北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题08 全等三角形证明方法 一线三等角模型（2份打包，原卷版+含解析）

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（1）条件：如图， SKIPIF 1 < 0 是经过 SKIPIF 1 < 0 顶点C的一条直线， SKIPIF 1 < 0 ，E、F分别是直线 SKIPIF 1 < 0 上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结论： SKIPIF 1 < 0 .
（2）条件：如图，直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的外部， SKIPIF 1 < 0 ，E、F分别是直线 SKIPIF 1 < 0 上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
（3）条件：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
（4）条件：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
（5）条件：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结论： SKIPIF 1 < 0 .
例题精讲：
例1．【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有
SKIPIF 1 < 0 ．理由：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．
【模型运用】如图2： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
【能力提升】如图3：在等边 SKIPIF 1 < 0 中，A，C分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 边上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边在 SKIPIF 1 < 0 内作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时， SKIPIF 1 < 0 的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？
例2．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点C，且 SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E．
（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转到图（2）的位置时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的等量关系．
例3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动（点D不与点B和点
C重合），连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点E．
（1）在点D的运动过程中， SKIPIF 1 < 0 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 SKIPIF 1 < 0 的度数；若不可以，请说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
例4．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点A作 SKIPIF 1 < 0 于点H，
反向延长线段 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时
①请直接写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证： SKIPIF 1 < 0
（2）如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
例5．直线l经过点A， SKIPIF 1 < 0 在直线l上方， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1， SKIPIF 1 < 0 ，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为任意锐角或钝角），猜想线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 有何数量关系？并给出证明；
（3）如图3， SKIPIF 1 < 0 过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是 SKIPIF 1 < 0 延长线上的一个动点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．直线l与 SKIPIF 1 < 0 交于点G．求证：G是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
专练过关：
1．如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点P在 SKIPIF 1 < 0 上，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D、A、E三点都在直线m上，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
3．如图， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点D为 SKIPIF 1 < 0 边上一点，先将三角板 SKIPIF 1 < 0 角的顶点与D点重合，平放三角
板，再绕点D转动三角板，三角板 SKIPIF 1 < 0 角的两边分别与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点E、点F，当 SKIPIF 1 < 0 时，如
图（2）所示．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
4．如图，把一块直角三角尺 SKIPIF 1 < 0 的直角顶点C放置在水平直线 SKIPIF 1 < 0 上，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
，试回答下列问题：
（1）若把三角尺 SKIPIF 1 < 0 绕着点C按顺时针方向旋转，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 度；
（2）在三角尺 SKIPIF 1 < 0 绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作 SKIPIF 1 < 0 于M， SKIPIF 1 < 0 于N，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）三角尺 SKIPIF 1 < 0 绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间有什么关系？请说明理由．
5．已知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点A．
（1）如图1， SKIPIF 1 < 0 ，分别过点B，C作直线l的垂线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系为 ．
6．已知，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，A，E三点都在直线m上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系
为 ；
（2）如图②，判断并说明线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；
（3）如图③，若只保持 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点A在线段 SKIPIF 1 < 0 上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段 SKIPIF 1 < 0 上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
7．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，猜想线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展与应用：如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，点F为 SKIPIF 1 < 0 平分线上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，分别连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
8．如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．点F是线段 SKIPIF 1 < 0
上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为斜边作等腰 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 °；
（2）过D点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G．
①填空： SKIPIF 1 < 0 ；
②求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，若点F是线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并简要说明理由．