安徽省桐城中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测数学试卷

这是一份安徽省桐城中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测数学试卷，文件包含六上31《紧密联系的工具和技术》pptx、六上31《紧密联系的工具与技术》docx、第1课-紧密联系的工具和技术mp4等3份课件配套教学资源，其中PPT共21页， 欢迎下载使用。

（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.若集合A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B=( )
A.{0,2,4,6}B.{0,2}C.{0,1,2,3,4,6}D.{0,1,2,3,0,2,4,6}
2.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为( )
A.9B.6C.4D.3
3.设命题p:∃n∈N*,n2+2n>3,则命题p的否定是( )
A.∃n∈N*,n2+2n<3B.∃n∈N*,n2+2n⩽3
C.∀n∈N*,n2+2n⩽3D.∀n∈N*,n2+2n>3
4.设集合A={x∣x2-4⩽0},B={x∣2x+a⩽0},且A∩B={x∣-2⩽x⩽1},则a=( )
A.-4B.-2C.2D.4
5.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为( )
A.0B.1C.94D.3
6.设x,y∈R,p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7.设命题p:|4x-3|⩽1；命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)⩽0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.[0,12]B.(0,12)C.(-∞,0]∪[12,+∞)D.(-∞,0)∪(12,+∞)
8.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有( )个。
A.0B.2C.4D.6
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.设全集为U,在下列条件中,是B⊆A的充要条件的有( )
A.A∪B=AB.(∁UA)∩B=∅C.∁UA⊆∁UBD.A∪(∁UB)=U
10.下列命题中,是假命题的是( )
A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2<0
B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2
C.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充要条件
D.若a⩾b>-1,则a1+a⩾b1+b
11.对任意x,y有x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y⩽1B.x+y⩾-2C.x2+y2⩽2D.x2+y2⩾1
12.在ΔABC中,三边长分别为a,b,c,且abc=4,则下列结论正确的是( )
A.a2b<4+ab2B.ab+a+b>4C.a+b2+c2>4D.a+b+c<4
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.用列举法表示集合:A={x∣x∈Z且86-x∈N}=_____________.
14.“生命在于运动”,某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目一一兵乓球、羽毛球、篮球中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为_____________.
15.已知a>0,b>-1,且a+b=1,则a2+3a+b2b+1的最小值为_____________.
16.已知正数x,y满足x+1x+y+1y=5,则x+y的最小值为_____________,最大值为_____________.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）已知集合A={x|1(1)当m=-1时,求A∪B；
(2)若A⊆B,求实数m的取值范围；
(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围。
18.（12分）已知命题p:“∀∈[-1,1],不等式x2-x-m<0成立”是真命题。
(1)求实数m的取值范围；
(2)若q:-419.（12分）(1)已知a>0,b>0,且ab=1,求12a+12b+8a+b的最小值；
(2)若a,b∈R,ab>0,求a4+4b4+1ab的最小值。
20.（12分）如图,将宽和长分别为x和y(x(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆的面积最小?并求出其最小值。
21.（12分）设A是正整数集的非空子集,称集合B={|u-v|∣u,v∈A,且u≠v}为集合A的生成集。
(1)当A={1,3,6}时,写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正整数构成的集合,求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并说明理由。
22.（12分）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利3.5万元。为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗。为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元。据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利(1-1625x)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时,留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元。为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】C
【解析】由题意知B={0,2,4,6},所以A∪B={0,1,2,3,4,6}.故选 C.
2.【答案】D
【解析】通过列举,可知x,y∈A的数对(x,y)共有9对,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
因为B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},而(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y-4>0,所以集合B中的元素个数为3.故选 D.
3.【答案】C
4.【答案】B
【解析】集合A={x∣-2⩽x⩽2},B={x∣x⩽-a2},
因为A∩B={x∣-2⩽x⩽1},所以-a2=1,所以a=-2.故选 B.
5.【答案】B
【解析】由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x8-3xy+4y2.
