2020-2021学年江苏省扬州市仪征市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市仪征市九年级上学期数学期末试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的对称轴是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【详解】抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下表
在这组数据中，鞋厂最感兴趣的码号是（ ）
A. 33B. 34C. 35D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
35出现次数最多，故众数是35
故选：C．
【点睛】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
3. 视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是
A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 位似
【答案】D
【解析】
【分析】开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
【详解】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选D．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
5. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A. 50.7（1+x）2＝125.6B. 125.6（1﹣x）2＝50.7
C. 50.7（1+2x）＝125.6D. 50.7（1+x2）＝125.6
【答案】A
【解析】
【分析】设投入的年平均增长率为x，由题意得等量关系：2016年销量×（1+增长率）2=2018年销量，根据等量关系列出方程．
【详解】解：设年平均增长率为x，可列方程为：50.7（1+x）2＝125.6，故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
6. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
7. 如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB=2，则图中阴影的面积为（ ）．
A. B. πC. D. π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，根据平行四边形的判定及平行线的性质得出r=，作OF⊥BE于F，根据求解即可．
【详解】解：连接OB，∴OB=OE=OA，
∵BC与⊙O相切于B，
∴OB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥OA，OC∥AB，
∴∠BOA=∠OBC=90°，
∵OB=OA，AB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，OA=OB=，即r=，
作OF⊥BE于F，
∵OA∥BC，
∴∠COB=∠OBA=45°，
∴∠EOB=180°-∠COB=180°-45°=135°，
∴，，，
∴==，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
8. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先求得x2=x+1，再代入即可得出答案．
【详解】解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴=（x+1）2+x(x+1)-5x+3
=x2+2x+1+x²+x-5x+3
=2x2-2x+4
=2(x+1)-2x+4
=2x+2-2x+4
=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
9. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.
【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为.
故答案为.
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.
10. 若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF面积比_____________．
【答案】1：4
【解析】
【分析】由题意直接根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行求值即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
11. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
【详解】∵，，，
由题意知，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
12. 圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为____．（结果保留π）
【答案】20
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为4，然后利用扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．
【详解】解：圆锥的底面圆的半径为＝4，
所以该圆锥的侧面积＝×2×4×5＝20．
故答案为20．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DAB=28°，则∠C的度数是____°．
【答案】118
【解析】
【分析】根据AB是直径，即可求得∠ADB是直角，根据三角形的内角和定理即可求得∠B的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠DAB=28°，
∴∠B=62°
∵∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-62°=118°．
故答案为118．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14. 如图所示，将一量角器放置在一组平行线l1、l2、l3中，AB⊥l1，交l2于点C、D两点，若BC=1，AC=3，则CD的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AD、BD，根据直径所对圆周角为直角，△ADB为直角三角形，根据已知条件利用勾股定理可得出，进而可求出CD．
【详解】解：如图，连接AD、BD，
∵量角器为半圆，AB为直径，
∴可知△ADB为直角三角形，
∵l1∥l2∥l3，AB⊥l1，
∴AB⊥l2，AB⊥l3，
∴，，
又∵，
∴，
∵AC=3，BC=1，
∴，
∴，
∴，
又∵边长为正值，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查半圆所对的圆周角为直角及勾股定理，解题的关键是做出合适的辅助线．
15. 将抛物线沿x轴向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是__．
【答案】y=x2-1
【解析】
【分析】先把抛物线写成顶点式，再写出平移后的顶点，根据顶点式可求平移后抛物线的解析式．
【详解】解：，
∴原抛物线顶点坐标为(2，-1)，向左平移2个单位，平移后抛物线顶点坐标为(0，-1)，
∴平移后抛物线解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．
16. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
【答案】8米．
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
17. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
