高中物理人教版 (2019)必修 第三册3 电势差与电场强度的关系精品一课一练

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一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
2．公式：UAB＝Ed.
二、公式E＝eq \f(UAB,d)的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与这两点沿电场强度方向的距离之比．
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
3．电场强度的另一个单位：由E＝eq \f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m.
1 V/m＝1 N/C.
1．判断下列说法的正误．
(1)公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差．( × )
(2)根据公式UAB＝Ed，在匀强电场中A点和B点间的距离越大，则这两点的电势差越大．( × )
(3)在匀强电场中，沿电场线方向，相同距离上降低的电势必相等．( √ )
(4)由公式E＝eq \f(U,d)得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比．( × )
2.如图所示，在电场强度为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________ V.
答案 1.0
解析 U＝Edcs 60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq \f(1,2) V＝1.0 V.
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
导学探究
公式E＝eq \f(UAB,d)对任何电场都适用吗？式中d指的是两点间的距离吗？
答案 公式E＝eq \f(UAB,d)只适用于匀强电场，公式中的d指的是两点沿电场方向的距离，而不是两点间的距离．
知识深化
1．公式E＝eq \f(UAB,d)及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场．
2．由E＝eq \f(U,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离．
3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
4．电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝eq \f(UAB,d)不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大．
例1 如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝2 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ，若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A．UOP＝－200sin θ (V)
B．UOP＝200sin θ (V)
C．UOP＝－200cs θ (V)
D．UOP＝200cs θ (V)
答案 A
解析 在匀强电场中，两点间的电势差U＝Ed，而d是沿电场强度方向上的距离，所以dOP＝R·sin θ，沿电场线方向电势降低，故：UOP＝－100×2sin θ＝－200sin θ(V)，故A正确，B、C、D错误．
例2 (2022·江西宜春实验中学高二月考)如图，A、B、C三点在匀强电场中，AC⊥BC，∠CAB＝37°，BC＝10 cm，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，静电力不做功；从B移到C，静电力做功为－8×10－3 J，则该匀强电场的电场强度大小和方向是(cs 37°＝0.8)( )
A．800 V/m，垂直AC向下
B．800 V/m，垂直AC向上
C．10 000 V/m，垂直AB斜向下
D．10 000 V/m，垂直BC斜向上
答案 C
解析 由题意，将正电荷从A移到B，静电力不做功，则A与B电势相等，AB连线是一条等势线．BC间电势差为UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(－8×10－3,1×10－5) V＝－800 V，所以B点的电势低．该匀强电场的电场强度大小为E＝eq \f(|UBC|,BCsin 53°)＝eq \f(800,10×0.8×10－2) V/m＝10 000 V/m，因为沿电场线方向电势降低，故电场强度方向垂直AB斜向下．故选C.
1．电势差的三种求解方法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解．
(2)应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解．
(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解．
2．在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、电场强度大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．
针对训练1 (2021·西宁市高二期末)带有等量异种电荷，相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下．电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm.下列说法正确的是( )
A．UCD＝1 000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 CD两点间的电势差为UCD＝－EdCD＝－2×104×(0.1－0.02－0.03) V＝－1 000 V，故A错误；让B板接地，B板电势为零，则C点电势φC＝EdCB＝2×104×3×10－2 V＝600 V，故B正确；让A板接地，A板电势为零，则D点电势φD＝－EdDA＝－400 V，故C错误；将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值相同，故D错误．
二、利用E＝eq \f(U,d)定性分析非匀强电场
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值．
(2)当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．
例3 (2021·东北师大附中期中)如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则a、b连线的中点c的电势应为( )
A．φ c＝－35 V B．φ c＞－35 V
C．φ c＜－35 V D．无法判断
答案 B
解析 由题图可知这是一个非匀强电场，且Ea＞Ec＞Eb，即从b到a电场强度越来越大，则Ubc＝eq \x\t(E)bc·d，Uca＝eq \x\t(E)ca·d，其中eq \x\t(E)bc、eq \x\t(E)ca分别为bc段和ca段的平均电场强度，且eq \x\t(E)bc＜eq \x\t(E)ca，Ubc＜Uca，即φb－φc＜φc－φa，得φc＞－35 V，B正确．
针对训练2 如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势( )
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案 B
解析 根据点电荷电场强度公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B.
