2020-2021学年江苏省扬州市江都区九年级上学期数学10月月考考试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市江都区九年级上学期数学10月月考考试题及答案，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. ax2+bx+c=0B. x2﹣y﹣1=0C. +x=1D. x2=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
详解】A、二次项系数a可能等于0，故本选项错误；
B、含有两个未知数，故本选项错误；
C、是分式方程，，故本选项错误；
D、是一元二次方程，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的判断，明确一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若关于x的一元二次方程－2m－3＝0有一个根为0，则m的值是（ ）
A. 3B. －1C. 3或－1D. －3或1
【答案】A
【解析】
把x=0代入方程可得，解得m=-3或1，又因m+1≠1，所以m只取-3，故选A.
3. 若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n=0的根，则m+n的值为（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
将n代入方程，得到关于字母n的一元二次方程方程，结合题意及提公因式法解题即可．
【详解】n是关于x的方程x2+mx+n=0的根，
，
，
，
，即．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A. 一定在⊙O的内部
B. 一定在⊙O的外部
C. 一定在⊙O的上
D. 不能确定
【答案】B
【解析】
试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，故选B．
考点：点与圆的位置关系．
5. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 100（1+x）2=1000B. 100+100×2x=1000
C. 100+100×3x=1000D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
【答案】D
【解析】
【分析】
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=1000，
即100[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
6. 如图，⊙O的半径为5，弦，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
分析：OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．
解答：解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM最短为=3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选A．
7. 已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A. m-1B. m+1C. 1-mD. ±（m-1）
【答案】C
【解析】
【分析】
关于x的方程x2-x+2m=0有两个实数根，即判别式△=b2-4ac≥0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，代入即可得到结果．
【详解】解：∵x2-x+2m=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac=8－8m≥0
∴m≤1，
∴=|m-1|=1-m，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8. 已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或a>0D. 或a>0
【答案】C
【解析】
试题分析：先将原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得=-2
②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0.
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.
考点：①一元二次方程根的判别式；②根与系数的关系.
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
试题分析：移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2．
考点：解一元二次方程
10. 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
【详解】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，
解得：m=2或m=-2，
又∵m-2≠0，即m≠2，
∴m= -2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
11. 如果方程kx2+3x+1=0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是______
【答案】k＜且k≠0
【解析】
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac意义由题意得k≠0且△＞0，即32-4×k×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵方程kx2+2x+1=0有两个不等实数根，
∴k≠0且△＞0，即32-4×k×1＞0，解得k＜，
∴实数k的取值范围为k＜且k≠0．
故答案为k＜且k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12. 若m是方程2x2﹣5x﹣1=0的一个根，则6m2﹣15m+2015的值为________．
【答案】2018
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：2m2-5m-1=0，
∴2m2-5m=1
∴6m2﹣15m=3
∴6m2﹣15m+2015
=3+2015
=2018．
故答案为：2018．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则=________．
【答案】2013
【解析】
【分析】
由已知，m、n是方程的两个根，根据韦达定理解出两根的和与两根的积，再将分解成，代入求解即可．
【详解】m、n分别为一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：2013．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
15. 如果关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋2a＋1＝0有一个小于2的正数根，那么实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
因式分解法解得一元二次方程的根，再根据根的范围列不等式解答．
【详解】，
或，
∵ 有一个＜2的正数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法、一元一次不等式，熟练掌握因式分解法是关键．
16. 如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么________2（填“＞，＜或＝”）
【答案】＞
【解析】
【分析】
可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知AE＝AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出和的大小关系，即可得解．
【详解】如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；
由垂径定理知：AE＝BE，；
∴AE＝CD＝AB；
在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；
∴＞，
即；＞2
故答案为：＞．
【点睛】能够通过作辅助线，并根据垂径定理和直角三角形的性质判断出和的大小关系，是解答此题的关键．
17. 如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．
【详解】解：连接OE，OD，
∵=，
∴∠DOC=∠EOF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠DCO=∠EFO=90°，
又∵DO=EO，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴CO=OF=，
∵在Rt△DOC中，OD=，
∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．
故答案为：x2-x+1=0．
【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
18. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．
【答案】2026
【解析】
【详解】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，
又n2=n+3，
则2n2-mn+2m+2015
=2（n+3）-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2（m+n）-mn+2021
=2×1-（-3）+2021
=2+3+2021
