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- 第15讲 圆锥曲线中的最值及范围问题（8类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第16讲 圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第17讲 圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展、竞赛适用）（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第18讲 圆锥曲线中的极点极线问题（高阶拓展、竞赛适用）（1类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第19讲 圆锥曲线中的光学性质（高阶拓展、竞赛适用）（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
- 第04讲 随机事件、频率与概率（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考） 试卷 1 次下载
第08讲 正余弦定理与解三角形（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
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这是一份第08讲 正余弦定理与解三角形（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，余弦定理，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为10-12分
【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用
2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.
3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
知识讲解
1.正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
2.三角形中三个内角的关系
，eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)
，，
3.余弦定理
（1）边的余弦定理
，，
（2）角的余弦定理
，，
4.三角形的面积公式
考点一、正弦定理边角互化与解三角形
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
2．（辽宁·高考真题）在中，内角的对边分别为.若，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】边换角后约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且，求角
【答案】
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
【详解】在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，所以，，
即，所以，
又因为，所以，即.
1．（2023·福建莆田·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析运算；
【详解】因为，由正弦定理得，
则，
又因为，则，得，
即，所以.
2．（2023·江苏·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
求A
【答案】
【分析】由正弦定理边化角可得，，然后化简即可得出. 根据的范围即可得出答案；
【详解】由正弦定理边化角可得，，
整理可得，.
因为，，
所以有，
所以.
因为，所以.
3．（2023·浙江·统考二模）记的内角的对边分别为，已知．求B
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角以及诱导公式可得，再利用二倍角公式化简可得，即可求得答案；
【详解】由正弦定理可知，结合，
∴ ,
∴,
∵，∴，即，
，则，
∴，∴，
则，即.
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（ ）
（1），，，有一个解.
（2），，，有两个解
（3），，，无解
（4），，，有一解
A．（1）（2）B．（2）（4）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）
【答案】D
【分析】由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论.
【详解】对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确；
对于（2）：，，，由正弦定理得 ，解得，再由大边对大角可得C> B ,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。
对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确，
对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确，
故选：D.
2．（2022·江西·校联考二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理计算可得；
【详解】解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；
故选：A
3．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
1．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．
【详解】由正弦定理得，且，所以，即．
因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．
故选：B.
2．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得到，以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，结合图象，列出关系式，即可求解.
【详解】在中，，，若有唯一解，则有唯一解，
设内角，，所对应的边分别为，，，
由，则为一确定的锐角且，所以，
如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点，
其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或，
由，即，得或，
解得或.
故选：．
考点三、余弦定理求值
1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
1．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，且，
由余弦定理可得：.
故选：C．
3．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】由得，所以，
由于,
故选：A
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
1．（2023春·重庆长寿·高三统考）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.
故选：C
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,故为锐角，
由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，
故选：A
3．（2023春·广东珠海·高三校考）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角形面积表示边长，再利用余弦定理计算判断作答.
【详解】设这个三角形面积为，三边长分别为，依题意，，
，显然，即边c所对角是最大角，
由余弦定理得，则是钝角，
所以该三角形一定是钝角三角形.
故选：C
4．（2023春·新疆阿克苏·高三校考）在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状.
【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,
即，整理为，
即，得，或,
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
1．（2023·全国·高三专题练习）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】令，再利用余弦定理得解.
【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，，从而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形.
【详解】由题意得：，即，
故，
因为，所以，
故，即
因为，所以，
即，故，
故，故，
所以为直角三角形.
故选：A
3．（2023春·山东临沂·高三山东省临沂第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．等腰或直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判断三角形形状.
【详解】由得,
由正弦定理得,
由于,所以，
所以,由于为三角形的内角，所以,
又得,
进而可得,而为三角形内角，故，
进而，故三角形为等边三角形，
故选：B
4．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】先用正弦定理将边化为角，再把倍角公式及商数关系代入化简即可得出结果.
【详解】解：因为，
在中由正弦定理代入可得：
，
将代入可得：
，
化简可知，即，
因为，所以有或，解得或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
考点五、三角形面积的应用
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
1．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或
(2)4或.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，从而求得，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理化简得，再由正弦定理即可得到，结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）
在中，，，由余弦定理得，
∴，化简得，
解得，或.
