苏科版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题05 因式分解（2份打包，原卷版+含解析）

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专题05因式分解














一、因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
注意：
（1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
1.公因式
定义：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
注意：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
2.提公因式法
定义：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
注意：
（1） 提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2） 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3） 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
3.公式法——平方差公式
定义：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
注意：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
4.公式法——完全平方公式
定义：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.
注意：
（1） 逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
5.因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
6.因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止
二、方法拓展
1.因式分解求参
已知，求的值.
方法：变形为
因式分解：
利用非负性求解即可
2.十字相乘法
例：
分析：
解：原式
方法：
1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；
2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；
4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果
3.分组分解法
例：
＝
＝
＝
方法：1.将原式的项适当分组；2.对每一组进行处理（提或代）3.将经过处理后的每一组当作一项，再采用（提或代）进行分解。
4.因式分解的几何应用
2m2+5mn+2n2可以因式分解为
方法：与前面类型几何类似。用割补的方式把图形分成几份
，用等面积法两种方法表示，构造等式。

5.因式分解的新定义
在基础定义的时候，我们只需学会模仿，无需理解题意；如上题。
如果遇到答题最后一题的话，需要理解题意，举一反三。
【专题过关】
类型一、判断因式分解
【解惑】
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用公式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法和平方差公式法，解题关键是牢记因式分解的方法．
【融会贯通】
1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
2．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
3．（2021春·宁夏银川·八年级校考期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解．据此可以判断得解．
【详解】A．等号的右边不是几个整式的积的形式，故选项A不符合题意；
B．等号的右边不是几个整式的积的形式，故选项B不符合题意；
C．等号的右边是一个多项式，故选项C不符合题意；
D．从左到右边的变形，是因式分解，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解的定义是解答此题的关键．
4．（2021春·重庆南岸·八年级校联考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【详解】解：A、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、，原式分解有误，故B不符合题意；
C、，是整式乘法，故C不符合题意；
D、，右边含有多项式的和，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的判断，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
5．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）因式分解： _____.
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）分解因式： ______．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
8．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）因式分解： _____．
【答案】
【分析】先提公因式，再运用完全平方公式分解因式．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．熟记乘法公式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
类型二、因式分解的计算
【解惑】
（2022春·江苏常州·七年级校考期中）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用提公因式法分解因式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；
（3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）
；
（2）

；
（3）

．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【融会贯通】
1．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：


．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．
2．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．
【详解】（1）解：

；
（2）



【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2021秋·四川巴中·八年级校考期中）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：


．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
4．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）原式直接运用平方差公式进行答案网；
（2）原式首先提取公因数2后，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）提取公因式，即可得；
（2）提取公因数2，运用完全平方公式即可得．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝
＝．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是关键．
6．（2022春·湖南永州·七年级校考期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解题关键是综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．


7．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1））直接提取公因式进行分解即可；
（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（4）首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）

；
（3）

；
（4）


【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，与提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（1）先利用整式的乘法计算，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：


（2）解：



【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．




类型三、因式分解的应用
【解惑】
（2022秋·福建泉州·八年级福建省南安市侨光中学校考期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)如图1所示，用两块型长方形和一块型、一块型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．用两种不同的方法计算图1中正方形的面积，可以写出一个熟悉的数学公式：___________：如图2所示，用若干块型长方形和型型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，可以写出因式分解的结果等于：___________；
(2)如图3，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．就可以得到一个等式，这个等式是___________；
请利用这个等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足，求的值
②若三个实数x，y，z满足，求的值．
【答案】(1)，
(2)，①28 ②33

【分析】（1）从整体看，图形为矩形，面积=长×宽，从部分看，图形为若干小矩形，面积等于各部分的和，将图形的面积用两种方式表示即可解答；
（2）先根据图形，得到一个等式，再根据这个等式，①将代入即可解答；②根据积的乘方的逆运算，将整理为，得出，再结合前面的等式即可进行解答．
【详解】（1）解：由图可知：图一面积=，
由图可知：图二面积=，
故答案为：，．
（2）由图可知：图三面积=．
①，
∴=28，
②，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了根据几何面积进行因式分解，解题的关键是熟练掌握整式的乘法和因式分解的方法，将图形的面积用两种不同的方法表示出来．







【融会贯通】
1．（2021秋·山东烟台·八年级统考期中）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ）

A．2560 B．490 C．70 D．49
【答案】B
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴



．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键．
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题：

(1)请用两种方法表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______，②______；由此可以得到一个等量关系是______．
(2)若图中、满足，，求的值．
(3)若，求的值．
(4)请利用上面的图形分割方法进行因式分解：______（直接写出分解结果即可）．
【答案】(1)，，
(2)5
(3)
(4)