=2026．
三、解答题（共96分，解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.）
19. 解下列方程：
（1）2x2＋3x=1
（2）＝0
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法即可求解．
【详解】解：（1）2x2＋3x=1，
2x2+3x-1=0，
a=2，b=3，c= -1，
△=32-4×2×(-1)=17，
x=，
∴；
（2）＝0，
=0，
(3-x)(3+2x)=0，
∴3-x=0或3+2x=0，
解得：；
【点睛】本题考查了一元二次方程的几种解法，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题．
20. 如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别为AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．求证：AC=BD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先证明Rt△COM≌Rt△DON，得到∠COM=∠DON，再由圆心角、弧、弦的关系进行证明结论．
【详解】如图所示：连接OC、OD，
∵OA=OB，M，N分别为OA，OB的中点，
∴OM=ON，
在Rt△COM和Rt△DON中，
，
∴Rt△COM≌Rt△DON，
∴∠COM=∠DON，
∴，
∴AC=BD．
【点睛】考查的是圆心角、弧、弦的关系．解题关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
21. 已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【答案】（1）m=1，边长为；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，结合根的判别式，可得△=b2－4ac=0，求出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x=1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程=0
∴△=（-m）2-4×（）=（m-1）2=0，
∴m=1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m=1时，原方程为
解得：x1=x2=，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x=1代入原方程，得：
解得：m=．
将m=代入原方程，得：
∴x1=1，x2=
∴AD=，
∴▱ABCD的周长是2×（1+）=3．
【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝6，CD＝1．求⊙O半径的长．
【答案】r=5
【解析】
【分析】
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，据此解得AD的长，再设半径为r，由勾股定理解题即可．
【详解】半径OC⊥弦AB，
由垂径定理得，
，
设，则
中，由勾股定理得，
，即，
解得：．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23. 已知关于x的方程x2－（k＋2）x＋2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．
【详解】（1）证明：∵△＝（k＋2）2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝（k－2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16－4（k＋2）＋2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴a、b的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则a＝b，即方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（k－2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2－4x＋4＝0，解得a＝b＝2，
此时2＋2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
24. 如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于时，求此时通道的宽．
【答案】此时通道的宽为米．
【解析】
【分析】
可以先设通道的宽为x，根据通道的面积与花圃的面积之比等于列出方程，即可得到答案.
【详解】设通道宽为x，得60×40-（60-2x）（40-2x）=×60×60解得x=5或45（舍去），所以通道宽为5米.
【点睛】本题考察了一元二次方程，理解题意是解决本题的关键.
25. 某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价0.5元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要想平均每天销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？
（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？
【答案】（1）20元；（2）每件童装应降价15元
【解析】
【分析】
（1）设每件童装应降价x元，根据每件童装降价0.5元，那么平均每天就可多售出2件分别表示出降价后的利润与销量，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设利润为y，列出y与x的关系式，配方即可确定出y最多时x的值．
【详解】解：（1）设每件童装应降价x元，
根据题意得：（40-x）（40+）=2400，
整理得：x2-30x+200=0，即（x-20）（x-10）=0，
解得：x=20或x=10(舍去)，
则每件童装应降价20元；
（2）设利润为y元
根据题意得：y=（40-x）（40+）
=-4x2+120x+1600
=-4（x-15）2+2500，
当x=15时，利润y最大，即要想利润最多，每件童装应降价15元．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及一元二次方程的应用，熟练掌握街一元二次方程及完全平方公式是解本题的关键．
26. 如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【解析】
【分析】
分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【详解】根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
∴3-t=t，
∴t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的性质．分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°是解本题的关键．
27. 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．
例如：①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方；
（2）已知，求的值．
（3）若关于的代数式是完全平方式，求的值．
【答案】（1）；；（2）x＝－1，y＝2，；（3）m＝6或m＝18
【解析】
【分析】
（1）由题中所给的已知材料可得x2−4x＋4的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（2）利用配方法得到（x＋y）2＋3（y−1）2＝0，再根据非负数的性质得x＋y＝0，
y−1＝0，然后解出x、y，即可得到xy的值；
（3）由于代数式9x2−（m＋6）x＋m−2是完全平方式，则9x2−（m＋6）x＋m−2＝0有等根，所以（m＋6）2−4×9×（m−2）＝0，然后解关于m的一元二次方程．
【详解】解：（1）x2−4x＋4的三种配方分别为：
x2−4x＋4＝（x−2）2，
x2−4x＋4＝（x＋2）2−8x，
x2−4x＋4＝（x−）2−x2＋2；
（2）∵x2＋y2＋xy−3y＋3＝0，
∴（x＋y）2＋3（y−1）2＝0，
∴x＋y＝0，y−1＝0，
∴x＝−1，y＝2，
∴xy＝1；
（3）根据题意得（m＋6）2−4×9×（m−2）＝0，
解得m＝6或m＝18．
【点睛】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值；配方法的综合应用．
28. 如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，
【解析】
【分析】
（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0解，再根据c2-4•≥0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1•x2=k+1，再解y1y2-=2，即可求出k的值．
【详解】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab= ，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，
∵c正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k=﹣2时， ．
由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，
由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k=﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．