2025年高考数学新题型专题练习02+新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总

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【题型1集合中的竞赛考点】
【例1】（2022·新疆·竞赛）设集合3a+b1≤a≤b≤4中的最大元素与最小元素分别为M，N，则M-N= ．
【变式1-1】（2022·浙江·竞赛）已知集合A=xx-nx-n2+n≤0,n∈N+，若集合A中恰有9个正整数，则n= .
【变式1-2】（2021·全国·高三竞赛）已知集合M={1,2,3,⋯,1995}，A是M的子集，当x∈A时，19x∉A，则集合A元素个数的最大值为 ．
【变式1-3】（2020·江苏·高三竞赛）设n∈N∗，欧拉函数φn表示在正整数1，2，3，…，n中与n互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以φ4=2，则φ2020= ．
【变式1-4】（2021·全国·高三竞赛）设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有 个“翔集合”.
【题型2函数中的竞赛考点】
【例2】（2018·吉林·高三竞赛）已知fx=2x+122x⋅x+1在−2018,0∪0,2018上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（ ）
A．3B．2C．1D．0
【变式2-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知函数fx满足：f1=14，4fxfy=fx+y+fx−y x,y∈R，则f2019=（ ）.
A．12B．-12C．14D．-14
【变式2-2】（2022·新疆·竞赛）已知f(x)=2x+lnx2+1+x-2-x+1011，则不等式f(2x+1)+f(x)>2022的解集为 ．
【变式2-3】（2022·广西·统考竞赛）设y=fx是严格单调递增的函数，其反函数为y=gx．设x1，x2分别是方程fx+x=2和gx+x=2的解，则x1+x2= ．
【变式2-4】（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）设x>0，平面向量AB=0,1，BC=1,2，CD=lg3x,lg9x．若AC⋅BD=2，则x的值为 ．
【题型3函数与方程中的竞赛考点】
【例3】（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，1【变式3-1】（2021·全国·高三竞赛）实数x、y满足4y−3y4y+3y=13x,①,7x+11y=13x,②.则x、y的大小关系是 ．
【变式3-2】（2021·全国·高三竞赛）若f(x)=x6−22019x5−x4+x3−22020x2+2x−2019，则f(2019+2020)的值为 ．
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）方程4+4x−x2=2−xx−1的实根共有 个．
【变式3-4】（2021·全国·高三竞赛）方程(x−1)(x−4)(x−9)(x+1)(x+4)(x+9)+23x3+1(x+1)3+x3+43(x+4)3+x3+93(x+9)3=1的不同的实数解的个数为 .
【题型4函数最值中的竞赛考点】
【例4】（2018·全国·高三竞赛）已知x2+y2=25.则函数z=8y−6x+50+8y+6x+50的最大值为（ ）.
A．510B．610C．710D．810
【变式4-1】（2018·全国·高三竞赛）方程x2+x3+x7=x的最大的解与最小的解之和为（ ）（其中，x表示不超过x的最大整数，下同）．
A．85B．−85C．42D．−42
【变式4-2】（2019·全国·高三竞赛）若关于x的方程x2−a2+b2−6bx+a2+b2+2a−4b+1=0的两个实数根x1、x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2+4a+4的取值范围是（ ）
A．22,5+2B．1,9−45C．12,16D．12,9+45
【变式4-3】（2019·河南·高二校联考竞赛）已知函数f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R)，记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.当a､b满足M(a,b)≤2时，|a|+|b|的最大值为 .
【变式4-4】（2019·广西·高三校联考竞赛）设函数y=(1+x+1−x+2)(1−x2+1)(x∈[0,1])，则y的最小值为 .