∴，或.
∴，或，
综上可得，或.
（2）在中，设，则，
∵，由正弦定理得，∴.
在中，，，
由正弦定理得，即.
化简得
，∵，∴，.
∴或，解得或.
当时，，，∴为等腰直角三角形，
得到的面积为；
当，，
在中由正弦定理得，
∴
∴的面积为，
综上可得的面积为4或.
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2
(2)12
【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；
（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由可得，
，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面积.
考点六、外接圆、内切圆半径问题
1．（上海·高考真题）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理得到，进而得到结合正弦定理得到结果.
【详解】，由正弦定理得.
【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
2．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，
因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为，
故答案为：
2．（2023·河南郑州·统考一模）已知的角对边分别为，满足，.
(1)求；
(2)求外接圆的半径.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解，
（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.
【详解】（1）由以及正弦定理可得：，
，
，
，
，而.
（2）
，整理得，
.
由正弦定理可得
3．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
考点七、双正弦及双余弦模型
1．（2023·山东烟台·统考三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可知，
因为，所以，
所以;
（2）在中，设,
则由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，
由正弦定理得：，即．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，
因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，
解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在中，角的对边分别为.已知.
(1)求角；
(2)若为线段延长线上一点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；
(2)根据条件运用正弦定理求解.
【详解】（1）由条件及正弦定理可得：
，
即
故，则有，
又，故有，
或（舍去），或（舍去），
则，又，
所以；
（2）设，在和中，由正弦定理可得
于是，又，
则，，
；
综上，，.
2．（2023春·全国·高三专题练习）如图，中，若角所对的边分别是.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理求出和即得证；
（2）设由得，再利用余弦定理求出即得解.
【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
所以.
故得证.
（2）解：设由题得,
所以.所以.
所以.
所以的面积为.
3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为边的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合正弦和角公式得，进而可得答案；
（2）根据余弦定理，结合得，进而根据余弦定理得，再计算面积即可.
【详解】（1）解：因为，所以，即，
因为，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：如图，因为为边的中点，且，
所以，
，
因为，
所以，即，整理得，
因为，即，解得，
所以，的面积为．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知条件和正弦定理得，再由角的范围得满足的关系.
【详解】由，得，
由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以或.即是等腰或直角三角形.
故选：D.
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.
【详解】因为，根据正弦定理得
，
移项得，
即，即，
则根据正弦定理有．
故选：D.
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得，再根据角都是锐角即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以由正弦定理得，即，
因为，，所以，所以，即，
因为，即，解得.
故选：A.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.
【详解】由得，
由得，
故，
股癣：A
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】D
【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.
【详解】在中，由可得，
即
所以，因为，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：D.
二、多选题
6．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
7．（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断；
对于选项B，由余弦函数单调性可判断；
对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断；
对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断
【详解】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；
又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；
由和，当时，，所以，故C选项错误；
由，，由A选项可知正确，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.
【详解】由正弦定理得，
因为，所以，即，可得.
因为，所以，得，解得.
，化简得，
由正弦定理､余弦定理，得，化简得，
由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.
故答案为：
四、解答题
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式可得，结合三角形内角性质可得，即可得大小；
（2）由余弦定理列方程求，再应用三角形面积公式求的面积．
【详解】（1）由得：，
∴，，
∴．又，则．
（2）由余弦定理得：，
整理得：．解得，检验均满足构成三角形．
∴或．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）中，三边之比，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为， 不妨设，
则，
由正弦定理可得
.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换结合条件可得，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.
【详解】由题知，
则，
即，
因为，所以，则，
所以，则，为钝角，为锐角，
，
因为，则，则，则，
令，则，令，
则，
所以在上单调递减，又，则，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到，然后利用边角互化及换元法把问题转化求函数最值，再利用导数即得.
二、多选题
3．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到或，推出，判断AB；由得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为中，，所以或，
当时，，由于无意义，A错误；
当时，，
此时，故，B正确；
因为，所以，由大角对大边，得，C正确；
因为，所以，
即，
令，，
则，所以单调递减，
又，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得
求解可得角A的值.
【详解】由已知得，
根据余弦定理和三角形面积公式，
得，
化简为，
由于，所以，
化简得，
即 ，
解得，或（舍），
由于，所以.