所以xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3⩽12xy⋅4yx-3=1,当且仅当xy=4yx,即x=2y时取等号,此时z=2y2,(xyz)max=1.2x+1y-2z=22y+1y-2xy=2y(1-1x)=2y(1-12y)⩽4(12y+1-12y2)2=1.故选 B.
6.【答案】A
【解析】¬p:x+y=-2,¬q:x=-1且y=-1.因为¬p¬,¬q⇒¬p,所以¬p是¬q的必要不充分条件,故p是q的充分不必要条件,故选 A.
7.【答案】A
【解析】设A={x||4x-3∣⩽1},B={x∣x2-(2a+1)x+a(a+1)⩽0}.
解|4x-3|⩽1,得12⩽x⩽1,故A={x∣12⩽x⩽1};
解x2-(2a+1)x+a(a+1)⩽0,得a⩽x⩽a+1,故B={x∣a⩽x⩽a+1}.
所以¬p所对应的集合为∁RA={x|x<12或x>1},¬q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.
由¬p是¬q的必要不充分条件,知∁RB不属于∁RA,
所以{a⩽12,a+1>1或{a<12,a+1⩾1,解得0⩽a⩽12.故实数a的取值范围是[0,12].
8.【答案】D
【解析】若1∈A,∵1不是孤立元,∴2∈A.设另一元素为k,假设k≠3,此时A={1,2,k},k+1∉A,k-1∉A,不合题意,故k=3.据此分析满足条件的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共有6个.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ABCD
【解析】由集合运算及集合关系,结合Venn图依次判断即可.
解:结合Venn图知,A∪B=A是B⊆A的充要条件,(∁UA)∩B=∅是B⊆A的充要条件,∁UA⊆∁UB是B⊆A的充要条件,A∪(∁UB)=U是B⊆A的充要条件,
故选:ABCD.
10.【答案】ABC
【解析】对于选项A,|a-2|+(b+1)2⩾0
恒成立,所以A不正确.
对于选项B,当a=0时,不存在x使得ax>2成立,所以B不正确.
对于选项C,由ab≠0可得a2+b2≠0,反之不成立,所以C不正确.
对于选项D,若a⩾b>-1,则1+a⩾1+b>0,可得a(1+b)=a+ab⩾b+ab=b(1+a),则a1+a⩾b1+b,所以D正确.故选AB C.
11.【答案】BC
12.【答案】ABC
【解析】解:对于A,a2b<4+ab2,即a2b-ab2<4,也就是ab(a-b)<4=abc,ΔABC中,ab>0,a-b对于B,ab+a+b≥ab+2ab=(ab+1)2-1=(2c+1)2-1,
当a=b时,不等式取" =",此时c=4ab=4a2,a+b>c，即2a>4a2，
得a>32,ab+a+b=ab+2ab=a2+2a2=a2+2a
>(32)2+2⋅32>(3(1.25)3)2+23(1.25)3=(1.25)2+2.5=4.0625>4
(也可用ab+a+b>ab+c≥2abc=4)，故B正确；
对于C,a+b2+c2≥a+2bc≥22abc=42>4 ，故C正确
对于D，边长为1，2，2的三角形满足abc=4,当a+b+c=5>4，故D错误.
故选:AB C.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】{-2,2,4,5}
【解析】因为x∈Z且86-x∈N,所以6-x是8的正约数,于是6-x=1,2,4,8,因此x=5,4,2,-2.故A={-2,2,4,5}.
14.【答案】20
【解析】首先设A={|x|x是会打兵兵球的教师},B={x∣x是会打羽毛球的教师},C={x∣x是会打篮球的教师},根据题意得到card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,再使用三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20.答案：20
15.【答案】2+3
【解析】a2+3a+b2b+1=a+3a+(b+1)2-2(b+1)+1b+1=a+3a+b+1+1b+1-2=3a+1b+1=a+b+12⋅(3a+1b+1)=12[4+3(b+1)a+ab+1]⩾2+3,当且仅当a=3-3,b=3-2时,等号成立.故所求最小值为2+3.