【题型5构造函数中的竞赛考点】
【例5】（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c∈0,1，且ae2=2ea，be3=2eb，ce3=3ec，则（ ）
A．aC．b【变式5-1】（2022上·湖北宜昌·高三校考开学考试）已知a=4ln5π,b=5ln4π,c=5lnπ4，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．cC．a【变式5-2】（2021·云南玉溪·高三统考阶段练习）已知在函数fx=ax+ba>0,b>0，gx=lnx+2，若对∀x>−2，fx≥gx恒成立，则实数ba的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．1,+∞C．2,+∞D．[e,+∞)
【变式5-3】（2020·全国·高三竞赛）已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足：f(n)=8n,n=1,2,⋯,5，则f(x)的一次项系数为 ．
【变式5-4】（2018·全国·高三竞赛）已知α、β、γ为方程5x3−6x2+7x−8=0的三个不同的根，则α2+αβ+β2β2+βγ+γ2γ2+γα+α2的值为 ．
【题型6三角函数中的竞赛考点】
【例6】（2024上·全国·高三统考竞赛）给定k∈R，若∃m>0，∀x,y∈R满足csx+kcsy=1，均有y≥m，则k的范围是（ ）
A．(−∞,0)∪(2,+∞)B．(−∞,0]∪[2,+∞)
C．[0,2]D．(0,2)
【变式6-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知fx=sinx2+csx，则对任意x∈R，下列说法中错误的是（ ）
A．fx≥13sinxB．fx≤xC．fx≤33D．fπ+x+fπ−x=0
【变式6-2】（2021·全国·高三竞赛）函数f(x)=csx的图象与直线y=kx(k>0)恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则α⋅tanα= ．
【变式6-3】（2022·新疆·竞赛）已知二面角α-l-β的平面角为60°，A，D为直线l上的两点，射线DB在平面α内，射线DC在平面β内，已知∠BDA=45°,∠CDA=30°，则cs∠BDC等于 ．
【变式6-4】（2021·全国·高三竞赛）在△ABC中，AC=5,1tanA2+1tanC2−5tanB2=0，则BC+AB的值为 ．
【题型7向量中的竞赛考点】
【例7】（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量a，b，c满足a=3，b=22，a⋅b=6，且a+cb+2c=0，则b+c最小值为 .
【变式7-1】（2020·浙江·高三竞赛）已知a，b为非零向量，且|a|=|a+b|=1，则|2a+b|+|b|的最大值为 .
【变式7-2】（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a､b､c，满足|a|=2,|b|=|c|=5,0<λ<1，若b⋅c=0，那么|a−b+λ(b−c)|+25c+(1−λ)(b−c)的最小值为 .
【变式7-3】（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a、b、c、x，且a+b+c=0，记y=|x−a|+|x−b|+|x−c|，则y的最大值为 ．
【变式7-4】（2021·全国·高三竞赛）设P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+PC=3AB，若△PAC的面积为1，则△PAB的面积为 .
【题型8数列中的竞赛考点】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=ln1+an，n∈N∗.下列说法错误的是（ ）
A．an>an+1B．an<2an+1C．an≥12n−1D．3an>4an+1
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的各项都是正数且满足2an2−3an=an−1(n∈N∗，n⩾2)，Sn是数列{an}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．若{an}单调递增，则0B．若a1=1，则234C．若a1≠2，则(2a2+1)(2a3+1)…(2an+1)=a1−2an−2(n⩾2)
D．若a1=3，则Sn⩾3(3n+1)4．
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1=a(0A．当a=23时，a2020<1B．当a=12时，a2020>1
C．当a=13时，a2020<1D．当a=14时，a2020>1
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列an可以用如下方法定义：an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，a1=a2=1，则i=12022ai2a2022i=1,2,⋅⋅⋅,2022是数列an的第（ ）项
A．2020B．2021C．2022D．2023
【变式8-4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.13世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，……，称之为斐波那契数列，满足F0=1，F1=1，Fn+1=Fn+Fn−1n≥1.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列Ln：2，1，3，4，7，11，18，……，称之为洛卡斯数列，满足L0=2，L1=1，Ln+1=Ln+Ln−1n≥1.那么下列说法正确的有（ ）
A．Ln=2Fn−Fn−1n≥1B．Fn+1Fn−1−Fn2不是等比数列
C．L0+L2+⋅⋅⋅+L2n=L2n+1+1D．Ln2+Ln+12=5F2n+1
【题型9不等式中的竞赛考的】
【例9】（2016·北京·高三强基计划）（多选）设函数f(x,y)=−6xy+72(x+y)−2，则minx∈[0,1]maxy∈[0,1]{f(x,y)}=（ ）
A．0B．124
C．−124D．miny∈[0,1]maxx∈[0,1]{f(x,y)}
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c为△ABC的三边，S为△ABC的面积，若a2+b2+2c2=8，则S的最大值为 ．
【变式9-2】（2022·浙江·竞赛）设a，b，c，d∈R+，abcd=1，则∑1a2+941Σa的最小值为 .
【变式9-3】（2021·全国·高三竞赛）设a,b,c>0满足a−b+c+abc=0，则2a2+1−2b2+1+3c2+1的最大值是 .