故答案为：
四、解答题
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）在中，角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角的思想，结合三角函数的恒等变换，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，可得答案.
【详解】（1）由已知可得，即，
由正弦定理可得，
即，
即，因为，所以
即．
因为，所以．
（2）由已知得，又，所以，
故，解得．
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长.
【详解】（1）中，已知，
由正弦定理可得，
∵，∴
，△ABC中，，∴ ，
∴.
（2），的面积为 ，
∴ ，解得.
由余弦定理可得：
化为.
联立 ，解得
∴，所以周长为6.
7．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）中，是上的点，平分面积是面积的3倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；
（2）利用三角形角平分线定理可求得；设，则，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可得.
【详解】（1），
，
由正弦定理可知
（2），.
设，则，
在与中，由余弦定理可知，
，
，
，解得，即.
8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，即，∴，∴或，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
∴，即，
∴，
∵为内角，
∴．
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
10．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
【答案】(1)见详解；
(2)见详解.
【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得，即可得到.通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减.进而得到.
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推论可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因为，所以.
（2）证明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以.
由（1）知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，
，
整理可得，，
因为，，，所以，则.
令，则，，
则，
所以，当，恒成立，所以在上单调递减.
所以，，即.
综上所述，.
【真题感知】
一、填空题
1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【答案】.
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
二、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
4．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
5．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
9．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
10．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
三角形面积公式及其应用
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新Ⅱ卷，第17题,10分
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
数量积的运算律
2022年新I卷，第18题,12分
正弦定理边角互化的应用
基本不等式求和的最小值
2022年新Ⅱ卷，第18题,12分
正弦定理解三角形
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
无
2021年新I卷，第19题,12分
正弦定理边角互化的应用
几何图形中的计算
2021年新Ⅱ卷，第18题,12分
正弦定理边角互化的应用
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
无
2020年新I卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
余弦定理解三角形
无
2020年新Ⅱ卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
余弦定理解三角形
无
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为10-12分
【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用
2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.
3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
知识讲解
1.正弦定理
（1）基本公式：
（其中为外接圆的半径）
（2）变形
2.三角形中三个内角的关系
，eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)
，，
3.余弦定理
（1）边的余弦定理
，，
（2）角的余弦定理
，，
4.三角形的面积公式
考点一、正弦定理边角互化与解三角形
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
2．（辽宁·高考真题）在中，内角的对边分别为.若，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】边换角后约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且，求角
【答案】
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
【详解】在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，所以，，
即，所以，
又因为，所以，即.
1．（2023·福建莆田·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析运算；
【详解】因为，由正弦定理得，
则，
又因为，则，得，
即，所以.
2．（2023·江苏·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
求A
【答案】
【分析】由正弦定理边化角可得，，然后化简即可得出. 根据的范围即可得出答案；
【详解】由正弦定理边化角可得，，
整理可得，.
因为，，
所以有，
所以.
因为，所以.
3．（2023·浙江·统考二模）记的内角的对边分别为，已知．求B
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角以及诱导公式可得，再利用二倍角公式化简可得，即可求得答案；
【详解】由正弦定理可知，结合，
∴ ,
∴,
∵，∴，即，
，则，
∴，∴，
则，即.
考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数
1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（ ）
（1），，，有一个解.
（2），，，有两个解
（3），，，无解
（4），，，有一解
A．（1）（2）B．（2）（4）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）
【答案】D
【分析】由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论.
【详解】对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确；
对于（2）：，，，由正弦定理得 ，解得，再由大边对大角可得C> B ,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。
对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确，
对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确，
故选：D.
2．（2022·江西·校联考二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理计算可得；
【详解】解：由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；
故选：A
3．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
1．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．
【详解】由正弦定理得，且，所以，即．
因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．
故选：B.
2．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得到，以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，结合图象，列出关系式，即可求解.
【详解】在中，，，若有唯一解，则有唯一解，
设内角，，所对应的边分别为，，，
由，则为一确定的锐角且，所以，
如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点，
其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或，
由，即，得或，
解得或.
故选：．
考点三、余弦定理求值
1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
1．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，且，
由余弦定理可得：.
故选：C．
3．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】由得，所以，
由于,
故选：A
考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状
1．（2023春·重庆长寿·高三统考）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.
