2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中（ ）
A．a：b：c＝32：42：52B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝D．∠A＝15°，∠B＝75°
3．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣16a+64＝（a﹣8）2
C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2D．ab+ac+1＝a（b+c）+1
4．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，连接OA，若OD＝5，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
5．下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）2a＞2b；（3）2＞bc2；（4），一定能推出a＞b的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若分式无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x≠﹣1D．x≠1且x≠﹣1
7．一次函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，大于AC的长为半径作弧，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，若∠C＝40°，则∠BAE＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
9．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（ ）
A．150x﹣100≥5%×100
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，则△OFC的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题。(每小题3分，共21分)
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
12．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
13．若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB” ．
14．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），使B平移到点E，得到△DCE，则点C的坐标为 ．
15．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为 °．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，动点D从点A出发，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，则t＝ 秒．
17．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，∠BDC＝150°，在AB，且AE＝AF，则DE+DF的最小值是 ．
三、解答题。(共79分)
18．解不等式组，并写出它的所有整数解．
19．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．
20．计算：
（1）（）3•；
（2）．
21．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）．
（1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2；
（3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标 ．
22．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，垂足为F，且AE＝DF．
（1）求证：CB＝CD；
（2）若点D是AC的中点，求∠C的度数．
23．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
24．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，E为直线AB上一动点，连接CE，连接AD．
（1）BC＝ ；
（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD＝ ．②如图2，当点E在线段AB上时，若BE＝1；
（3）若∠ECB＝15°，直接写出AD的长度．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，请直接写出PB+PA+PC的最小值；
（3）如图2，将△AOB绕点B旋转，使得A′O′⊥BC，将△A′O′B沿直线BC平移得到△A″O″B′，连接A″、B″、C．是否存在点A″，请直接写出点A″的坐标；若不存在
2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区南昌初级中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案
一、选择题。(每小题2分，共20分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断．
解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中（ ）
A．a：b：c＝32：42：52B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝D．∠A＝15°，∠B＝75°
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A、∵a：b：c＝32：32：55＝9：16：25，
∴设a＝9k，则b＝16k，
∵a7+b2＝（9k）3+（16k）2＝337k2，c3＝（25k）2＝625k2，
∴a6+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝8：2：3，
∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，
x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
则4x°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵a＝，c＝，
∴a2+b2＝c2，满足勾股定理的逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝15°，
∴∠A+∠B＝15°+75°＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理得逆定理和三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣16a+64＝（a﹣8）2
C．a2﹣2a+4＝（a﹣2）2D．ab+ac+1＝a（b+c）+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意；
B．a2﹣16a+64＝（a﹣6）2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．a2﹣3a+4≠（a﹣2）6，故本选项不符合题意；
D．ab+ac+1＝a（b+c）+1，不属于因式分解．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，连接OA，若OD＝5，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
5．下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）2a＞2b；（3）2＞bc2；（4），一定能推出a＞b的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．
解：在（1）中，当c＜0时，故不能推出a＞b；
在（2）中，不等式两边同时除以2，故能推出a＞b；
在（3）中，由于c4＞0，不等式两边同时除以c2，得a＞b，故能推出a＞b；
在（4）中，当b＜7时，故不能推出a＞b；
综上可知一定能推出a＞b的有（2）（3），共2个．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．
6．若分式无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x≠﹣1D．x≠1且x≠﹣1
【分析】根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可．
解：若分式无意义，
解得x＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
7．一次函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），求不等式3x+b＞ax﹣3的解集，就是看函数在什么范围内y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面．
解：从图象得到，当x＞﹣2时，
∴不等式3x+b＞ax﹣4的解集为x＞﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，大于AC的长为半径作弧，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，若∠C＝40°，则∠BAE＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】由作图可得直线DE是线段AC的垂直平分线．然后根据等腰三角形内角和定理即可解决问题．