考点一 公式UAB＝Ed或E＝eq \f(UAB,d)的理解及简单应用
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．由公式E＝eq \f(UAB,d)得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝eq \f(UAB,d)得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于电场强度和这两点沿电场方向的距离的乘积
D．公式E＝eq \f(UAB,d)只适用于匀强电场
答案 CD
2.匀强电场中一簇水平等势面，电势的高低如图所示，相邻等势面之间的距离都是2 cm，下列判断正确的是( )
A．电场强度竖直向下、大小为0.2 V/m
B．电场强度竖直向下、大小为500 V/m
C．电场强度竖直向上、大小为0.2 V/m
D．电场强度竖直向上、大小为500 V/m
答案 D
3.如图所示，沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θA．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cs θ＋1) D．U＝2Er
答案 C
解析 由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿电场强度方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcs θ，所以Umax＝Er(cs θ＋1)，C项正确．
4．(2021·合肥一中月考)在水深超过500 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度能达到1×104 N/C，可击昏敌害，则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达( )
A．50 V B．500 V C．5 000 V D．50 000 V
答案 C
解析 根据U＝Ed，得U＝1×104×0.5 V＝5 000 V，故选项C正确．
5.(2021·宿迁中学月考)如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A点移到B点，静电力做功为零；从B点移到C点，静电力做功为－eq \r(3)×10－3 J.
(1)求A、C间的电势差；
(2)若规定B点电势为零，求C点的电势；
(3)求匀强电场的电场强度大小及方向．
答案 (1)－eq \r(3)×102 V (2)eq \r(3)×102 V
(3)1 000 V/m 垂直AB连线指向右下方
解析 根据W＝qU，得UAB＝eq \f(WAB,q)＝0，
即φA＝φB，UBC＝eq \f(WBC,q)＝－eq \r(3)×102 V.
(1)UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－eq \r(3)×102 V.
(2)φB＝0，UBC＝φB－φC，
所以φC＝φB－UBC＝eq \r(3)×102 V.
(3)AB为等势面，电场强度方向垂直AB连线指向右下方，故E＝eq \f(|UBC|,BCsin 60°)＝1 000 V/m
考点二 用U＝Ed定性分析非匀强电场
6.如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是( )
A．电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B．电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
答案 B
解析 由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，选项A、D错误；根据电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB7.(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是( )
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案 AD
解析 根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确．将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确．
8.(2022·嫩江市第一中学高二开学考试)如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，以下判断正确的是( )
A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec
C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec
答案 A
解析 沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知φa>φb>φc，A正确；只有一条电场线，不能确定电场线的分布情况，无法比较三点电场强度的大小，B、D错误；对于匀强电场，两点间的电势差U＝Ed，只有在匀强电场中沿电场线方向才有φa－φb＝φb－φc，C错误．
9.(多选)(2021·烟台市期末)如图所示，直角三角形ABC所在平面内存在一个匀强电场，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝d.一个带电荷量为q的正电荷从C点运动到A点和从C点运动到B点静电力做的功均为W.若C点的电势为零，则下列结论正确的是( )
A．B点的电势为－eq \f(W,q)
B．C、B两点间的电势差为eq \f(W,q)
C．该电场强度大小为eq \f(W,qd)
D．在A点由静止释放一个点电荷，该电荷将沿AB做直线运动
答案 AB
解析 一个带电荷量为q的正电荷从C点运动到A点和从C点运动到B点静电力做的功均为W，则AB是一条等势线，正电荷从C点运动到B点静电力做功为W，由W＝qUCB，得UCB＝eq \f(W,q)＝φC－φB，由于C点电势为零，所以φB＝－eq \f(W,q)，故A、B正确；过C点作AB的垂线，交AB于D点，如图所示，则CD为电场线，由几何关系知CD＝BCcs 30°＝eq \f(\r(3),2)d，则E＝eq \f(UCB,CD)＝eq \f(\f(W,q),\f(\r(3),2)d)＝eq \f(2\r(3)W,3qd)，故C错误；在A点由静止释放一个点电荷，该电荷将沿垂直于AB的方向做直线运动，故D错误．
10.(2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考)如图所示，a、b、c、d是以O点为圆心的圆弧上的四个点，该圆的半径R＝5 m．a、b、c、d也在xOy坐标系的x轴和y轴上，匀强电场的方向与x轴正方向成θ＝53°(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)，已知O点的电势为零，a点的电势为4 V，则下列说法正确的是( )
A．匀强电场的电场强度E＝2 V/m
B．b点电势为2.5 V
C．将一个电荷量为－1 C的试探电荷从b点移到d点，静电力做功为6 J
D．将一个电荷量为＋1 C的试探电荷从a点移到c点，试探电荷的电势能减少8 J
答案 D
解析 a、O之间沿电场线方向的距离为d＝Rsin 53°＝4 m，a、O间电势差U＝4 V，则电场强度的大小为E＝eq \f(U,d)＝1 V/m，故A错误；b、O之间沿电场线方向的距离为x＝Rcs 53°＝3 m，b点电势为φb＝Ex＝1×3 V＝3 V，故B错误；b、d两点间的电势差为Ubd＝2ERcs 53°＝2φb＝6 V，静电力做功Wbd＝qUbd＝－1×6 J＝－6 J，故C错误；a、c两点间的电势差为Uac＝2ERsin 53°＝8 V，静电力做功Wac＝qUac＝1×8 J＝8 J，则电势能减少8 J，故D正确．
11.如图所示，M、N两极板间匀强电场的电场强度大小E＝2.4×104 N/C，方向竖直向上．电场中A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ＝60°，A点和M板间的距离为2 cm.