故选：C
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得,故为锐角，
由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，
故选：A
3．（2023春·广东珠海·高三校考）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角形面积表示边长，再利用余弦定理计算判断作答.
【详解】设这个三角形面积为，三边长分别为，依题意，，
，显然，即边c所对角是最大角，
由余弦定理得，则是钝角，
所以该三角形一定是钝角三角形.
故选：C
4．（2023春·新疆阿克苏·高三校考）在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状.
【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,
即，整理为，
即，得，或,
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
1．（2023·全国·高三专题练习）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】令，再利用余弦定理得解.
【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，，从而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形.
【详解】由题意得：，即，
故，
因为，所以，
故，即
因为，所以，
即，故，
故，故，
所以为直角三角形.
故选：A
3．（2023春·山东临沂·高三山东省临沂第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．等腰或直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判断三角形形状.
【详解】由得,
由正弦定理得,
由于,所以，
所以,由于为三角形的内角，所以,
又得,
进而可得,而为三角形内角，故，
进而，故三角形为等边三角形，
故选：B
4．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】先用正弦定理将边化为角，再把倍角公式及商数关系代入化简即可得出结果.
【详解】解：因为，
在中由正弦定理代入可得：
，
将代入可得：
，
化简可知，即，
因为，所以有或，解得或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
考点五、三角形面积的应用
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
1．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或
(2)4或.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，从而求得，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理化简得，再由正弦定理即可得到，结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）
在中，，，由余弦定理得，
∴，化简得，
解得，或.
∴，或.
∴，或，
综上可得，或.
（2）在中，设，则，
∵，由正弦定理得，∴.
在中，，，
由正弦定理得，即.
化简得
，∵，∴，.
∴或，解得或.
当时，，，∴为等腰直角三角形，
得到的面积为；
当，，
在中由正弦定理得，
∴
∴的面积为，
综上可得的面积为4或.
3．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2
(2)12
【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；
（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由可得，
，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面积.
考点六、外接圆、内切圆半径问题
1．（上海·高考真题）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理得到，进而得到结合正弦定理得到结果.
【详解】，由正弦定理得.
【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
2．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．
(1)若，求的外接圆半径；
(2)若，且，求的内切圆半径
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以外接圆半径．
所以.
（2）因为，由题可知，所以，
又因为，可得，
因为．
由的面积，得．
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，
因为，所以，
由正弦定理可知的外接圆半径为，
故答案为：
2．（2023·河南郑州·统考一模）已知的角对边分别为，满足，.
(1)求；
(2)求外接圆的半径.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解，
（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.
【详解】（1）由以及正弦定理可得：，
，
，
，
，而.
（2）
，整理得，
.
由正弦定理可得
3．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
考点七、双正弦及双余弦模型
1．（2023·山东烟台·统考三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可知，
因为，所以，
所以;
（2）在中，设,
则由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，
由正弦定理得：，即．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，
因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，
解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在中，角的对边分别为.已知.
(1)求角；
(2)若为线段延长线上一点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；
(2)根据条件运用正弦定理求解.
【详解】（1）由条件及正弦定理可得：
，
即
故，则有，
又，故有，
或（舍去），或（舍去），
则，又，
所以；
（2）设，在和中，由正弦定理可得
于是，又，
则，，
；
综上，，.
2．（2023春·全国·高三专题练习）如图，中，若角所对的边分别是.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理求出和即得证；
（2）设由得，再利用余弦定理求出即得解.
【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
所以.
故得证.
（2）解：设由题得,
所以.所以.
所以.
所以的面积为.
3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为边的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合正弦和角公式得，进而可得答案；
（2）根据余弦定理，结合得，进而根据余弦定理得，再计算面积即可.
【详解】（1）解：因为，所以，即，
因为，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：如图，因为为边的中点，且，
所以，
，
因为，
所以，即，整理得，
因为，即，解得，
所以，的面积为．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知条件和正弦定理得，再由角的范围得满足的关系.
【详解】由，得，
由正弦定理得，所以，
因为，所以或，
所以或.即是等腰或直角三角形.
故选：D.
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.
【详解】因为，根据正弦定理得
，
移项得，
即，即，
则根据正弦定理有．
故选：D.