【变式9-4】（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足4x2+4y2+z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为 ．
【题型10解析几何中的竞赛考点】
【例10】（2024上·全国·高三统考竞赛）设双曲线Γ:x2−3y2=−3，A(0,2)，B，C在Γ上且直线BC经过A.设lB,lC分别为Γ在B，C处的切线，点D满足BD⊥lB,CD⊥lC，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可).
【变式10-1】（2023·湖北武汉·统考一模）设F为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则ta的最大值为 .
【变式10-2】（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线x-4212-y212=1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y=3x的直线，交椭圆Γ于A､B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 .
【变式10-3】（2021·全国·高三竞赛）已知▱ABCD的四个顶点均在双曲线x2−y24=1上，点P(0,1)在边AB上，且APPB=12，则▱ABCD的面积等于 .
【变式10-4】（2021·全国·高三竞赛）已知S(2,1)为椭圆Γ:x28+y22=1上的点，对椭圆Γ上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”P+Q：过点S作一条平行于PQ（若点P与Q重合，则直线PQ表示椭圆Γ在P处的切线）的直线l与椭圆Γ交于不同于S的另一点，记作P+Q（若l与椭圆Γ相切，则规定S为P+Q）.并规定nP=P+P+⋯+P�n个.
(1)若点P(22,0),Q(0,−2)，求P+Q、2P以及100P的坐标.
(2)在椭圆Γ上是否存在不同于S的点P，满足3P=S？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式10-5】（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆C1于A、B两点（l与x轴不重合），设线段AB中点为D，连结OD（O为坐标原点），直线OD交椭圆C1于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且|MN||OD|=83，求椭圆C1的离心率．
【题型11立体几何中的竞赛考点】
【例11】（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥A−BCD中，AB=CD=32，AC=AD=BC=BD=5，空间中的动点M满足MA≥2MB，则平面BCD截M的轨迹形成的图形的面积为 ．
【变式11-1】（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知A，B，C，D是半径为4的球面上四点，E，F分别为AB,CD的中点，AB=43，CD=27，则以EF为直径的球的最小表面积为 ；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．
【变式11-2】（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为 ．
【变式11-3】（2021·全国·高三竞赛）A、B、C、D是半径为1的球面上的4个点，若AB=CD=1，则四面体ABCD体积的最大值是 ．
【变式11-4】（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD中，点G为面ABC的中心，点M在线段DG上，且tan∠AMB=−3515，则DMDG= .
【变式11-5】（2023·全国·统考竞赛）已知三棱柱Ω:ABC−A1B1C1的9条棱长均相等.记底面ABC所在平面为α.若Ω的另外四个面（即面A1B1C1，ABB1A1，ACC1A1，BCC1B1）在α上投影的面积从小到大重排后依次为23，33，43，53，求Ω的体积.
【题型12排列组合中的竞赛考点】
【例12】（2024上·全国·高三统考竞赛）设a1,a2,⋯,a9=1,2,⋯,9，且a2i−1>a2i【变式12-1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）如图，将n2个整数放入n×n的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将n2个整数放入n×n的宫格有an种放法，则a2= ，i=1ni−1ai2i2+i= ．
【变式12-2】（2023·全国·统考竞赛）八张标有A，B，C，D，E，F，G，H的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按D，A，B，E，C，F，G，H的次序取走卡片，但不可按D，B，A，E，C，F，G，H的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 .

【变式12-3】（2023·全国·高三专题练习）设A=a1a2⋯an（0≤ai≤9，i=1,2,⋯,n）是一个n位数，如果a1≤a2≤⋯≤an，则称A是一个数字具有非降顺序的n位数.则小于10n且其数字具有非降顺序的正整数个数为 .
【变式12-4】（2023·全国·高三专题练习）8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同的排列方法．（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）
【题型13概率中的竞赛考点】
【例13】（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，“爱心”是由曲线C1:x2+y2=2|y|(x⩽0)和C2:|y|=csx+1(0⩽x⩽π)所围成的封闭图形，在区域Ω=(x,y)-1⩽x⩽π-2≤y≤2内任取一点A，则A取自“爱心”内的概率P= ．
【变式13-1】（2022·福建·统考竞赛）从1，2，3，…，11这11个正整数中任意抽取3个不同的正整数a，b，c，则它们的积abc能被4整除的概率为 .
