第03讲 平面向量基本定理及“爪子定理”（高阶拓展，竞赛适用，2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第03讲 平面向量基本定理及“爪子定理”（高阶拓展，竞赛适用，2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，会综合应用平面向量基本定理求解等内容，欢迎下载使用。

（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.
形如条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
考点一、平面向量的基本定理综合
1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
4．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是
1．（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则
A．B．C．D．
3．（北京·高考真题）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则 .
4．（高考真题）在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）
考点二、“爪子定理”的综合应用
1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）

A．B．
C．D．
2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是平行四边形，，若，则（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在正中，点为边上一点，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在中，记，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·校联考模拟预测）在中，为线段上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，，记，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东潍坊·统考二模）在中，，点是的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）在平行四边形中，M为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·浙江·校联考二模）在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则 （请用数字作答）.
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）如图，平行四边形的对角线相交于点，，分别为，的中点，若，则 .
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）在平行四边形中，．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（ ）

A．B．2C．3D．6
3．（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．2
三、填空题
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在中，已知，与相交于，若，则 ．
9．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则 .

10．（2023·江西赣州·统考二模）在平行四边形中，点，分别满足，，若，则 ．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国乙卷文数，第6题,5分
用基底表示向量
数量积的运算律
数量积的坐标表示
2022年新I卷，第3题,5分
用基底表示向量
无