2021-2022学年北京市顺义牛栏山第一中学高二4月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年北京市顺义牛栏山第一中学高二4月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．从5个不同元素中取3个元素的组合数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，列出组合数公式即可
【详解】根据题意，直接列出公式
故选：A
2．下列函数是复合函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数定义直接得到结果.
【详解】由复合函数定义可知：是由与复合所得.
故选：D.
3．下列函数中求导错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数公式依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故错误；
对于C选项，，故正确；
对于D选项，，故正确.
故选：B
4．下列函数中在其定义域不是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数的定义域与导函数，利用导函数求出函数的单调区间，即可判断；
【详解】解：对于A：定义域为，且，故函数在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，故函数在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：定义域为，，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
对于D：定义域为，且，所以函数在定义域上单调递增，故D错误；
故选：C
5．一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同，从中模出2个球，恰有一个黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据组合计数，结合古典概率公式求解即可.
【详解】解：由题知，从装有5个白球和3个黑球，模出2个球，共有种，
其中，恰有一个黑球的共有种，
所以，恰有一个黑球的概率为.
故选：B
6．已知函数的部分图像，其中，，为图上三个不同的点.如下图.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图象，由导数与函数的单调性分析.
【详解】由图象可知，点A在单调递增区间上，点B为极值点，
点C在单调递减区间上，所以可知，
所以.
故选：B
7．关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．的二项展开式的各项系数和为
B．的二项展开式的第五项与的二项展开式的第五项相同
C．的二项展开式的第三项系数为
D．的二项展开式第二项的二项式系数为
【答案】A
【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A，根据二项式展开式的通项，即可判断B、C、D；
【详解】解：展开式的通项为，
故第二项的二项式系数为，故D错误；
第三项的系数为，故C错误；
的展开式的第五项为，的展开式的第五项为，故B错误；
令则，即的二项展开式的各项系数和为，故A正确；
故选：A
8．甲、乙、丙、丁四个人安排两个项目，每个项目至少安排1人，则安排的方案种数为（ ）
A．9B．12C．14D．18
【答案】C
【分析】利用间接法求解即可.
【详解】甲、乙、丙、丁四个人安排两个项目，总共有种安排方法，
其中四个人安排在同一个项目的有2种情况，
所以甲、乙、丙、丁四个人安排两个项目，每个项目至少安排1人，安排的方案种数为，
故选：C
9．为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同.
B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同.
C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同
D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度
【答案】D
【分析】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．
【详解】对于A选项，在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，瞬时变化率为切线的斜率，故不相同，故A错误；
对于B选项，在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故B错误；
对于C选项， 这个时间段内，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率大于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率小于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，故存在使得甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同，故C错误；
对于D选项，在内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在时刻，甲乙血管中药物浓度相同，故若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度，D正确.
故选：D．
10．下表是某个班10个学生的期末考试成绩：
在这10名学生中，已知数学为“优”的有8人，语文为“优”的有7人，数学与语文两科全“优”的有6人，给出下列四个结论.
①当时， ②当时，
③恰有1名学生两科均不是“优” ④前6位学生两科全“优”
其中，正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题意，结合体已知条件，分析即可得答案.
【详解】解：①当时，在数学成绩中，学生1，2，3，4，5，6，7，10的成绩为“优”，此时，由于语文为“优”的有7人，数学与语文两科全“优”的有6人，故学生1，2，3，4，5，6，9的语文成绩为“优”，故，此时学生8的两科成绩均不是“优”；
②当时，在数学成绩中，学生1，2，3，4，5，6，7，8的成绩为“优”，此时，由于语文为“优”的有7人，数学与语文两科全“优”的有6人，故学生1，2，3，4，5，6，10的语文成绩为“优”，故，此时，学生9的两科成绩均不是“优”；
综上分析，四个结论都正确.
故选：D
二、填空题
11．已知离散型随机变量的分布列如下表.则___________.
【答案】
【分析】根据分布列的性质求解即可.
【详解】解：由分布列的性质得：，解得.
故答案为：
12．三个男孩和三个女孩坐在一排，男孩和女孩分别坐在一起，则这样的坐法共有___________种.（用数字作答）
【答案】
【分析】利用捆绑法求解即可.
【详解】三个男孩和三个女孩坐在一排，男孩和女孩分别坐在一起，则这样的坐法共有种，
故答案为：
13．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13，13.7，18.3.且总体的期望为9.若要使该总体的方差最小，___________.
【答案】
【分析】由总体期望求出，依题意只需使最小，再将代入转化为关于的式子，根据二次函数的性质计算可得．
【详解】解：由总体的期望为，所以，
要使总体方差最小，只需使最小．
，
当时，取得最小值，此时方差取最小值．
故答案为：．
14．甲盒中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以，，表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一求，以表示由乙盒取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________.
（写出所有正确结论的编号）
①，，是两两互斥的事件；②事件与事件相互独立
③；④.
【答案】①③
【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.
【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故①正确；
因为，
所以，
同理，故④错误；
所以，故③正确.
所以，故②错误；
故①③正确.
故答案为：①③
三、双空题
15．二项式的二项式系数和为64，则___________；二项式的展开式中常数项为___________.（用数字作答）
【答案】
【分析】首先由二项式系数的性质列式求得值，再写出二项展开式的通项并整理，由得指数为0求得值，则答案可求．
【详解】解：由题意知：，即；
则，则展开式的通项为．
令，解得．
展开式中的常数项为．
故答案为：6；．
四、解答题
16．一个咖啡馆供应主菜、主食和甜点三类食物，可能的选择见下表，客人在每个种类中选择一种.