【变式13-2】（2023·全国·高三专题练习）甲、乙进行某项比赛，甲得、失1分的概率分别为0．8与0．2，且每得、失1分相互独立．由于甲的实力比乙强得多，乙提出了如下不公平的比赛规则（否则乙将不与甲比赛）：甲在乙得2分之前得5分甲胜，乙在甲得5分之前得2分乙胜．求甲获胜的概率．
【变式13-3】（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）连续地随机掷1颗骰子，一直掷到6点出现3次为止.用X表示停止时已经掷的次数.
(1)求X的分布列PX=k，k=3,4,⋅⋅⋅；
(2)令Y=minmaxX,4,5，求数学期望EY.
【变式13-4】（2024上·全国·高三统考竞赛）校乒乓球锦标赛共有2n位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有2n−1场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生2n−2名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中x1最好，x2次之，…，xn最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且∀1≤i(1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员x1与x2之间进行的概率.
(2)证明:∀1≤i≤2n−1，xi为总冠军的概率大于xi+1为总冠军的概率.
【题型14复数中的竞赛考点】
【例14】已知复数z=cs2π3+i⋅sin2π3，则z3+z2z2+z+2等于（ ）
A．−12+32iB．32−12i
C．12−32iD．−32+12i
【变式14-1】设z1,z2,z3,z4是多项式方程x4+2x3+2=0的四个不同的复数解，则z1z2+z3z4z1z3+z2z4z1z4+z2z3=（ ）
A．−6B．6C．−8D．8
【变式14-2】设x是实数，z是辐角为π4的复数，则|2+i−x|+|2+i−z|+|x−z|的最小值为（ ）
A．22B．3C．10D．11
【变式14-3】（多选）若复数z满足z2+1=|z|，则（ ）
A．5−12≤|z|≤5+12
B．3−52≤|z|≤3+52
C．arg(z)∈π3,2π3∪4π3,5π3
D．arg(z)∈π6,5π6∪7π6,11π6
【变式14-4】已知复数z1，z2满足z1+2z1=−3−i，z2−z1=1，则z2+2i的最大值为 .
【题型15整除中的竞赛考点】
【例15】（2023·全国·高三专题练习）计算55个5的乘积，则其最后三位数是（ ）
A．125B．375C．625D．875
【变式15-1】（多选）（2024下·河北·高三校联考开学考试）欧拉函数φnn∈N*是数论中的一个基本概念，φn的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如φ8=4，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A．φ4⋅φ6=φ10B．数列φ2n单调递增
C．φ100=40D．数列φ2nφ3n的前n项和小于32
【变式15-2】（2024下·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b( md m)．
(1)求证：233+1≡65 md 7；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则np−1≡1( md p)，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有x13−x≡0( md 546)；
②求方程x9+x7−x3−x≡0( md 35)的正整数解的个数．
【变式15-3】（2024·河南·统考模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X=1,2,⋯,p−1，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um,⊗为um除以p的余数；设a∈X，1,a,a2,⊗,⋯,ap−2,⊗两两不同，若an,⊗=bn∈0,1,⋯,p−2，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=lg(p)ab．
(1)若p=11,a=2，求ap−1,⊗；
(2)对m1,m2∈0,1,⋯,p−2，记m1⊕m2为m1+m2除以p−1的余数（当m1+m2能被p−1整除时，m1⊕m2=0）．证明：lg(p)ab⊗c=lg(p)ab⊕lg(p)ac，其中b,c∈X；
(3)已知n=lg(p)ab．对x∈X,k∈1,2,⋯,p−2，令y1=ak,⊗,y2=x⊗bk,⊗．证明：x=y2⊗y1np−2,⊗．
【变式15-4】（2022·上海·高三校考强基计划）定义ℤp∗=1,2,⋯,p−1，其中p为奇素数.
(1)给出同余方程3x3+4y3+5z3≡0(md5)的满足x,y,z∈ℤ5∗的一组解；
(2)（代数基本定理）设f(x)∈ℤp∗x，且deg(f)=d，求证f(x)≡0(mdp)在ℤp∗内至多有d个解；
(3)（Fermat小定理）求证：∀x∈ℤp∗,xp−1≡1(mdp)；
(4)（原根存在定理）若正整数x,z满足：xz≡1(mdp)，且∀0(5)求证，存在a∈ℤp∗,∀ℎ∈ℤp∗，都存在b∈ℤp∗,p|ℎ−b3,p|ℎ−ab3,p|ℎ−a2b3中必有一者成立；
(6)说明当p>5时，3x3+4y3+5z3=0(mdp)必有一组非零解(x,y,z)∈ℤp∗∪03.