2023-2024学年天津市第八中学高二上学期第一次大单元教学（9月月考）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第八中学高二上学期第一次大单元教学（9月月考）数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
2．设x，,向量，且，则的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和平行列出相应的方程组，解得的值，可得答案.
【详解】由得： ，解得，
故，
故选：A.
3．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可.
【详解】因为直三棱柱中，若，，，
所以，
故选：C
4．已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】C
【分析】直接利用向量模的公式计算得解.
【详解】解：由题得
.
故选：C
5．已知向量，则＝（ ）
A．6B．7
C．9D．13
【答案】C
【分析】根据空间向量加法与数量积的坐标运算即可.
【详解】因为
所以.
故选：C.
6．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
7．已知向量，，若，且，则的值为（ ）
A．B．1C．或1D．3或1
【答案】C
【分析】根据空间向量的性质及运算规则化简计算即可得出结果.
【详解】由，且，得，得．由，得，得或，则的值为1或．
选项C正确，选项ABD错误.
故选：C.
8．已知，，，则的夹角是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积的夹角坐标公式计算即可.
【详解】因为，，，所以，，
所以，
又，所以，即的夹角是.
故选：C.
二、填空题
9．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则x的值为 .
【答案】/或/或
【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得x的值.
【详解】由直线平面，可得，则
则
解之得
故答案为：
10．已知空间向量，且，则在上的投影向量为 ．
【答案】/
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】依题意在上的投影向量为.
故答案为：
11．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
【答案】
【分析】在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。
【详解】如图所示：
因为，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则 ．
【答案】
【详解】由题意，连接 则
．
.
故答案为.
13．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
【答案】
【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
14．给出下列命题：
①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【详解】，，则
则，直线与垂直，故①正确
，，则
则，或，故②错误
，，与不共线，
不成立，故③错误
点，，
，
向量是平面的法向量
，即，解得，故④正确
综上所述，其中真命题是①，④
点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积，利用数量积进行判断，②求数量积，利用数量积进行判断，③求利用与的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．
三、解答题
15．已知空间三点，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）先根据点的坐标，分别求得向量，，再利用空间向量的数量积运算求解.
（2）根据，由求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，.
因为，
所以，
解得.
【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于中档题.
16．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，N是的中点，设，

(1)用为基向量表示出向量；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算可得解；
（2）利用空间向量的数量积及运算律可得解.
【详解】（1）是的中点，
.
（2）在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且与，的夹角都是，
则，，，，
.
所以的长为.
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，点、、分别为、、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直；
（2）平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离.
【详解】（1）底面是边长为的正方形，底面，，
以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
连接
则有，
，
，，
所以，且平面，，
所以平面
（2），设平面的一个法向量为，
则有，令，则，即，
，所以点到平面的距离.
18．如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，，平面平面BCEF.
(1)求证：平面CDE；
(2)平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，求出平面CDE的一个法向量，计算，即可证明结论；
（2）求得平面ADE的一个法向量，再求得平面BCEF一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案.
【详解】（1）证明：
∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，
∴，，
又∵平面平面BCEF，且平面平面，
∴平面BCEF．
以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意可得以下点的坐标：
，，，，，，
则，．
∵，，，CD、平面CDE，
∴平面CDE，
∴为平面CDE的一个法向量．
又，且平面CDE，
∴平面CDE．
（2）设平面ADE的一个法向量为，
则，，
，
令，可取得，
∵平面BCEF，
∴平面BCEF一个法向量为，
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，
则，
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．