专题10 解三角形问题（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

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真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
2.（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1．正弦定理或余弦定理独立命题；
2．正弦定理与余弦定理综合命题；
3．与三角函数的变换结合命题；
4．考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何、解析几何等结合考查.．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 正弦定理的应用
【核心知识】
正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．
【典例分析】
典例1.（2022·西藏·日喀则市江孜高级中学高三期中）已知中，，，则B等于（ ）
A．B．C．或D．或
典例2.（2021·浙江省义乌中学高三阶段练习）在 中，已知，且边上的高为，则______；______．
典例3.（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acsB=0，则B=___________.
【规律方法】
1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
3.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
考向二 余弦定理的应用
【核心知识】
余弦定理： ， ， .
变形公式cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，s C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
【典例分析】
典例4.（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
典例5.（2020·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
典例6.（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【总结提升】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
考向三 三角形中边角计算
【核心知识】
三角恒等变换公式
正弦定理
余弦定理
【典例分析】
典例7.（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（理））在中，已知．
(1)求的大小；
(2)若，求csB和a的值．
典例8.（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
典例9. （2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【规律方法】
考向四 三角形面积、周长问题
【核心知识】
面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B
【典例分析】
典例11.（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
典例12.（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
典例13.（2021·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）模拟预测（文））在中，内角，，的对边分别为，，，满足．
(1)求；
(2)若的面积为，，求的周长．
考向五 三角形范围和最值问题
【核心知识】
辅助角公式
均值不等式
【典例分析】
典例14. （2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在中，角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
典例15.（2020·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
典例16. （2022·湖北·高三阶段练习）已知在中，边,,所对的角分别为，，，.
(1)证明：,,成等比数列；
(2)求角的最大值.
【规律方法】
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
考向六 数学文化与实际应用
【核心知识】
实际问题中的有关概念
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．

(4)坡度：
①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．
【典例分析】
典例17.（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
典例18.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【总结提升】
求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解