第04讲 平面向量系数和（等和线）问题（高阶拓展，竞赛适用，5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第04讲 平面向量系数和（等和线）问题（高阶拓展，竞赛适用，5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。试卷主要包含了“x+y”或“λ+μ”型综合，“x-y”或“λ-μ”型综合，系数和的综合应用等内容，欢迎下载使用。

（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
2.（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
若，则的最大值为( )

如图，正六边形，是内（包括边界）的动
点，设，则的取值范围是____________
如图，在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设
则的取值范围是____________
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合
已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是
A. B. C. D.
已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________
若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______
设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？
1．（2020·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（ ）
A．B．1C．-1D．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．（2023·全国·高三专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于( )
A．B．C．D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
3．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ．
1．（2022春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 ．
3．（2023·全国·高一专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 .
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江绍兴·浙江省柯桥中学校考模拟预测）在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江西·校联考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A．B．1C．D．
10．（2022秋·江西新余·高二开学考试）扇形中，，其中是的中点，是弧上的动点（含端点），若实数满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·高三竞赛）如图，在直角梯形ABCD中，已知AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆内运动.若，则的取值范围是.
A．B．C．D．
13．（2022春·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为( )
A．1B． C．D．3
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考开学考试）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
17．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ）
A．B． C．3D．4
18．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（ ）
A．3B．1C．0D．
三、填空题
19．（2022·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
20．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为 .
21．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是
22．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 ．
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ．
24．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
26．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
27．（2022·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .
28．（2022秋·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
29．（2022秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为 .
30．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．