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得，再根据角都是锐角即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以由正弦定理得，即，
因为，，所以，所以，即，
因为，即，解得.
故选：A.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.
【详解】由得，
由得，
故，
股癣：A
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】D
【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.
【详解】在中，由可得，
即
所以，因为，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：D.
二、多选题
6．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
7．（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，由三角形大边对大角和正弦定理可判断；
对于选项B，由余弦函数单调性可判断；
对于选项C，由正弦的二倍角公式可判断；
对于选项D，由余弦的二倍角公式可判断
【详解】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；
又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；
由和，当时，，所以，故C选项错误；
由，，由A选项可知正确，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.
【详解】由正弦定理得，
因为，所以，即，可得.
因为，所以，得，解得.
，化简得，
由正弦定理､余弦定理，得，化简得，
由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.
故答案为：
四、解答题
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若， ，求BC边上高的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；
（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即.
又∵，，∴，.
（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得 ，
∴，解得，即BC边上的高为 .
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式可得，结合三角形内角性质可得，即可得大小；
（2）由余弦定理列方程求，再应用三角形面积公式求的面积．
【详解】（1）由得：，
∴，，
∴．又，则．
（2）由余弦定理得：，
整理得：．解得，检验均满足构成三角形．
∴或．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）中，三边之比，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为， 不妨设，
则，
由正弦定理可得
.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换结合条件可得，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.
【详解】由题知，
则，
即，
因为，所以，则，
所以，则，为钝角，为锐角，
，
因为，则，则，则，
令，则，令，
则，
所以在上单调递减，又，则，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到，然后利用边角互化及换元法把问题转化求函数最值，再利用导数即得.
二、多选题
3．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到或，推出，判断AB；由得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为中，，所以或，
当时，，由于无意义，A错误；
当时，，
此时，故，B正确；
因为，所以，由大角对大边，得，C正确；
因为，所以，
即，
令，，
则，所以单调递减，
又，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得
求解可得角A的值.
【详解】由已知得，
根据余弦定理和三角形面积公式，
得，
化简为，
由于，所以，
化简得，
即 ，
解得，或（舍），
由于，所以.
故答案为：
四、解答题
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）在中，角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角的思想，结合三角函数的恒等变换，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，可得答案.
【详解】（1）由已知可得，即，
由正弦定理可得，
即，
即，因为，所以
即．
因为，所以．
（2）由已知得，又，所以，
故，解得．
6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，，则得到周长.
【详解】（1）中，已知，
由正弦定理可得，
∵，∴
，△ABC中，，∴ ，
∴.
（2），的面积为 ，
∴ ，解得.
由余弦定理可得：
化为.
联立 ，解得
∴，所以周长为6.
7．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）中，是上的点，平分面积是面积的3倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；
（2）利用三角形角平分线定理可求得；设，则，由，知，由余弦定理得到和，建立方程求解即可得.
【详解】（1），
，
由正弦定理可知
（2），.
设，则，
在与中，由余弦定理可知，
，
，
，解得，即.
8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，即，∴，∴或，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
∴，即，
∴，
∵为内角，
∴．
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
10．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，证明：；
(2)若，证明：.
【答案】(1)见详解；
(2)见详解.
【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得，即可得到.通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减.进而得到.
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推论可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因为，所以.
（2）证明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以.
由（1）知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，
，
整理可得，，
因为，，，所以，则.
令，则，，
则，
所以，当，恒成立，所以在上单调递减.
所以，，即.
综上所述，.
【真题感知】
一、填空题
1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【答案】.
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
二、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
4．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
5．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
故．
6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
9．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
10．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
三角形面积公式及其应用
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023年新Ⅱ卷，第17题,10分
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
数量积的运算律
2022年新I卷，第18题,12分
正弦定理边角互化的应用
基本不等式求和的最小值
2022年新Ⅱ卷，第18题,12分
正弦定理解三角形
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
无
2021年新I卷，第19题,12分
正弦定理边角互化的应用
几何图形中的计算
2021年新Ⅱ卷，第18题,12分
正弦定理边角互化的应用
三角形面积公式及其应用
余弦定理解三角形
无
2020年新I卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
余弦定理解三角形
无
2020年新Ⅱ卷，第17题,10分
正弦定理解三角形
余弦定理解三角形
无
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