【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和；
（2）根据，先求出，即可求出的值；
（3）根据即可求解；
（4）利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：该正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
故答案为：，，；
（2）解：，，
，
或（舍去），
即的值为5；
（3）解：，
即，
，
，
；
（4）解：如图所示，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程
解：设①，将①带入原式后，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
【答案】(1)提取公因式
(2)
(3)

【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；
（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可；
（3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法
故答案为：提取公因式
（2）解：由题意得：


（3）解：设，将代入中得：
原式




【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．





4．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）一个代数式，若字母取值为整数，它的结果一定是偶数，则称这个式子为“双喜式”．例如：
①，
∵为整数，
∴是偶数，
∴是“双喜式”；
②，
将其变形得，
∵为整数，
∴与是两个连续整数，必有一个偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴是“双喜式”．
(1)下列各式中，不是“双喜式”的是（    ）
A．；B．；C．；D．
(2)求证：是“双喜式”．
【答案】(1)D
(2)证明见解析

【分析】（1）根据“双喜式”的定义，逐项验证即可得到答案；
（2）根据“双喜式”的定义，按照阅读材料中的方法求证即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“双喜式”的定义，
A、，
∵为整数，
∴是偶数，
∴是“双喜式”，不符合题意；
B、，
将其变形得，
∵为整数，则为整数，
∴是偶数，
∴是“双喜式”，不符合题意；
C、，
，
∵为整数，则为整数，
∴是偶数，
∴是“双喜式”，不符合题意；
D、，若取，则，为奇数，不是“双喜式”，符合题意，
故选：D；
（2）证明：，
∵为整数，
∴、与是三个连续整数，必有一个偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，即是“双喜式”．
【点睛】本题考查新定义题型，涉及因式分解，读懂题意，按照新定义要求分析求证是解决问题的关键．








5．（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a>b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式① ．
【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b（a>b）的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）

图3中的几何体的体积为② ．
图4中几何体的体积为③ ．
根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为④ ．（结果写成整式的积的形式）
请按照要求在横线处填上合适的式子．
【知识运用】
（1）因式分解：；
（2）已知，，求的值．
（3）有人进行了这样的化简，，…面对这样荒谬的约分，一笑之后，再认真检测，发现其结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们猜想：，
试说明此猜想的正确性．（参考公式：）
【答案】①；②；③；④；（1）；（2）；（3）正确，说明见解析
【分析】①根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可；
②用体积公式表示图3的体积；
③用体积公式表示图4的体积；
④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变列出等式即可；
（1）利用知识迁移中的结论，对进行因式分解；
（2）利用结论对进行变形，化为含有和的式子，然后代入即可；
（3）利用知识迁移中的结论，对进行变形化简即可求证结论；
【详解】①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：，
故答案为：；
②根据图3可知：体积为：，
故答案为：；
③根据图4可知：体积为：，
故答案为：；
④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变可得：，
故答案为：；
【知识运用】（1）
（2）∵，，
∴
∴
（3）∵

∴这一猜想正确．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键．
6．（2022秋·福建泉州·八年级统考期中）对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：
像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题：
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)已知是的三边长，且满足，求的周长；
(3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)12
(3)；见解析

【分析】（1）在原式中先加一项，再减去，用完全平方公式对式子进行因式分解，最后利用平方差公式再进行一次因式分解即可；
（2）根据题目中的式子，利用配方法进行因式分解，再利用非负数的性质求出的值，算出的周长即可；
（3）将两式作差，和比较大小即可得到结论．
【详解】（1）解：原式



（2）解：，
，
则，
是的三边长，
，
；
（3）解：




∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查配方法，掌握因式分解，熟记完全平方公式是解题关键．







7．（2022秋·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)如图，利用阴影面积的不同表示方法写出一个我们熟悉的数学公式：___________；
(2)解决问题：如果，求的值；
(3)类比第（2）问的解决方法探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】(1)；
(2)49；
(3)7．

