2023-2024学年山东省淄博市张店区龙凤苑中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

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A．1，1，2B．2，3，4C．2，4，5D．6，8，10
2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
3．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．∠A＝∠DD．∠ABC＝∠DCB
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝70°，D为BC的中点，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．55°B．20°C．25°D．40°
5．等腰三角形一个角为30°，其它两个角的度数是（ ）
A．75°，75°或30°，120°B．30°，75°或30°，45°
C．30°，65°或30°，45°D．30°，55°或30°，75°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．36B．24C．12D．10
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
8．如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（ ）
A．B．5C．6D．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D，E，连接AE．若AD＝4，△ABC的周长为24，则△ACE的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．20
10．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
二.填空题（共5小题）
11．等腰三角形中有两条边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长是 ．
12．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 对．
13．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
14．如图，在9×9的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 个．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
三.解答题（共5小题）
16．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．求证：∠B＝∠E．
17．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，DE和DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F．
求证：AE＝AF．
18．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
参考答案
一.选择题（共10小题）
1．下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．2，4，5D．6，8，10
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
解：A、∵1+1＝2，
∴1，1，2不能作为三角形的三边长，符合题意；
B、∵2+3＞4，
∴2，3，4能作为三角形的三边长，不符合题意；
C、∵2+4＞5，
∴2，4，5能作为三角形的三边长，不符合题意；
D、∵6+8＞10，
∴6，8，10能作为三角形的三边长，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
3．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．∠A＝∠DD．∠ABC＝∠DCB
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD，
∴△ABC和△DCB不一定全等，
故A符合题意；
B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故B不符合题意；
C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
故C不符合题意；
D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝70°，D为BC的中点，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．55°B．20°C．25°D．40°
【分析】根据等角对等边可得AB＝AC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
解：∵∠B＝∠C＝70°，
∴AB＝AC，
∵D为BC的中点，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
5．等腰三角形一个角为30°，其它两个角的度数是（ ）
A．75°，75°或30°，120°B．30°，75°或30°，45°
C．30°，65°或30°，45°D．30°，55°或30°，75°
【分析】先根据等腰三角形的定义，分30°的内角为顶角和30°的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
解：（1）当30°的内角为这个等腰三角形的顶角，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为，
∴其它两个角的度数是75°，75°；
（2）当30°的内角为这个等腰三角形的底角，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为30°，顶角为180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴其它两个角的度数是30°，120°；
综上，另外两个内角的度数分别是75°，75°或30°，120°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．36B．24C．12D．10
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×8×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证△MEB和△NEC是等腰三角形，从而可得MB＝ME，NE＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+ME+EN+AN
＝AM+MB+CN+AN
＝AB+AC
＝3+4
＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（ ）
A．B．5C．6D．
【分析】先根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，则利用三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝4：3，所以S△ABD＝S△ABC＝12，然后利用E是AB的中点得到S△BED＝S△ABD．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝8：6＝4：3，
∴S△ABD＝S△ABC＝×21＝12，
∵E是AB的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝×12＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D，E，连接AE．若AD＝4，△ABC的周长为24，则△ACE的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵AD＝4，
∴AB＝2AD＝8，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝24，
∴BC+AC＝24﹣8＝16，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝BE+CE+AC＝BC+AC＝16，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
二.填空题（共5小题）
11．等腰三角形中有两条边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长是 27cm ．
【分析】分5cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
解：①5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5＝10＜11，
∴此时不能组成三角形；
②5cm是底边长时，三角形的三边分别为5cm、11cm、11cm，
此时能组成三角形，
所以，周长＝5+11+11＝27cm，
综上所述，这个等腰三角形的周长是27cm．
故答案为：27cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
12．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有 4 对．
【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．
解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．
故答案为：4．
【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．
13．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应 增加 （填“增加”或“减少”） 20 度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝140°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝40°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应增加20°．
故答案为：增加；20．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
14．如图，在9×9的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 8 个．
【分析】以A为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个．以B为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个．作AB的垂直平分线，此时C点有0个，作出图形即可求出答案．
解：以A为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
以B为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
作AB的垂直平分线，此时C点有0个，
故答案为：8．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是正确作图找出格点，本题属于基础题型．
15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ①②④⑤ ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
三.解答题（共5小题）
16．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．求证：∠B＝∠E．
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
17．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，DE和DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F．
求证：AE＝AF．
【分析】首先等腰三角形的性质得AD平分∠BAC，由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△AFD≌Rt△AED（HL），即可得出AE＝AF．
【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，
∴AD平分∠BAC，
∵DF⊥AC、DE⊥AB，
∴DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，证Rt△AFD≌Rt△AED（HL）是解题的关键．
18．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
【分析】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，
∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，
又∵AE＝BE，
∴△ADE≌△ECB（ASA），
∴AD＝CE，DE＝BC，
又∵AD＝150米，BC＝350米，
∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．
答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．
19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，计算即可．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．
（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故答案为：30°．
（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．