新高考数学三轮冲刺压轴小题提升练习专题3 函数的周期性、对称性（含解析）

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C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】
函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 周期为4， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，
做出函数 SKIPIF 1 < 0 图像，如下图所示：
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 函数图像相切，与函数有两个交点，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，直线与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内与直线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
则 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周期为4，
SKIPIF 1 < 0 范围也表示为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所有 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
2．设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x3，则下列四个命题：
①f(x)是以4为周期的周期函数．
②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．
③f(x)在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是( )
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【解析】
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.
3．设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A．6 B．7 C．13 D．14
【解析】
由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．
4．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .若在区间 SKIPIF 1 < 0 上，存在 SKIPIF 1 < 0 个不同的整数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ )
A．15B．16C．17D．18
【解析】
定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的周期为8．函数 SKIPIF 1 < 0 的图形如下：比如，当不同整数 SKIPIF 1 < 0 分别为-1，1，2，5，7…时， SKIPIF 1 < 0 取最小值， SKIPIF 1 < 0 ，
至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D
5．已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是以6为周期的周期函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 递减；
当当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象，如图所示：
因为不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有150个整数解，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有3个整数解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不符合题意，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有3个整数解，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数和奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B．1或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或2D． SKIPIF 1 < 0 或1
【解析】
解：已知 SKIPIF 1 < 0 ，①
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数和奇函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，②
①+②得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 为偶函数，关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
由于 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点，
则必有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (0，3)时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的（ ）
A．最小值为 SKIPIF 1 < 0 B．最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．最大值为0D．最大值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 .
又函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由周期性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图像与在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图像一样，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由指数函数性质知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又函数 SKIPIF 1 < 0 为R上的奇函数，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对称，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（5）若函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，又关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则函数 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）若函数 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，又关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，则函数 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A．方程 SKIPIF 1 < 0 =0最多有四个解
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为[ SKIPIF 1 < 0 ]
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
D．f(2020)=0
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确，排除D；
再由 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确，排除C；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又函数是奇函数， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正确，排除B；
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【解析】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周期为2，所以 SKIPIF 1 < 0 在[－1，5]的图象所示：
结合题意，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.最大值为1.
故选：B.
10．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有实数根，则方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周期为4，
考虑 SKIPIF 1 < 0 的一个周期，例如 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
对于奇函数 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，
则由于 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一实数，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
则方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上没有实数根，
从而方程 SKIPIF 1 < 0 在一个周期内有且仅有两个实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的两实数根之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的所有6个实数根之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
11．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的连续函数.已知： SKIPIF 1 < 0 满足：①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；② SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 满足：① SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
只需 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，周期为2，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
求导得， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数， SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是周期为2的函数B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点
【解析】
解：对于A， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，其图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，把 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移1个单位得到 SKIPIF 1 < 0 的图像，所以 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
用 SKIPIF 1 < 0 替换上式中的 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数.故A错误.
对于B， SKIPIF 1 < 0 定义域为R的奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是周期为4的周期函数，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故B正确.
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时有 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，函数关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 .故C正确.
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数的零点为0，2；
SKIPIF 1 < 0 是奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时函数零点为4；
③ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，此时函数零点为6；
④ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数无零点；
综合以上有，在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点.故D正确；
故选：BCD
13．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任何 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在下列结论中，正确命题的序号是________
① 对任何 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
② 函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ；
③ 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；④ “函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减”的充要条
件是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”；
【解析】
对于①，对任何 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①正确；
对于②，取 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从而函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为[0，+∞），②正确；
对于③， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴③正确；
对于④，充分性：令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
必要性：令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ⊆ SKIPIF 1 < 0
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ⊆ SKIPIF 1 < 0 上单调递减，④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③④．
故答案为①②③④．
14．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ；
②函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
③存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以①对;
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
从而函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；所以②对;
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由上可得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无解.所以③错；
综上正确结论的序号是①②
15．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数是__________．
【解析】
因为函数定义域为R，周期为3，所以
SKIPIF 1 < 0
如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知
在 SKIPIF 1 < 0 上的零点为 SKIPIF 1 < 0
所以共有9个零点
16．已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
【解析】
试题分析：由于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴函数 SKIPIF 1 < 0 为周期函数，且周期为8，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的零点的个数，
即为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的个数，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 上的函数的图象，
显然，当 SKIPIF 1 < 0 时，交点最多，符合题意，
此时，零点的和为 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在定义域上有四个不同的解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______.
【解析】
已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 在定义域上有四个不同的解
等价于 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称的函数 SKIPIF 1 < 0 与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，
联立可得 SKIPIF 1 < 0 有两个解，即 SKIPIF 1 < 0
可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
进而 SKIPIF 1 < 0 且不恒为零，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
由 SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值且为 SKIPIF 1 < 0
作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，可得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个解.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，已知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题：
①对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
②函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增；
③函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是1，最小值是0；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
其中正确命题的序号有_________.
【解析】
由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以①正确；
由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，可得 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 为单调递减函数，
又由函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以②正确；
由②可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数的周期性，可得函数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以③不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确.
故答案为：①②④.
19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和)， SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且满足 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
又因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ①；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②；
①减②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 除余 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为：0
20．给出定义：若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为整数），则 SKIPIF 1 < 0 叫做离实数 SKIPIF 1 < 0 最近的整数，记作 SKIPIF 1 < 0 .在此基础上给出下列关于函数 SKIPIF 1 < 0 的四个结论：
①函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
②函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
③函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
④函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数；
其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数图象如图所示：
由图象可知：①函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
②函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故正确；
③函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，故错误；
④其函数关于y轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，故正确.
故答案为：①②④