2023-2024学年四川省成都市新津县花源初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年四川省成都市新津县花源初级中学九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25D．y＝（x+4）2﹣25
3．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
4．如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小
C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣1
6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1
7．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°
8．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD
9．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：＝ ．
12．分解因式：m2+4m+4＝ ．
13．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝ ．
14．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
15．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ °．
16．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：＝．
18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
21．随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
22．（16分）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】利用相反数的定义判断即可．
解：﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25D．y＝（x+4）2﹣25
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
3．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法代入求解即可．
如果a与1互为相反数，则a＝﹣1，则|a+2|等于|﹣1+2|＝1
解：如果a与1互为相反数，则a＝﹣1，则|a+2|等于|﹣1+2|＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了互为相反数的意义，互为相反数的两个数的绝对值相等，符号相反；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
4．如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．4
【分析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3格（也可以说是在点B左边第3格）．
解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1．
故选：C．
【点评】本题考查相反数在数轴上与原点的位置关系，相反数是在原点两侧且等距．
5．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小
C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣1
【分析】根据倒数的定义可知．
解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误；
B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误；
C、0没有倒数，选项错误；
D、﹣1的倒数是﹣1，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质．乘积是1的两个数互为倒数，除0以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是±1．
6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知Δ＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得c＜﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
7．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
解：如图，
AP∥BC，
∴∠2＝∠1＝50°．
∠3＝∠4﹣∠2＝80°﹣50°＝30°，
此时的航行方向为北偏东30°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
8．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：＝ ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
解：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
12．分解因式：m2+4m+4＝ （m+2）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：原式＝（m+2）2．
故答案为：（m+2）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
13．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝ 2 ．
【分析】根据相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意得：1﹣8x+9x﹣3＝0，
移项合并得：x＝2，
故答案为：2
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 10 ．
【分析】根据平移的基本性质解答即可．
解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC，
又∵AB+BC+AC＝8，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
15．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ 40 °．
【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．
解：如图，连接BD，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．
16．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或画树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：＝．
【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解，最后进行检验．
解：方程两边都乘以（x+1）（2x﹣1）将分式方程化为整式方程，得
4x﹣2＝3x+3．…（1分）
移项，得4x﹣3x＝3+2，
合并同类项得，x＝5．…
检验：当x＝5时，（x+1）（2x﹣1）＝（5+1）（2×5﹣1）＝54≠0，
∴x＝5是原方程的根．…
故原分式方程的根是x＝5．
【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m＝5，还原方程，利用因式分解法求解可得．
解：（1）由题意知，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，
解得：m＜6，
又m﹣2≠0，即m≠2，
则m＜6且m≠2；
（2）由（1）知m＝5，
则方程为3x2+10x+8＝0，
即（x+2）（3x+4）＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE＝＝＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ADF∽△DEC．
20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
【分析】由BC∥DE，可得＝，构建方程即可解决问题．
解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝17（m），
经检验：AB＝17是分式方程的解，
答：河宽AB的长为17米．
【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 30 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 120 度．
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
②用360°乘以A类别人数所占比例可得；
③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%＝30（人），
故答案为：30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a＝30，
解得：a＝2，
即A类人数为10、D类人数为2，
补全图形如下：
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×＝120°，
故答案为：120；
③150×＝70（人），
答：估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为70人．
【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（16分）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可．
解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，可得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
x+20＝70，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）