若，两点都在该函数的图象上，若≥，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，当时，，再通过列二元一次方程组并求解，即可得到a和b的值；再根据，两点都在该函数的图象上，且≥，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意，当时，
又∵
∴
∴
∵，两点都在该函数的图象上，且≥
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、二次函数、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、二次函数、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
18. 如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC＝8，点F在边CD上，连接BF，沿BF折叠矩形使点C落在点E处．连接AE，则AE长度的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，得；当点F和点D重合时，取最小值，过点A作交BD于点M，过点E作交BD于点N，得，；根据轴对称和矩形性质，得，，根据相似比性质，计算得，，，，通过证明四边形为平行四边形，得；当取最小值时，AE长度取最小值，从而完成求解．
【详解】∵AB=6，BC＝8，点F在边CD上，连接BF，沿BF折叠矩形使点C落在点E处
∴
如下图，当点F和点D重合时，取最小值，过点A作交BD于点M，过点E作交BD于点N
∴，
∵沿BF折叠矩形使点C落在点E处
∴，
∵矩形ABCD
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形
∴，
当取最小值时，AE长度取最小值
∴AE长度的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、三角形边角关系、相似三角形、勾股定理，平行四边形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形边角关系、相似三角形、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．
三、解答题（本大题共10小题，共计96分．）
19. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1） ;（2）
【解析】
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式得出即可．
（2）先移项得到x（x＋4）＋3（x＋4）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）
（x-9）（x＋5）＝0，
∴x-9=0或x+5=0
解得：
（2）x（x＋4）＋3（x＋4）＝0，
（x＋4）（x＋3）＝0，
x＋4＝0或x＋3＝0，
所以x1＝−4，x2＝−3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
20. 为了迎接2021年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示：
（1）表格中的a= b= ；
（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？
【答案】（1）a=80，b=40；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，列出算式计算即可；
（2）根据小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，即可得出答案．
【详解】解：（1）小孙的平均分=（75+90+75+90+70）÷5=80，
小周的方差=[（70-80）2+（80-80）2+（80-80）2+（90-80）2+（80-80）2]=40；
故a=80，b=40．
（2）选择小周参加比赛；
理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．
【点睛】本题考查了方差的定义与意义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21. 在一个不透明的布袋中，有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出个球，摸到红球的概率是________；
（2）搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的球中任意摸出个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
【答案】（1）；（2）见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率的求法，求摸到红球的概率.
（2）利用树状图法列出两次摸球的所有可能的结果，求两次都摸到红球的概率．
【详解】（1）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为，则摸到红球的概率为.
（2）两次摸球的所有可能的结果如下：
有树状图可知，共有种等可能的结果，两次都摸出红球有种情况，
故（两次都摸处红球）．
【点睛】本题考查古典概型概率的求法和树状图法求概率的方法.
22. 已知关于的一元二次方程的一根为2．
（1）用含的代数式表示；
（2）试说明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）n=﹣2m﹣5；（2）理由见解析
【解析】
【分析】（1）把x=2，代入原方程就可求出m、n的关系式；
（2）利用根的判别式△=b2-4ac，可求具体数值，利用数值来说明方程总有两个不相等的实数根．
【详解】（1）把x=2，代入方程x2+mx+n+1=0得
4+2m+n+1=0，
则n=﹣2m﹣5；
（2）∵△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×n=m2﹣4（﹣2m﹣5）=m2+8m+20=（m+4）2+4＞0，
∴关于y的一元二次方程y2+my+n=0总有两个不相等的实数根．
【点睛】一元二次方程的根的判别式是,Δ=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.Δ>0说明方程有两个不同实数解,Δ=0说明方程有两个相等实数解,Δ<0说明方程无实数解.实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.(2)已知方程根的情况，利用△的正负求参数的范围.
23. 如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．设旗杆AB在地上的影长BC为20m，墙面上的影长CD为4m；同一时刻，竖立于地面长1m的木杆的影长为0.8m，求旗杆AB的高度．
【答案】29m
【解析】
【分析】作DE⊥AB于E，可得矩形BCDE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE＝BC＝20m，BE＝DC＝4m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，
解得AE＝25m，
∴AB＝25＋4＝29m．
答：旗杆的高度为29m．
【点睛】考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
24. 如图，已知二次函数y＝-x2+ax+1的图象经过点P（2，1）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①当m＝3时，求n值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】（1）a=2，顶点（1，2）；（2）①n=-2；②－7【解析】
【分析】（1）把P（2，1）代入y＝-x2+ax+1中，即可求解；
（2）①令m=3，求函数的值即为n值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可；
