北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计）（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．（3分）如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
4．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，延长CP，DP交OB，F．下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．PC＝PE
5．（3分）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，交AB于点E，∠A＝60°，则∠BDE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．50°
6．（3分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AE＝BEB．∠AED+∠EBC＝90°
C．∠DAE＝∠EBCD．∠BAE＝∠CAE
7．（3分）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
8．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S；②AS＝AR；③QP∥AR（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
10．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，BE＝5，则重叠部分的面积是 ．
11．（3分）已知点M（1﹣a，2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，则∠E的度数为 ．
13．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，则N处与灯塔P的距离为 海里．
14．（3分）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD，∠BAD＝30°，∠B＝90° ．
15．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，大于CD的长为半径作弧，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E °．
三、解答题
17．如图，已知线段AB与直线平行．
（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F，请用等式表示线段AB，AC ．
18．已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，连接AE交BC于点F
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
20．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，将点C关于直线AP对称，得到点B
​
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的字都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根据多边形的每个内角相等推导出每个外角相等，再根据多边形的外角和等于360度，从而解决此题．
【解答】解：∵十二边形的每个内角都相等，
∴这个多边形的每个外角也相等．
∵360°÷12＝30°，
∴这个多边形的每一个外角的度数是30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
3．（3分）如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
【答案】B
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为：
根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2．
故选：B．
【点评】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想．
4．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，延长CP，DP交OB，F．下列结论错误的是（ ）
A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．PC＝PE
【答案】D
【分析】根据AAS证明△POD≌△POC（AAS），可得结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POC，
∵PD⊥OB，PC⊥OA，
∴∠PCO＝∠PDO，
在△POD和△POC中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，故A，B；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，交AB于点E，∠A＝60°，则∠BDE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．50°
【答案】B
【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠ABD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CBD的度数，由DE∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣60°＝35°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝35°．
又∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，求出∠CBD的度数是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AE＝BEB．∠AED+∠EBC＝90°
C．∠DAE＝∠EBCD．∠BAE＝∠CAE
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质及角平分线定义、直角三角形的性质求解判断即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，∠DAE＝∠ABE，
故A不符合题意；
∴∠ABE+∠AED＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AED+∠EBC＝90°，∠DAE＝∠EBC，
故B、C不符合题意；
只有AE平分∠BAC时，∠BAE＝∠CAE，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，熟记线段垂直平分线性质是解题的关键．
7．（3分）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】D
【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．
【解答】解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，
∴MD＝ND＝5.5，
∴CM＝6﹣2.5＝4.4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．
8．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S；②AS＝AR；③QP∥AR（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②正确，再根据AQ＝PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA＝∠QAR，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS＝∠B，便可推出结论④．
【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS＝AR，∠QAP＝∠PAR，
∵AQ＝PQ，
∴∠PAR＝∠QPA，
∴∠QPA＝∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠PAR＝∠QPA＝30°，
∴∠PQS＝60°，
在△BRP和△QSP中，
，
∴△BRP≌△QSP（AAS），故④正确
∴①②③④项四个结论都正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．
二、填空题
9．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC＝∠DEF＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠DFE＝∠BCA，
∴添加AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），
故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
10．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，BE＝5，则重叠部分的面积是 10 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠1＝∠2，
而∠2＝∠3，
∴∠2＝∠2，
∴ED＝EB，
又∵AE＝3，AB＝4，
∴DE＝5，
∴重叠部分△BDE的面积＝DE×AB＝．
故答案为：10．
【点评】本题考查了折叠的性质以及三角形的面积公式．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
11．（3分）已知点M（1﹣a，2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 a＞1 ．
【答案】a＞1．
【分析】首先确定出M所在象限，在根据每个象限内点的坐标规律确定出横纵坐标的符号，解出不等式即可．
【解答】解：∵点M（1﹣a，2）关于x轴的对称点在第三象限，
∴点M在第二象限，
∴5﹣a＜0，
解得：a＞1，
故答案为：a＞3．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是正确确定出M点所在象限．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，则∠E的度数为 50° ．