(1)此时UAB等于多少？
(2)一正点电荷的电荷量q＝5×10－8 C，它在A、B两点的电势能之差为多少？若M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？
答案 (1)1 200 V (2)6×10－5 J －480 V －1 680 V
解析 (1)由U＝Ed得A、B两点间的电势差
UAB＝E·eq \x\t(AB)cs θ＝2.4×104×10×10－2×0.5 V＝1 200 V.
(2)正点电荷在电势高处电势能大，它在A、B两点间的电势能之差为
EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8×1 200 J＝6×10－5 J.
若M板接地，M板电势为0，
UMA＝φM－φA＝E·eq \x\t(MA)＝480 V.
则φA＝－480 V，
φB＝φA－UAB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V.
12.如图所示，有一立方体空间ABCD－EFGH，则下列说法正确的是( )
A．若只在A点放置一正点电荷，则电势差UBCB．若只在A点放置一正点电荷，则B、H两点的电场强度大小相等
C．若在A、G两点处放置等量异种点电荷，则UBC＝UEH
D．若在A、E两点处放置等量异种点电荷，则D、F两点的电场强度相同
答案 C
解析 若只在A点放置一正点电荷B、C之间的平均电场强度大于H、G之间的平均电场强度，又有BC＝HG，再结合BC、HG与电场方向的关系，可知电势差UBC>UBG，故A错误；若只在A点放置一正点电荷，由于B、H两点到A点的距离不相等，根据点电荷电场强度公式E＝keq \f(Q,r2)可知，B、H两点的电场强度大小不相等，故B错误；若在A、G两点处放置等量异种点电荷，由于BC与EH平行且相等，结合等势面的分布情况可知UBC＝UEH，故C正确；若在A、E两点处放置等量异种点电荷，等量异种点电荷的电场具有对称性，即上下对称，左右对称，D与H关于AE连线的中垂线上下对称，所以D点与H点电场强度大小相等，同理得H与F两点的电场强度大小相等，则D、F两点的电场强度大小相等，但方向不同，所以电场强度不同，故D错误．
13.(多选)电荷量为＋Q的点电荷与一无限大接地金属板(电势为零)MN相距为2d，所形成的电场的电场线如图所示．图中P点与金属板相距为d，R点与P点关于点电荷对称，且测得P点电势为0.5 V．则下列说法中正确的是( )
A．R点的电场强度大小大于P点
B．带正电试探电荷从R点移动到P点，静电力做功等于零
C．点电荷与金属板间的电势差大于1 V
D．金属板表面电势相等
答案 CD
解析 根据电场线的疏密表示电场强度的大小，则R点的电场强度小于P点，A错误；电场线的疏密表示电场强度的大小，Q左侧电场强度小于右侧的电场强度，根据U＝Ed，无穷远处电势为零，则R点电势大于0.5 V，带正电试探电荷从R点移动到P点，静电力做功不等于零，B错误；P点左侧电场线比较密，则左侧的电场强度较大，根据U＝Ed，则UQP>0.5 V，点电荷与金属板间的电势差大于1 V，C正确；金属板处于静电平衡状态，是等势体，表面是等势面，D正确．