【详解】解：（1）把P（2，1）代入y＝-x2+ax+1中，
∴a=2，
∴y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2
∴图象的顶点坐标为（1，2）；
（2）①∵Q（m，n）在该二次函数图象上，
当m=3时，n=-32+2×3+1=-2；
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
当m=-2时，n=-4-4+1=-7，
当m=2时，n=-4+4+1=1，
∴由图象可得-7＜n≤2；
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
25. 2021年世界园艺博览会在我市枣林湾举行，旅游景点销售一批印有会标的文化衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降1元，平均每天可以多售出2件．
（1）若降价后商场销售这批文化衫每天盈利1200元，那么单价降了多少元？
（2）当文化衫的单价降多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）20元或10元；（2）降15元，最大利润1250元
【解析】
【分析】（1）设单价降了x元，根据文化衫的单价每降1元，平均每天可以多售出2件，计算得每天售出的文化衫数量为：；根据降价后商场销售这批文化衫每天盈利1200元，通过列方程并求解，即可得到答案；
（2）设降价后每天的利润为y，根据（1）的结论，得，从而得，当时，取最大值，即可完成求解．
【详解】（1）设单价降了x元
根据题意，得每天售出的文化衫数量为：
∵降价后商场销售这批文化衫每天盈利1200元
∴
∴或10
∴单价降了20元或10元；
（2）设降价后每天的利润为y
根据（1）的结论，
当时，取最大值，
∴当文化衫单价降15元时，才能使每天的利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．
26. 如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．根据题意结合图形易证线段ON为中位线，即可求出长，从而求出与长，最后在中利用勾股定理即可求出DE的长，即⊙O的直径，即可判断OD=DE=OM，从而证明AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，利用圆周角定理以及三角形中线的性质易证，即证明CF=CD．
（3）取AD中点H，连接CH、FH、FD．根据（2）中三角形中线的结论可知，再在中，利用勾股定理可求出．最后利用三角形三边的关系即可求出CF的最小值．
【详解】（1）如图，过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．
由题意可知四边形BCNM为矩形，
∴MN=AD=3，
∵O为圆心，即O为DE中点，
∴N为DC中点，即线段ON为中位线，
又∵，
∴，
∴OM=MN-ON=3-1=2．
在中，．
∴OD=DE=OM=2．
即AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，
∵DE为直径，
∴．
∴，
∴CG为直径．
∴，
∵E为BC中点，
∴G为AD中点，
在中，FG为中线，
∴AG=DG=FG，
在和中， ，
∴．
∴CF=CD．
（3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD．
由（2）可知，
在中，，
∵．
∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查圆综合．主要知识点有切线的判定，圆周角定理，三角形中线与中位线的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，三角形三边的关系以及勾股定理等知识，综合性较强，较难．作出合理的辅助线是解答本题的关键．
27. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时，求AE的长；
（3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）12
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠B＝∠ACB，
∴△BAD∽△DCE；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△CDE∽△ABD，
∴△ABD∽△CBA，
∴，即，
解得，BD＝，
∵DE∥AB，
∴，即，
解得，AE＝；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，
∵AB=AC，
∴BM=CM=16÷2=8，
又∵AB=10，
∴AM=，
∴tanB=
∵∠ADE＝∠B，
∴tan∠ADE=，
∵∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°，
∵∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°，
∴∠AFN=∠MAD，
∴∆AFN~∆DAM，
∴，即：NF=MA=×6=，
∴点F到AM所在直线的距离=，
∴点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段，
当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF1=90°，
∵tanB=，
∴AF1=AB×tanB=10×=，
当点D与点C重合时，F点在F1的位置，此时，AF2= AC×tan∠ACF2= AB×tanB=，
连接F1F2，
∵∠BAF1=∠CAF2，
∴∠F1AF2=∠BAC，
∵AF1=AF2，即∆A F1 F2是等腰三角形，
∴∆A F1 F2~∆ABC，
∴，即：，
∴F1 F2=12，即：点F运动的路径长为12．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题．
28. 如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB=4 cm，AC=6 cm，点D从点B出发以2cm/s的速度沿折线B—A—C运动，同时点E也从点B出发以1cm/s的速度沿BC运动，当某一点运动到C点时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△BDE的面积为y（cm2）．
（1）如图2，当点D在AC上运动时，x为何值，△ABD∽△ACB；
（2）求y（cm2）关于x（s）的函数表达式；
（3）当点D在AC上运动时，存在某一时段△BDE的面积大于D在AB上运动的任意时刻的△BDE的面积，请你求出这一时段x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】
【分析】（1）由△ABD∽△ACB可得，列出方程求解即可；
（2）分D点在AB上和AC上两种情况，运用三角形面积公式求解即可；
（3）求出的最大值，根据二次函数的性质计算即可．
【详解】解：（1）当D在AC上运动时，△ABD∽△ACB，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）①当D在AB上时，作于点G，如图，
此时，即时，
∵∠B=30°
∴
∴
②当D在AC上时，作，于点H，Q，
∴AH//DQ
∴，则
∴
∵AH//DQ
∴△CAH∽△CDQ
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴y与x之间的函数关系式为：
（3）当x=2时，取得最大值2，即当D在AB上时，面积最大值为2
令，则有
∴
∴或
∴当时，存在△BDE的面积大于D在AB上运动的任意时刻的△BDE的面积．
【点睛】本题考查的是三角形面积的计算，二次函数解析式的确定，二次函数的性质，根据图象确定x的运动时间与面积的关系是解题的关键．码号
33
34
35
36
人数
7
6
15
2
…
-1
0
1
2
3
4
…
…
10
5
2
1
2
5
…
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
平均分
方差
小孙
75
90
75
90
70
a
70
小周
70
80
80
90
80
80
b