16.【答案】1
4
【解析】因为x+1x+y+1y=x+y+x+yxy=5,且xy⩽(x+y)24(当且仅当x=y时取等号),所以5=x+y+x+yxy⩾x+y+x+y(x+y)24=x+y+4x+y,即(x+y)2-5(x+y)+4⩽0,得1⩽x+y⩽4,当x=y=12时,x+y=1,当x=y=2时,x+y=4.所以x+y的最小值为1,最大值为4.答案14
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)当m=-1时,B={x|-2(2)由A⊆B,知{1-m>2m2m⩽11-m⩾3,解得m⩽-2,即m的取值范围是(-∞,-2];
(3)由A∩B=∅得
①若2m⩾1-m,即m⩾13时,B=∅符合题意;
②若2m×1-m,即m×13时,需{m×131-m⩽1或{m×132m⩾3.得0⩽m×13或m∈∅,即0⩽m×13.
综上知m⩾0,即实数的取值范围为[0,+∞).
18.（12分）(1)由题意命题p:“∀-1≤x≤1,不等式x2-x-m<0成立”是真命题.∴m>x2-x在-1≤x≤1恒成立,即m>(x2-x)max,x∈(-1,1)；
因为x2-x=(x-12)2-14,所以-14≤x2-x≤2,即m>2,所以实数m的取值范围是(2,+∞)；
(2)由p得,设A={m|m>2},由q得,设B={m|a-4所以q⇒p,但p推不出q,∴BA;所以a-4≥2,即a≥6,
所以实数a的取值范围是[6,+∞).
19.（12分）(1)因为a>0,b>0,ab=1,所以原式=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b⩾2a+b2⋅8a+b=4,当且仅当a+b2=8a+b,即a+b=4时,等号成立.
故12a+12b+8a+b的最小值为4.
(2)因为a,b∈R,ab>0,
所以a4+4b4+1ab⩾4a2b2+1ab=4ab+1ab⩾24ab⋅1ab=4,
当且仅当{a2=2b2,4ab=1ab,即{a2=22,b2=24时取得等号.

20.（12分）(1)由题意可得2xy-x2=5,则y=x2+52x.因为y>x>0,所以x2+52x>x>0,解得0(2)设正十字形的外接圆的直径为d,
由图可知d2=x2+y2=x2+(x2+52x)2=5x24+54x2+52⩾52+52,
当且仅当x=1,y=5+12时,正十字形的外接圆的直径d取得最小值5+52=10+252,则外接圆的半径的最小值为10+254,故正十字形的外接圆面积的最小值为π×(10+254)2=5+58π.
21.（12分）(1)因为A={1,3,6},所以|1-3|=2,|1-6|=5,|3-6|=3,所以B={2,3,5}；
(2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0因为a2-a1所以B中元素个数大于等于4个,
又A={1,2,3,4,5},则B={1,2,3,4},此时B中元表个数等于4个,
所以生成集B中元表个数的最小值为4;
(3)不存在,理由如下:
假设存在4个正整数构成的集合A={a,b,c,d},使其生成集B={2,3,5,6,10,16},
不妨设0又d-a>c-a>b-a,d-a>d-b>d-c,c-a>c-b,
所以d-a=16,
若b-a=2,又d-a=16,则d-b=14∉B,故b-a≠2,
若d-c=2,又d-a=16,则c-a=14∉B,故d-c≠2,
所以c-b=2,又d-a=16,则d-b+c-a=18,而d-b,c-a∈{3,5,6,10},所以d-b+c-a=18不成立,所以假设不成立,
故不存在4个正整数构成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16}.
22.（12分）【答案】解:设重组后,该企业年利润为y万元.
当待岗人员不超过1%时,由1-1625x>0,x≤2000×1%=20,得0当待岗人员超过1%且不超过5%时,由20∴y={9000.64-5(x+256x)(0当0当且仅当x=256x,即x=16时取等号,此时y取得最大值,最大值是8840.64
当20所以y<-4.9×20+8800=8702.
综上所述,当x=16时,y有最大值8840.64万元.
即要使企业年利润最大,应安排16名员工待岗。