【分析】（1）根据图形的面积的两种不同的计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
【详解】（1）解：方法一:通过观察可得，阴影部分的长为，宽也为，
即阴影部分为一个正方形，则；
方法二：边长为a的大正方形，减去2个长为a，宽为b的长方形，再加上多减掉一次的边长为b的小正方形，
即为阴影部分的面积；则，
；
（2）解：，
；
（3）解：设，，
，
，
，
，
所以长方形的面积为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
类型四、因式分解求参
【解惑】
（2019秋·吉林长春·八年级统考期中）仔细阅读下面例题，解答问题.
【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值.
解：设另一个因式为，
则，即.
解得
∴另一个因式为，的值为.
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值.
（2）已知关于的多项式有一个因式是，求的值.
【答案】（1），；（2）20.
【分析】（1）按照例题的解法，设另一个因式为，则，展开后对应系数相等，可求出a，b的值，进而得到另一个因式；
（2）同理，设另一个因式为，则，展开后对应系数相等，可求出k的值.
【详解】解：（1）设另一个因式为
则，即.
∴解得
∴另一个因式为，的值为.
（2）设另一个因式为，
则，即.    
∴解得
∴的值为20.
【点睛】本题考查因式分解，掌握两个多项式相等，则对应系数相等是关键.
【融会贯通】
1．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　）
A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6
【答案】C
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案．
【详解】解：，
∵多项式分解因式得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解．
2．（2022春·四川达州·八年级校联考期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（    ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】把根据乘法法则计算后与比较即可．
【详解】解：
=2(x2+x-2x-2)
=2x2+2x-4x-4
=2x2-2x-4，
∵=2x2-2x-4，
∴b=-2，c=-4，

故选B．
【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．
3．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）多项式可因式分解成，其中，，均为整数，的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，从而可得，，，进而求出的值，进行计算即可解答．
【详解】解：，

，
，，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
4．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（    ）
A．–6 B．6 C．–9 D．9
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案．
【详解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n
∴8+n=5，m=2n，
∴n=-3，m=-6
故选A．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．
5．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________．
【答案】3
【分析】根据二次三项式有一个因式是，且 ，即可得到m的值．
【详解】解：∵二次三项式有一个因式是，
，
∴，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式．

6．（2022秋·四川眉山·八年级校考期中）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值为______．
【答案】81
【分析】设另一个因式为x−a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得，根据各项系数相等列式，计算可得2m−n＝4．
【详解】解：设另一个因式为x−a，
则，
得，
由①得：a＝m−2③，
把③代入②得：n＝2（m−2），即2m−n＝4，
＝34＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题是因式分解的意义和同底数幂的除法，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，
7．（2021秋·山东烟台·八年级统考期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可．
【详解】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：a＝13，k＝65．
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．

类型五、十字相乘法
【解惑】
（2021秋·湖南怀化·七年级校考期中）阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②．
材料2：因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
(1)根据材料1，分解因式：．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：．
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①；②

【分析】（1）将写成，根据材料1的方法可得）即可；
（2）①令，原式可变为，再利用十字相乘法分解因式即可；
②令，原式可变为，即，利用十字相乘法可分解为，再将“”还原，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）①令，
∴


∴
②令，



，
∴
．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的结构特征是解题的关键．




【融会贯通】
1．（2023春·七年级课时练习）如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．
2．（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，能根据多项式的特点，灵活选择方法是关键．


3．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式．
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：．
请依照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，

【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；
（3）找出所求满足题意p的值即可．
【详解】（1）解：
（2）解：原式

；
（3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：
；；；，
即整数的所有可能的值是：，．
【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
【答案】
【分析】先设，根据整式的乘法化简后利用十字相乘法因式分解，再将y换回，再次因式分解即可．
【详解】解：设，则
原式．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握换元法和十字相乘法是解题的关键．
5．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：

(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）把拆成即可；
（2）把拆成，把-14拆成即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
6．（2022秋·青海西宁·八年级校考期中），反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．

示例：因式分解：．
解：由图②可知，．
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）解：由图1可知，．
；
（2）解：由图2可知，．
．
【点睛】本题考查了因式分解的方法-十字相乘法，弄清题中十字相乘的方法是解题的关键．
7．（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】（1）


；
（2）设，
∴原式
∴

；
（3）



；
（4）



．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
类型六、分组分解法
【解惑】
（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．



；
也可以


．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①
②
(2)拓展延伸
①若求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？
【答案】(1)①；②
(2)①，；②，，最小值：

【分析】（1）①正确分组，然后用提取公因式，利用平方差公式求解；②将化为，再利用完全平方公式，平方差公式求解；
（2）①将化为，求出x和y的值；②将分组分解得到，结合，，求出x和y的值，的最小值．
【详解】（1）解：①


；
②


；
（2）解：①，
，
，
，，
，；
②

，
，，
，时，有最小值，最小值是-10，
，，
，
即当，时，代数式有最小值，最小值是-10．
【点睛】本题考查了因式分解的方法-分组分解法，平方差公式和完全平方公式；正确进行分组是解决问题的关键．

【融会贯通】
1．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：


；
（2）解：



．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
2．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）分解因式：.
【答案】
【分析】先将多项式分组为，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：