【答案】50°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据全等三角形的性质得到答案．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠B＝50°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠E＝∠B＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，则N处与灯塔P的距离为 80 海里．
【答案】80．
【分析】根据平角的性质得到∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，根据平行线的性质得到∠M＝70°，求得∠NPM＝∠M，根据等腰三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：∵∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠M＝70°，
∴∠NPM＝∠M，
∴NP＝MN＝40×2＝80（海里），
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出NP＝MN，题目比较好，难度适中．
14．（3分）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD，∠BAD＝30°，∠B＝90° 8 ．
【答案】8．
【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC＝∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC＝∠ACD，然后得到∠DAC＝∠ACD，再根据等角对等边的性质可得AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，再根据矩形的对边相等可得DE＝4，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长度，从而得解．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵CD∥AB，∠B＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE＝BC＝4，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝3×4＝8，
∴CD＝7．
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角梯形，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质，矩形的对边相等，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作出图形构造出直角三角形是解题的关键．
15．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° 70°或20° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．
【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A＝40°，
∴∠B＝＝＝70°；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠3＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∴∠B＝∠C＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，大于CD的长为半径作弧，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E 126 °．
【答案】126．
【分析】连接AD、DE，如图，设∠C＝α，利用基本作图得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C＝α，所以∠AED＝2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝90°﹣α，接着利用AB＝AD得到∠ADB＝∠B＝90°﹣α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°求出α＝36°，然后利用三角形外角性质计算∠AEG的度数．
【解答】解：连接AD、DE，设∠C＝α，
由作法得EF垂直平分CD，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝α，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝2α，
∵CA＝CB，
∴∠B＝（180°﹣∠C）＝90°﹣α，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝90°﹣α，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴90°﹣α+2α+α＝180°，
解得α＝36°，
∴∠AEG＝90°+∠C＝90°+36°＝126°．
故答案为126．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
三、解答题
17．如图，已知线段AB与直线平行．
（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F，请用等式表示线段AB，AC CG+AC＝AB ．
【答案】（1）详见解答；
（2）CG+AC＝AB．
【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线；
（2）利用等腰三角形的判定和性质先说明AC＝CE，再利用“ASA”说明△GFE≌△BFA，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论．
【解答】解：（1）AE就是∠CAB的角平分线；
（2）∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠CAE＝∠EAB．
∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠EAB．
∴∠CAE＝∠CEA．
∴AC＝CE．
∵AE的中点为F，
∴AF＝FE．
在△GFE和△BFA中，
，
∴△GFE≌△BFA（ASA）．
∴GE＝AB．
∴CG+CE＝CG+AC＝AB．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．
18．已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件证得△ABC≌CDE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，连接AE交BC于点F
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
【答案】证明过程见解答．
【分析】（1）根据HL证明△ABD≌△CAE即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出相应的角度，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE＝AD；
（2）由（1）知，CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝（180°﹣45°）＝67.7°，
∴∠AFB＝∠CFE＝67.5°，
∵∠AFB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝90°﹣∠CAE＝67.2°，
∴∠BAF＝∠BFA＝67.5°，
∴BA＝BF，
由（1）知，∠CAE＝∠ABD＝22.5°，
∴∠FBD＝45°﹣22.4°＝22.5°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴AH＝FH，
∴H是AF的中点．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．已知△ACD中，AC＝AD，∠CAD＝α，将点C关于直线AP对称，得到点B
​
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数，请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，DE．若α＝90°．求证：CE⊥ED．
【答案】（1）①见解析过程；
②30°；
③∠BDC的大小不变，∠BDC＝30°；
（2）见解析过程．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可求；
②由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝50°，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，即可求解；
③由等腰三角形的性质可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，由轴对称的性质可得∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可证AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，可证△AEH是等边三角形，可得EH＝AH＝CH＝DH，即可求解．
【解答】（1）：①解：如图所示；
②解：∵AC＝AD，∠CAD＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝50°，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝140°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°，
∴∠BDC＝30°，
故答案为：30°；
③解：∠BDC的大小不变，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°﹣α，
∴∠BDC＝30°；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，
∵AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AH＝CH＝DH，
∵∠B＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AH＝CH＝DH，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．