广东省揭阳市普宁市第二中学2024届高三上学期期中数学试题

这是一份广东省揭阳市普宁市第二中学2024届高三上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：高三数学备课组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则的子集数量是（ ）
A．32B．31C．8D．7
2．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“方程有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．记函数在区间上的最大值和最小值分别为和，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A．1或B．或C．1或D．或
7．函数在区间上的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知实数，则“”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
10．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．的值域为D．的图象关于直线对称
12．已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数有极小值，但无最小值
B．函数有极大值，但无最大值
C．若方程恰有一个实数根，则
D．若方程恰有三个不同实数根，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个具有性质①②③的函数_________．
①的定义域为；②；③当时，
14．分式不等式的解集为_________．
15．在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则的最小值为_________．
16．设函数．给出下列四个结论：
①函数的值域是R；②，有；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是．其中正确的结论的序号是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知等差数列满足：．的前项和为．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
18．（12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（12分）已知函数．
（1）若在点的切线，与直线平行，求过点的切线方程；
（2）设函数在区间内是减函数，求实数的取值范围．
20．（12分）如图，在平面四边形中，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
21．（12分）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且，求证：（其中是自然对数的底数）．
高三级期中考试数学试卷参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
8．【详解】函数的定义域为R，
，
所以函数为奇函数，
因为，
所以函数在R上单调递增，
所以，
所以，即，解得
所以不等式的解集为．故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
12．【详解】由题意得．令，即，解得或．则当或时，，函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．又时，时．作出函数的大致图象如下图所示：
因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值．若方程恰有一个实数根，则或；若方程恰有三个不同实数根，则．故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
14．【详解】，得：，
转化为一元二次不等式
，解得．
15．【解析】由题意得，即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故答案为：9．
16．【详解】对于①中，由函数，
根据二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图（1）所示，
由的图像，可得的值域是R，所以①正确；
对于②中，可得，显然在上并不单调递增，所以②不成立，所以②错误；
对于③中，假设存在，使得，则，
即，即与有交点，
作出函数和的图像，如图（2）所示，显然假设成立，所以③正确；
对于④中，由图（1），可得，则，
因为，所以，即，解得，
所以，即的取值范围是，所以④正确；综上可得：①③④正确，②错误．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
17．解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以有，
解得，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
即数列的前项和．
18．解：（1）四边形是正方形，．
又平面平面，平面平面，且平面
平面．
（2）由，得，
．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
则，令，则，
．
，令，则，
，
，
设平面与平面的夹角为，则，
．
平面与平面夹角的余弦值为．
19．解：（1）
由在点的切线，与直线平行，
，解得，
设过点的切线与函数相切于，
即或，
切点分别为，
切线方程为：或．
（2）在区间内是减函数，在上恒成立，
即在上恒成立，，
令，则，
在递增，在递减，
又，
所以实数的取值范围为．
20．解：（1）因为，
由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）设，
在中，由正弦定理得，所以
在中，，
则，即②
由①②得：，即，
，
整理得，所以，即．
21．解：（1）依题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当直线斜率存在时，设的直线方程为，
联立，消得，
由题意，．
设，则．
因为，所以是的中点．
即，得①，
又的斜率为，直线的方程为②，
把①代入②可得：，所以直线恒过定点．
当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线为轴，也过．
综上所述，直线恒过点．
22．解：（1）函数定义域为，
，
当时，恒成立，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时令，解得或，
当，即时恒成立，所以在上单调递增；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
当即时，令，解得或，则在，上单调递增，
令，解得，则在上单调递减；
综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，
由题意是方程的两个根，
①，②，
①②两式相加，得③，
①②两式相减，得④，
联立③④，得，
设，则由可得，
，
因为，
所以，则，
若，则一定有，
只需证明当时，不等式成立即可，
即不等式成立，
设函数，
在上单调递增，故时，，
即证得当时，，即证得，
，即证得，则．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
D
C
B
A
A
9
10
11
12
AC
AB
ACD
BD
13
14
15
16
（答案不唯一）
9
①③④