2020-2021年广东省揭阳市普宁市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年广东省揭阳市普宁市高一数学下学期期中试卷及答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题.，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．i是虚数单位，若集合S＝{﹣1，0，1}，则（ ）
A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD．
B．
2．如图，平行四边形ABCD中，E分别是BC的中点，若＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
D．
3．若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的体积为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．
A．
4．若复数z满足z（1+i）＝2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ）
A．（，1）B．（1，）C．（，）D．（，）
C．
5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝（ ）
A．60°B．30°C．90°D．45°
A．
6．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（ ）
A．B．C．D．10
【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．
B．
7．已知△ABC的面积为10，且AB＝7，∠ACB＝60°，则该三角形的周长为（ ）
A．15B．18C．20D．21
C．
8．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g
A．118.8gB．108gC．97.2gD．86.4g
A．
二、不定项选择题（4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求）
9．下列说法正确的是（ ）
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
BCD．
10．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，以下能独立说明△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．sinA＝sinBB．sin2A＝sin2B
C．D．
AC．
11．设z1，z2是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•
D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
ABC．
12．设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中相异的四点，若＝（λ∈R），＝（μ∈R），且＝2，则称A3，A4调和分割A1A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（ ）
A．A、B、C、D四点共线
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
AD．
三、填空题（4小题，每小题5分，共20分；第16题第一空2分，第二空3分）
13．i是虚数单位，则的值为 ．
【分析】利用复数模的运算性质即可求解．
14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 14π ．
15．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区，城市B在A地正东40千米处，则城市B处在危险区内的时间是 1小时 ．
16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则•＝ ．
四、解答题（6道大题，共70分）
17．已知i为虚数单位，复数z1＝1+i，z2＝8+5i，z3＝15﹣14i，
（1）将z3+z1z2化为a+bi的形式，这里a、b∈R；
（2）如果复平面内表示复数z＝z1m2﹣z1m+z3的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
18．已知＝（csα，sinα），＝（csβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|﹣|＝，求证：⊥；
（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．
解：（1）由＝（csα，sinα），＝（csβ，sinβ），
则＝（csα﹣csβ，sinα﹣sinβ），
由＝2﹣2（csαcsβ+sinαsinβ）＝2，
得csαcsβ+sinαsinβ＝0．
所以．即；
（2）由
得，①2+②2得：．
因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．
所以，，
代入②得：．
因为．所以．
所以，．
19．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cs∠ADC＝．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
解：（1）在△ADC中，∵cs∠ADC＝，
∴sin∠ADC＝＝＝＝，
则sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•csB﹣cs∠ADC•sinB＝×﹣＝．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcsB＝82+52﹣2×8×＝49，
即AC＝7．
20．如图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA＝1，母线SA＝3．
（1）A、B是圆O的一条直径的两个端点，母线SB的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A、D两点的距离，求这个距离的最小值；
（2）现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率＝）
解：（1）如图，将圆锥SO的侧面自母线S处展开，得到扇形ASA′，SB′为母线SB在侧面展开图中相应的线段，
∵弧AA′＝2π，∴，∴，
取SB′的中点D′，则D′为D在侧面展开图中的相应点．
连接AD′，在△ASD′中，由余弦定理得AD′2＝SA2+SD2﹣2SA×SD′×cs∠ASD′＝．
故AD的最小距离为；
（2）设新正方体工件的棱长为x，沿正方体对角面切圆锥，得到一个轴截面，如图：
∴EF＝，FG＝x，
∵△BFG∽△BSO，∴，解得x＝，
故，又π，
∴原工件材料的利用率为．
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量＝（a+b，sinA﹣sinC），向量＝（c，sinA﹣sinB），且∥．
（1）求角B的大小；
（2）如果△ABC是钝角三角形，求该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围．
解：（1）由∥，得（a+b）（sinA﹣sinB）﹣c（sinA﹣sinC）＝0，
根据正弦定理，得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣c）＝0，即a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理，得csB＝＝＝，又B∈（0，π），所以B＝；
（2）因为△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角，则0＜C＜，
根据三角形的边角关系，必有a＞b＞c，于是m＝，
根据正弦定理，有m＝＝＝＝＝+，
由于0＜C＜，则0＜tanC＜，故m＝+∈（2，+∞），
因此，该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围是（2，+∞）．
22．如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足＝，过点O的直线分别与射线AB、射线AC交于M、N两点．
（1）求证：＝+；
（2）设＝m，＝n，m＞0，n＞0，求的值；
（3）如果△ABC是边长为2的等边三角形，求OM2+ON2的取值范围．
解：（1）证明：因为D是BC的中点，
所以＝；
（2）因为M．N，O三点共线，故存在实数λ使得：，
即＝，整理可得：＝，
由（1）可知，，
由平面向量基本定理，，所以；
（3）因为三角形ABC为边长为2的等边三角形，故AM＝2m，AO＝，
在△AOM中，由余弦定理可得：OM2＝AM2+AO2﹣2AM•AO×cs30°＝4（m），
在△AON中，同理可得：ON，
故OM2+ON2＝4（m）＝4[（m+n）]，
由（2）知，则mn＝，
故OM2+ON2＝4[（m+n）]
＝4[（m+n﹣）]，
由基本不等式，可得：m+n，
当且仅当m+n＝，即m＝n＝时，OM2+ON2取得最小值为，
故OM2+ON2的取值范围为[）．