解：由作图可知，直线DE是线段AC的垂直平分线．
∴EC＝EA，
∴∠C＝∠EAC＝40°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝（180°﹣∠C）＝70°．
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣40°＝30°，
故选B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（ ）
A．150x﹣100≥5%×100
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得不等关系：标价×打折﹣进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可．
解：由题意得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题列一元一次等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，则△OFC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，OD，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，根据旋转的性质得到OA＝OD，OC＝OF，求得△AOD是等边三角形，OD⊥EF，得到AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OA，OD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠AOC＝90°，∠OAC＝，∠B＝∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，
∴OA＝OD，OC＝OF，
∴△AOD是等边三角形，OD⊥EF，
∴AO＝OD＝AD＝4，∠DOF＝90°，
∴AC＝2AO＝6，
∴CD＝2，
∴OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO＝30°，
∴∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
∴∠OFC＝60°，OF＝CF，
∴DF垂直平分OC，
∴∠DFO＝30°，
∴DH＝OD＝，
∴FH＝，
∴OC＝＝4，
∴△OFC的面积＝OC•FH＝×＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质．含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题。(每小题3分，共21分)
11．若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由题意可得x2﹣1＝6且x﹣1≠0，
解得x＝﹣3．
故答案为﹣1．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≥3 ．
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2，求出即可．
解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣3≥2，
∴a≥3．
故答案为：a≥6．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
13．若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB” AC≤AB ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，
应假设AC≤AB，
故答案为：AC≤AB．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），使B平移到点E，得到△DCE，则点C的坐标为 （2，2） ．
【分析】根据B（3，0）得出OB＝3，求出BE＝OE﹣OB＝1，则△OAB沿x轴正方向平移一个单位长度得到△DCE，即可求解．
解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
即△OAB沿x轴正方向平移一个单位长度得到△DCE，
∵A（6，2），
∴C（2，8），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题主要考查了平移的性质和点的平移变化规律，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
15．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为 100 °．
【分析】先利用平行线的性质得到∠C′CB＝90°，则可计算出∠ACC′＝40°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C′AC即可．
解：∵AB∥CC'，
∴∠ABC+∠C′CB＝180°，
而∠B＝90°，
∴∠C′CB＝90°，
∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，
∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
即旋转角为100°．
故答案为100．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，动点D从点A出发，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，则t＝ 5或或4 秒．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，
由勾股定理得：，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴，
∴t＝10÷4＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：，
∴；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得：，
∵BF＝BA，FD⊥AB，
∴DF＝AC＝16，
∴，
∴t＝2÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
17．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，∠BDC＝150°，在AB，且AE＝AF，则DE+DF的最小值是 5 ．
【分析】过点C作CH⊥CD，使CH＝BD，证明△BED≌△CFH（SAS），推出HF＝DE，则DE+DF＝HF+DF≥DH，可知当点D，F，H在同一条直线时，DE+DF取最小值，最小值为DH．
解：如图，过点C作CH⊥CD，连接DH，
∵CH⊥CD，
∴∠HCA+∠ACD＝90°，
∵∠BDC＝150°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，AB＝AC，
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°﹣30°＝90°，
∴∠HCA＝∠ABD，
∵AE＝AF，AB＝AC，
∴BE＝CF，
在△BED和△CFH中，
，
∴△BED≌△CFH（SAS），
∴HF＝DE，
∴DE+DF＝HF+DF≥DH，
∴当点D，F，H在同一条直线时，最小值为DH，
在Rt△DCH中，CH＝3，
∴，
∴DE+DF的最小值是4，
故答案为：5．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的最值问题等，解题的关键是正确作辅助线，将所求线段进行转化．
三、解答题。(共79分)
18．解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可．
解：
由①得，x＜﹣2；
由②得，x≥﹣5，
所以，不等式组的解集是﹣6≤x＜﹣2，
所以，原不等式的所有整数解为：﹣5，﹣7．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
解：（1）2x3﹣5x
＝2x（x2﹣8）
＝2x（x+2）（x﹣5）；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3
＝y（8xy﹣4x2﹣y4）
＝﹣y（4x2﹣3xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）4．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．计算：
（1）（）3•；
（2）．
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算；
（2）先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的除法法则计算．
解：（1）原式＝﹣•
＝﹣；
（2）原式＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
21．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）．
（1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2；
（3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标 （﹣1，2） ．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）连接AA3，由题意可得对称中心为线段AA3的中点，即可得出答案．
解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．
（2）如图，△A2B2C8即为所求．
（3）连接AA3，
由题意可得，对称中心为线段AA3的中点，
∵A（8，5），A3（﹣7，﹣1），
∴对称中心的坐标为（﹣1，4）．
故答案为（﹣1，2）.