(1)样本空间里一共有多少种结果?
(2)令A表示“选择冰淇淋”，B表示“选了米饭"，
ⅰ）列举事件AB中的样本点；
ⅱ）求.
【答案】(1)
(2)ⅰ）{鸡肉，A，B}，{烤牛肉，A，B}； ⅱ）.
【分析】（1）根据表格中的数据，结合分步计数原理，即可求解；
（2）ⅰ）事件AB中的样本点为{鸡肉，A，B}，{烤牛肉，A，B}；
ⅱ）根据表格中的数据，结合，即可求解.
【详解】(1)解：根据表格中的数据，可得主菜有2种，主食有3种，甜点有4种，
客人在每个种类中选择一种，根据分步计数原理，共有种不同的结果.
(2)
17．总共4辆公交车载着148名同学从同一个学校到足球场，车上分别有40名、33名、25名和50名同学.随机选一名同学，令表示该同学所在的车上的同学数.随机选一位司机，令表示他驾驶的车上的同学数.
(1)求选中司机甲的概率；
(2)求的分布列和；
(3)如果四辆车上分别有名同学、名同学、名同学、名同学，且每辆上的人数不相同，比较和大小关系，直接写出结果.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）根据古典概型直接计算即可；
（2）由题知的可能取值有，进而求解对应的概率，列分布列求期望；
（3）由题知，，，进而结合柯西不等式得出.
【详解】(1)解：因为有4辆公交车，故有4为司机，
所以，随机选一位司机，甲司机被选中的概率为.
(2)解：因为表示随机选一名同学所在的车上的同学数，
所以的可能取值有，
所以，
所以的分布列为：
所以，.
(3)解：.
因为四辆车上分别有名同学、名同学、名同学、名同学，且每辆上的人数不相同，
所以，结合（2）得，
的可能取值为、、、，对应的概率均为，
所以，，
由柯西不等式，、、、互不相等，，
所以
所以.
18．甲和乙参加相同的含有10个判断题的考试.甲回答正确任一问题的概率为0.7，且这些问题的回答相互独立，乙回答正确任一问题的概率为0.4，且这些问题的回答相互独立，两人的发挥也相互独立.
(1)甲乙两人第一题答案不同的概率；
(2)甲恰好答对5个题的概率；（只需列出式子）
(3)乙答对几个题的概率最大?直接写出结论.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算甲乙两人第一题都答对和都答错的概率，进而根据对立事件的概率得答案；
（2）由题知甲回答问题正确的个数，进而根据二项分布的概率公式求解即可；
（3）由题知乙回答问题正确的个数，进而结合二项分布的概率公式求解最值即可.
【详解】(1)解：因为，甲回答正确任一问题的概率为0.7，乙回答正确任一问题的概率为0.4，
所以甲乙两人第一题都答对的概率为，都答错的概率为，
所以，甲乙两人第一题答案不同的概率为
(2)解：由于甲回答正确任一问题的概率为0.7，且这些问题的回答相互独立，
所以，甲回答问题正确的个数，
所以，甲恰好答对5个题的概率为.
(3)解：乙答对4个题的概率最大.
因为乙回答正确任一问题的概率为0.4，且这些问题的回答相互独立，
所以，乙回答问题正确的个数，
所以，假设乙答对个题的概率最大，则概率为，，
则，解得，，
所以，当时，取得最大值，
所以，乙答对4个题的概率最大.
19．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)令，求的单调区间与极值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为.
【分析】（1）根据对数的定义域求解；（2）求导，求解和，利用点斜式写出切线方程；
（3）表示出，求解导函数，分析单调性，并求解极值.
【详解】(1)由题意，，所以该函数的定义域为.
(2)，所以，，
所以切线方程为.
(3)，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以的极小值为.
20．已知椭圆：的，满足，过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点（不与重合）.直线的斜率为，直线的斜率为，判断与是否为定值?若为定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不是定值，而为定值，定值为.
【分析】（1）由椭圆过点，求得，根据，得到，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，化简得到，以及，即可得到答案.
【详解】(1)解：由题意，椭圆过点，可得，
又由，所以，所以椭圆的方程为.
(2)解：如图所示，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
所以直线的斜率存在，设直线斜率为，
因为直线过点，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得，
且，，
则，
所以（不是定值）；
又由
（定值）,
综上可得，不是定值，而为定值，定值为.
21．我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.
（1）若，，且，，计算，的值；
（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
【答案】（1），；（2）4；（3）.
【分析】（1）根据定义直接计算即可得出答案；
（2）根据题意，得仅有1个1或3个1，再分仅有1个1时，仅有3个1时，时，三种情况分类讨论即可得出结论；
（3）根据时，，则，得只有3种情况，，且成对出现，从而可得出答案.
【详解】解：（1），
；
（2）设，，，
时，为奇数，则仅有1个1或3个1，
时，为偶数，
①当仅有1个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为1，
此时，共4个元素，
②当仅有3个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为0，
此时，共4个元素，
③当时，则，不符题意，舍去，
综上所述，集合中元素个数的最大值为4；
（3），，
时，，则，
则只有3种情况，，且成对出现，
所以B中最多有个元素，.
【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能力，难度较大.
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
140
136
136
135
134
133
128
127
124
语文成绩
102
110
111
126
102
134
97
95
98
0
1
2
种类
选择
主菜
鸡肉或烤牛肉
主食
面、米饭或土豆
甜点
冰淇淋、果冻、苹果酱或桃子