．
【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．
3．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值．
【答案】或
【分析】，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴，
∴①，
同理可得②，③，
当时，
①＋②＋③得，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a，b，c三个数中至少一个不是0，
设，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上可知，m的值为或．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键．
4．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）因式分解∶
【答案】
【分析】先分组，再利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：




【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
5．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）分解因式：
【答案】
【分析】分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式．
【详解】
=．
【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．






6．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为



.
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
(3)已知:，，求: 的值
(4)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)7
(4)是等腰三角形，理由见解析

【分析】（1）将和一组，和一组，分别提取公因式，再提取公因式即完成因式分解；
（2）根据完全平方公式进行配方，再提取公因式；
（3）先对进行因式分解，再将，代入即可得到答案；
（4）先对进行因式分解，得到，根据三角形的任意两边之和大于第三边得到，从而得到，从而证得是等腰三角形．
【详解】（1）


；
（2）

；
（3）
=

=

∵，，
∴原式；
（4）是等腰三角形；
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵，所以 ，即，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提取公因式、完全平方公式等方法．






7．（2022春·广东深圳·八年级校联考期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式．
【答案】
【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后利用平方差公式进行分解即可解答．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了因式分解分组分解法，公因式，因式分解运用公式法，合理进行分组是解题的关键．
类型七、因式分解新定义
【解惑】
定义新运算：对于任意实数、，都有，等式右边通常是加法、减法及乘法运算．例如，．
（1）求的值．
（2）通过计算，验证等成立．
【答案】（1）；（2）验证见解析．
【分析】（1）根据提供的新运算法则将原式变形为我们熟悉的运算，然后再求出答案即可；
（2）根据新运算法则分别将及进行计算，据此进行证明即可.
【详解】（1）．
（2）∵．
．
∴．
【点睛】本题主要考查了新运算下的因式分解的运用，根据题意准确理解新运算是解题关键.

【融会贯通】
1．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．，，故推断正确；
B．，，故推断不正确；
C．，，故推断不正确；
D．，，故推断不正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）用“*”定义一种运算：．对于，因式分解的结果是_____．
【答案】
【分析】先根据新运算的定义可得，再综合利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】解：由题意得：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，理解新运算的定义是解题关键．
3．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义：对任意一个四位数其中、、、，且均为整数，若，，则称为“天长地久数”．
定义：如果为正整数，则称是完全平方数．
(1)判断：______是不是“天长地久数”，______是不是“天长地久数”；
(2)证明：任意一个“天长地久数”都是的倍数；
(3)若四位数为“天长地久数”，记，若是完全平方数，求这种四位数的个数．
【答案】(1)不是，是
(2)详见解析
(3)这种四位数的个数共有个

【分析】根据新定义进行判断；
用表示，用表示，再把天长地久数”进行因式分解证明；
根据完全平方数的特点，用代入验证法求解．
【详解】（1）解：，
不是“天长地久数”，
，
是“天长地久数”，
故答案为：不是，是；
（2）证明：由题意得：，，



，
任意一个“天长地久数”都是的倍数；
（3）解：，
，
为完全平方数，
为完全平方数，
、、、，且均为整数，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
这种四位数的个数共有个．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代入验证法是解题的关键．







4．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
(1)的0值为____________，轴值为____________；
(2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等；
(3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________．
【答案】(1)2和，0 ；
(2)4；
(3)0，9．

【分析】（1）把进行因式分解，即可求解；
（2）根据的0值只有一个，则，即可求解；
（3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解．
【详解】（1）解：，
或时，，
的0值为和，
又，
的轴值为0，
故答案为：2和，0 ；
（2）解：的0值只有一个，
，
即的0值为，
又，
，
故答案为：4；
（3）解：，
的0值为：和，
，
；
当的0值与轴值相等，
的0值只有一个，
，
即时，
此时的0值为，轴值为：，
故答案为：0，9．
【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算．
5．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对称；
(2)若关于的多项式关于对称，求的值；
(3)整式关于 对称．
【答案】(1)2
(2)
(3)

【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得；
（2）求出的对称轴，令对称轴等于3即可得；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得．
【详解】（1）解：，
则此多项式关于对称，
故答案为：2；
（2）解：，
关于的多项式关于对称，
又关于的多项式关于对称，
，即；
（3）解：


，
则整式关于对称，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，理解新定义是解题的关键．
6．（2021春·湖南永州·七年级统考期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy．
（1）计算x☆（x2﹣1）；
（2）将x☆16的结果因式分解．
【答案】（1）x；（2）x（x＋4）（x﹣4）
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义化简，分解即可．
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝x3﹣x（x2﹣1）
＝x3﹣x3＋x
＝x；
（2）根据题中的新定义得：
原式＝x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x＋4）（x﹣4）．
【点睛】此题考查了整式的混合运算及提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．