2023-2024学年河南省信阳市息县培优联盟校八年级（上）适应性数学试卷（一）(含解析)

这是一份2023-2024学年河南省信阳市息县培优联盟校八年级（上）适应性数学试卷（一）(含解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
2．如图，∠C、∠1、∠2之间的大小关系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠CB．∠2＞∠1＞∠CC．∠C＞∠1＞∠2D．∠1＞∠2＞∠C
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．∠BAD＝∠CDE
C．DA平分∠BDED．AC＝DE
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360°B．250°C．180°D．140°
8．正多边形每一个外角都等于36°，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
9．如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的另外两个角的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过12cm，则x的取值范围是 ．
12．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠ACD＝80°，则∠EAD＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在BC上的点E处，若∠EDC＝23°，则∠C的度数为 ．
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求∠BAH的度数．
18．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
19．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB＝CF．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
20．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：
（1）BD＝CE．
（2）BD⊥CE．
21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
22．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，连接DE、CE，∠EDA＝∠EDC．
（1）如图1，若CE平分∠BCD，求证：AD+BC＝DC；
（2）如图2，若E为AB中点，求证：CE平分∠BCD．
23．问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
2．如图，∠C、∠1、∠2之间的大小关系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠CB．∠2＞∠1＞∠CC．∠C＞∠1＞∠2D．∠1＞∠2＞∠C
【分析】由三角形外角定理知∠1＞∠2，由三角形内角和定理和邻补角的定义来比较∠2与∠C的大小．
解：如图，∵∠1＝∠3+∠2，
∴∠1＞∠2．
∵∠2＝180°﹣∠5，∠C＝180°﹣∠4﹣∠5，
∴∠2＞∠C，
∴∠1＞∠2＞∠C．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质．三角形外角的性质是：①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．∠BAD＝∠CDE
C．DA平分∠BDED．AC＝DE
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E+∠CAE+∠AOE＝180°，∠C+∠COD+∠，CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DFB．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠C＝∠F，BC＝EF
【分析】针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．
解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B、当∠A＝∠D＝90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等；
C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL．做题时要认真验证各选项是否符合全等要求．
6．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC．
解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
7．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360°B．250°C．180°D．140°
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
8．正多边形每一个外角都等于36°，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
【分析】利用多边形的外角和是360°，多边形的每个外角都是36°，即可求出这个多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可求答案．
解：360°÷36°＝10，
10﹣3＝7．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．
9．如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
解：方法1：
∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
方法2：
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②，
由①﹣②可得S1＝S4，
所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，
故阴影部分的面积为4．
故选：B．
【点评】考查了三角形的重心，三角形的面积，根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
10．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的另外两个角的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．
解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF＝PG＝PH，
∵∠BAC＝60°，∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，
在△PFD与△PGE中，，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中，，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD＝AE，③不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过12cm，则x的取值范围是 1＜x≤3 ．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长不超过12cm，可列出不等式组进行求解．
解：根据题意，可得
，
解不等式组，得：1＜x≤3．
故答案为：1＜x≤3．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题关键．
12．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠ACD＝80°，则∠EAD＝ 65° ．
【分析】先利用三角形的外角性质，求得∠BAC的度数，可得∠CAE的度数，再根据AD平分∠CAE，即可求解．
解：∵∠B＝30°，∠ACD＝80°，
∴∠B+∠BAC＝80°，
∴∠BAC＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAC＝130°，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在BC上的点E处，若∠EDC＝23°，则∠C的度数为 28.5° ．
【分析】根据翻折的性质得到∠A＝∠BED，再根据三角形内角和定理和外角的性质得出∠C+23°+∠C＝80°即可．
解：∵∠ABC＝100°，
∴∠A+∠C＝180°﹣100°＝80°，
由翻折变换可知，∠A＝∠BED，
∵∠BED＝∠C+∠EDC＝∠C+23°，
∴∠A＝∠C+23°，
∴∠C+23°+∠C＝80°，
即∠C＝28.5°，
故答案为：28.5°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握翻折的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．
14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 42 ．
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为 2或 ．
【分析】当△EAP与PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP，②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【解答】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，
∴v的值为：4÷2＝2cm/s；
②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v＝•
故答案为：2或．
【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求∠BAH的度数．
【分析】由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC，根据∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC，即可得解．
解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB＝35°，
∵∠ADC＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，
∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
【分析】（1）根据作角平分线的基本作法作图；
（2）根据三角形的面积公式求解．
解：（1）如图：AG即为所求；
（2）过G作GE⊥AB，GF⊥BC，
∵BG平分∠ABC，
∴EG＝FG，
∵S△ABG：S△BCG＝AB：BC＝8：12＝18：S△BCG，
∴△CBG的面积为27．
【点评】本题考查了基本作图，掌握基本的尺规作图和三角形的面积公式是解题的关键．
19．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AB＝CF．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ADB＝∠CDF，再根据同角的余角相等得出∠BAD＝∠FCD，然后由AAS证明△ABD≌△CFD即可；
（2）由全等三角形的性质得出BD＝DF，再根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和△CFD中
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）解：∵△ABD≌△CFD（AAS），
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴DF＝BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
20．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：
（1）BD＝CE．
（2）BD⊥CE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得出AB＝AC、AD＝AE，由∠BAC＝∠DAE＝90°可得出∠BAD＝∠CAE，由此即可证出△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出BD＝CE；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质可得出∠ACE＝∠ABC＝45°，进而即可得出∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即BD⊥CE．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△CAE；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质找出∠ACB＝∠ACE＝45°．
21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
22．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，连接DE、CE，∠EDA＝∠EDC．
（1）如图1，若CE平分∠BCD，求证：AD+BC＝DC；
（2）如图2，若E为AB中点，求证：CE平分∠BCD．
【分析】（1）过点E作EG⊥CD于G，利用AAS证明△DAE≌△DGE，得到GD＝AD，再利用AAS证明△BCE≌△GCE，得到CG＝BC，即可解决问题；
（2）过点E作EM⊥CD于M，利用AAS证明△DAE≌△DME，得到AE＝ME，再利用HL证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到∠BCE＝∠MCE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图1，过点E作EG⊥CD于G，
则∠DGE＝∠CGE＝90°＝∠A，
在△DAE和△DGE中，
，
∴△DAE≌△DGE（AAS），
∴GD＝AD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠GCE，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（AAS），
∴CG＝BC，
∴AD+BC＝DG+CG＝DC；
（2）如图2，过点E作EM⊥CD于M，
则∠DME＝∠CME＝90°＝∠A，
在△DAE和△DME中，
，
∴△DAE≌△DME（AAS），
∴AE＝ME，
∵E为AB中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝ME，
在Rt△BCE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL），
∴∠BCE＝∠MCE，
∴CE平分∠BCD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，过点E作CD的垂线构造全等三角形是解题的关键．
23．问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．
【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC≌△CFB，得到CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，根据坐标与图形性质解答．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）解：DE＝BD+CE，
理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）解：如图③，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，
∴OF＝CF﹣OC＝1，
∴点B的坐标为（1，4）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．