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、平移、中心对称的性质是解答本题的关键．
22．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，垂足为F，且AE＝DF．
（1）求证：CB＝CD；
（2）若点D是AC的中点，求∠C的度数．
【分析】（1）由AE⊥BD，DF⊥BC，得∠E＝∠DFB＝90°，由AD＝DB，AE＝DF，根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADE≌Rt△DBF，得∠ADE＝∠DBF，而∠ADE＝∠CDB，即可证明∠CDB＝∠CBD，则CB＝CD；
（2）由点D是AC的中点，得AD＝CD，而AD＝BD，所以CD＝BD，因为CD＝CB，所以△BCD是等边三角形，则∠C＝60°．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，交BD的延长线于点E，垂足为F，
∴∠E＝∠DFB＝90°，
在Rt△ADE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DBF（HL），
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠ADE＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DBF，即∠CDB＝∠CBD，
∴CB＝CD．
（2）解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵AD＝BD，
∴CD＝BD，
由（1）得CD＝CB，
∴CD＝BD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠C的度数是60°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，证明Rt△ADE≌Rt△DBF是解题的关键．
23．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【分析】（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，即可解得今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，可得：3（600﹣m）≥2×（1+20%）m×，解得m≤375，设采购总费用为w万元，则w＝﹣0.6m+1800，根据一次函数性质知w随m的增大而减小，即可得答案．
解：（1）设今年每套A型一体机的价格是x万元，则今年每套B型一体机的价格是（x+1）万元，
根据题意得：300x+200（x+1）＝1200，
解得x＝6，
∴x+1＝2+8＝3，
答：今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元；
（2）设明年采购A型一体机m台，则采购B型一体机（600﹣m）台，
根据题意得：3（600﹣m）≥2×（8+20%）m×，
解得m≤375，
设采购总费用为w万元，则w＝3×（1+20%）m+3（600﹣m）＝﹣4.6m+1800，
∵﹣0.3＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝375时，w取最小值，
答：该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划．
【点评】本题考查一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式及函数关系式．
24．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，E为直线AB上一动点，连接CE，连接AD．
（1）BC＝ 4 ；
（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD＝ 4 ．②如图2，当点E在线段AB上时，若BE＝1；
（3）若∠ECB＝15°，直接写出AD的长度．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由30°所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到，即可得到答案；
（2）①利用旋转性质，证得△ABC≌△ADC（SAS），由全等性质即可得到AD＝AB＝4；②在AC上截取AF＝AE，如图所示，由“手拉手模型”证得△DAE≌△CFE（SAS），则AD＝CF，根据（1）中AC＝8，结合已知条件即可得到答案；
（3）由于E为直线AB上一动点，当∠ECB＝15°，分两种情况：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；作图分析求解即可得到答案．
解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∵AB＝4，则AC＝8，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）知∠ACB＝30°，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，
∴当点E与点B重合时，∠DCA＝∠ACB＝30°，
在△ABC和△ADC，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴AD＝AB＝4，
故答案为：4；
②在AC上截取AF＝AE，如图所示：
∵∠CAB＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，∠CED＝60°，
∵∠AED＝∠AEF﹣∠DEF＝60°﹣∠DEF，∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝60°﹣∠DEF，
∴∠AED＝∠CEF，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AF＝AE＝AB﹣BE＝4﹣4＝3，
由（1）知AC＝8，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝5，则AD＝CF＝6；
（3）由题意可知，分两种情况讨论：①E在直线BC上方；
由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
当∠ECB＝15°时，∠ACE＝∠BCE＝15°，
∴过E作EG⊥AC于G，如图所示：
∴BE＝BG，
在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，
设AG＝x，则AE＝2x，
∵AB＝4，
∴AB＝AE+EB，即，解得，则，
当E在直线BC上方，在AC上截取AF＝AE
由（2）②的求解过程可知，AD＝FC，
当时，，
∴；
当E在直线BC下方，过D作DH⊥AC于H
∴∠DHC＝90°，
由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∠ECB＝15°，
∴∠ACD＝60°﹣30°﹣15°＝15°＝∠BCE，CE＝CD，
在△DHC和△EBC中，
，
∴△DHC≌△EBC（SAS），
∴，
作点E关于直线BC的对称点I，如图所示：
则DH＝BE＝BI，
由（3）可知，，则，
∵，
在Rt△AHD中，∠DHA＝90°，，，则．
【点评】本题考查几何综合，涉及含30°的直角三角形、勾股定理、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关几何判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，请直接写出PB+PA+PC的最小值；
（3）如图2，将△AOB绕点B旋转，使得A′O′⊥BC，将△A′O′B沿直线BC平移得到△A″O″B′，连接A″、B″、C．是否存在点A″，请直接写出点A″的坐标；若不存在
【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再将B、C坐标代入设出来的函数解析式，求解即可；
（2）分别以△ABC三边为边长作等边△ABC′，△AB′C，△A′BC，连接AA′，BB′，CC′，交于点P，则此时PB+PA+PC的值最小，将△ACP绕点C旋转60°，得到△ACP′，连接PP′，当A，P，P′，B四点共线时，PB+PA+PC的值最小，即线段A′B的长度，利用勾股定理及其逆定理求解即可；
（3）分四种情形，画出图象并求解即可．
解：（1）∵直线与x轴交于点A，
∴当y＝2时，x＝﹣1，，
∴，
∴AO＝1，
∵OC＝3AO，
∴OC＝7，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B、C坐标代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为；
（2）如图，分别以△ABC三边为边长作等边△ABC′，△A′BC，BB′，交于点P，将△ACP绕点C旋转60°，连接PP′，
将△ACP绕点C顺时针旋转60°，得到△A'CP′，则AP＝A'P'，CP＝CP'，
∴△CPP′是等边三角形，
∴PP'＝CP，
当A'，P'，P，PB+PA+PC的值最小，
∵A（﹣7，0），﹣根号3），4），
∴AB＝2，A'C＝AC＝4，
∴AB2+BC2＝AC8，
∴∠ABC＝90°，
∵∵，
∴∠ACB＝30°，
∴∠A'CB＝90°，
∴，，
∴PB+PA+PC的最小值为；
（3）由题意得，，AB＝A′B＝2，点O′向下平移，向右平移，
①如图3，当CB′＝B′A″＝2时，
∴；
②如图4，当CB′＝CA″时，则，
解得，
此时，
∴；
③如图2，当CB′＝B′A″＝2时，
∴；
④如图6，当CA″＝B′A″＝2时，
∴A″（5，0）；
综上，满足条件的点A″的坐标为或或，8）．
【点评】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，等边三角形的判定和性质，线段和最短问题等知识，熟练掌握知识点，并学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．