax2+x+b=0只有一个实数根，
当 a=0时，ax2+x+b=0化为x=−b， 所以b=−1；
当 a≠0时，Δ=1−4ab=0， 则ab=14，
又x=1是方程ax2+x+b=0的解， 所以a+b=−1，
得a=b=−12.
故答案为:AB
12.【答案】ABD
【解析】依题意，N={1,4}，当a=3时，M={3}，当a≠3时，M={a,3}，
若M∪N有4个元素，则有a≠3且a≠1且a≠4，M∩N=∅，A错误；
若M∩N≠∅，必有a=1或a=4，则M∪N={1,3,4}，C正确，M∪N只有3个元素，B错误；
若M∪N={1,3,4}，则a=3或a=1或a=4，当a=3时，M∩N=∅，D错误.
故选：ABD
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】36
【解析】集合A的非空子集分别是：{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.
故所求和为为1+3+5+1+3+1+5+3+5+1+3+5=36.
故答案为：36.
14.【答案】{0,2,3,4,5,6}
【解析】由题意知，集合A={0,2,3}
则a与b可能的取值为0，2，3，
∴a+bb的值可能为0，2，3，4，5，6，
∴A※A={0,2,3,4,5,6}
故答案为：{0,2,3,4,5,6}
15.【答案】−4
【解析】∵x2−6x+8=0
∴(x−2)⋅(x−4)=0，即x=2或x=4
∴B={2,4}
又∵x2−3x+2=0
∴(x−2)⋅(x−1)=0，即x=2或x=1
∴C={2,1}
又因为A∩B=∅
所以2∉A且4∉A
又因为A∩C≠∅
所以1∈A或2∈A
所以只有1∈A成立，
所以1是方程x2−mx+m2−21=0的根，即1−m+m2−21=0
故m2−m−20=0，即(m−5)⋅(m+4)=0
所以m=5或m=−4
当m=5时，方程x2−mx+m2−21=0变为x2−5x+4=(x−1)(x−4)=0
所以A={1,4}不满足4∉A，故不符合题意舍去.
当m=−4时，方程x2−mx+m2−21=0变为x2+4x−5=(x+5)(x−1)=0
所以A={1,−5}满足，A∩B=∅和A∩C={1}≠∅，满足题意.
故答案为：−4
16.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以AÜB，
又A={x|2a−11}，
因此2a+1≤−3或2a−1≥1，解得a≤−2或a≥1
所以实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞).
故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）【答案】0【解析】若方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，
则{Δ=4−12m>0,m≠0,3m>0,解得0故方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的必要条件为0反之，若00，
∴方程mx2−2x+3=0有两个不相等的实数根，设两根为x1，x2，
则x1x2=2m，由m>0得x1x2=2m>0，
∴x1，x2同号，即充分性成立.
因此方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是018.（12分）(1){x|−3【解析】因为U={x|−6≤x≤5},N={x|0所以∁UN={x|−6≤x≤0或2≤x≤5}，
因为M={x|−3所以M∩(∁UN)={x|−3(2)(−∞,1)∪(2,3]
【解析】因为U={x|−6≤x≤5},M={x|−3所以∁UM={x|−6≤x≤−3或2当C=∅时，C⊆(∁UM)成立，此时a>2a−1，解得a<1，
当C≠∅时，因为C⊆(∁UM)，
所以{a≤2a−12a−1≤−3a≥−6，或{a≤2a−12a−1≤5a>2，解得2综上，a的取值范围为(−∞,1)∪(2,3]
19.（12分）(1)不存在
【解析】要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S
即{1−m=11+m=4，此方程组无解.
所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
(2){m|m≤0}
【解析】要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，
当S=∅时，1−m>1+m，解得m<0
当S≠∅时，1−m≤1+m，解得m≥0
要使S⊆P，则有{1−m≥11+m≤4，解得m≤0，所以m=0
综上可得，当m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件.
20.（12分）(1)[0,2)
【解析】由题意知当m=3时，B={x|2≤x≤6}，故∁UB={x|x<2或x>6}，
而A={x|0≤x≤3}，故A∩(∁UB)=[0,2)；
(2)m<−1或1≤m≤32
【解析】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，可得BÜA，
故当B=∅时，m−1>2m,∴m<−1，符合题意；
当B≠∅时，需满足{0≤m−12m≤3m−1≤2m，且0≤m−1,2m≤3中等号不能同时取得，
解得1≤m≤32，
综合以上，m的取值范围为m<−1或1≤m≤32.
21.（12分）(1)(∁UA)∩B=[−2,−1]∪[4,6]
【解析】当a=4时，集合A={x|−1又因为B={x||x−2|≤4}={x|−2≤x≤6}，
则(∁UA)∩B=[−2,−1]∪[4,6]
(2)a≤6
【解析】选①，因为A∩B=A，则A⊆B，所以分A=∅和A≠∅两种情况：
当A=∅时，则有a≤−1，
当A≠∅时，则有{a>−1a≤6，解得：−1综上：实数a的取值范围为：a≤6.
选②，由A∪B=B可得：A⊆B，所以分A=∅和A≠∅两种情况：
当A=∅时，则有a≤−1，
当A≠∅时，则有{a>−1a≤6，解得：−1综上：实数a的取值范围为：a≤6.
选③，由A∩(∁UB)=∅可得：A⊆B，所以分A=∅和A≠∅两种情况：
当A=∅时，则有a≤−1，
当A≠∅时，则有{a>−1a≤6，解得：−1综上：实数a的取值范围为：a≤6.
22.（12分）【答案】证明见解析.
【解析】证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1−a
∴a3+b3+ab−a2−b2=a3+(1−a)3+a(1−a)−a2−(1−a)2
=a3+1−3a+3a2−a3+a−a2−a2−1+2a−a2=0
再证充分性：
∵a3+b3+ab−a2−b2=0
∴(a+b)(a2−ab+b2)−(a2−ab+b2)=0
即：(a2−ab+b2)(a+b−1)=0
∵ab≠0,a2−ab+b2=(a−b2)2+34b2>0，
∴a+b−1=0，即a+b=1.
综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab−a2−b2=0.