2023-2024学年四川省泸州七中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州七中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程x2−6x=0的解是( )
A. x=6B. x=0
C. x1=6，x2=0D. x1=−6，x2=0
2.二次函数y=(x+3)2−2的顶点坐标是( )
A. (−3,2)B. (3,2)C. (−3,−2)D. (3,−2)
3.把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m+n的值是( )
A. 23B. 17C. 15D. 9
4.已知点A(−2,a)，B(−1,b)，C(3,c)均在抛物线y=−2(x+1)2+3上，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a5.已知一元二次方程x2−4x+m2=0有一个根为1，则另一根为( )
A. 5B. −3C. 3D. 以上都不对
6.一元二次方程x2+2x−c=0中，c>0，该方程的解的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
7.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A. −1B. x>5
C. x<−1且x>5
D. x<−1或x>5
8.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是( )
A. (x+2)2+(x−4)2=x2B. (x−2)2+(x−4)2=x2
C. x2+(x−4)2=(x−4)2D. (x−2)2+x2=(x+4)2
9.若关于x的一元二次方程2x2−2x+3m−1=0有两个实数根x1、x2，且x1x2>x1+x2−4，则实数m的取值范围是( )
A. m>−53B. m≤12C. m<−53D. −5310.如图，已知二次函数y=−23x2−43x+2的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为( )
A. (−1,43)
B. (−2,2)
C. (−1,53)
D. (−2,53)
11.函数y=x2+bx+1的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+1−t=0(t为实数)在0A. 0≤t<1B. 0≤t<4C. 0二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.抛物线y=−x2−6x+2的对称轴为直线______．
13.设α、β是方程x2−x+2023=0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为______．
14.若关于x的二次函数y=mx2+(4m−1)x+4m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．
15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0②a+c2，则y1>y2；其中正确的结论有______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解方程：x2−2x−4=0．
17.(本小题6分)
若关于x的函数y=(m+2)xm2+m−4是二次函数，其图象开口向下，求m的值．
18.(本小题6分)
某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价后，售价降为360元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是多少？
19.(本小题7分)
如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB.水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C.高度为3m.水柱落地点D离池中心A处3m.建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
(1)求水柱所在抛物线的函数解析式：
(2)求水管AB的长，
20.(本小题7分)
已知一元二次方程x2−2x+m=0
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1=−3x2，求m的值．
21.(本小题8分)
某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个．
(1)为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，则应涨价多少元？
(2)当涨价多少元时，其销售利润达到最大，最大利润是多少？
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+3k=0．
(1)求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
(2)若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
23.(本小题12分)
阅读材料：为解方程(x2−1)2−3(x2−1)=0，我们可以将(x2−1)视为一个整体，然后设x2−1=y，将原方程化为y2−3y=0①，解得y1=0，y2=3．
当y=0时，x2−1=0，∴x2=1∴x=±1．
当y=3时，x2−1=3，∴x2=4，∴x=±2．
∴原方程的解为x1=1，x2=−1，x3=2，x4=2．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：(x2+2x)2−(x2+2x)−2=0；
(2)已知一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−3，1，则方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)的两根分别是什么？请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,4)，与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为(4,0)，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使△BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：x(x−6)=0，
x=0或x−6=0，
所以x1=0，x2=6．
故选：C．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2.【答案】C
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x+3)2−2，
∴二次函数图象的顶点坐标是(−3,−2)．
故选：C．
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
3.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x2−8x=−3，
配方得：x2−8x+16=13，即(x−4)2=13，
∴m=−4，n=13，
则m+n=9．
故选：D．
方程配方得到结果，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质．
根据二次函数的性质得到抛物线y=−2(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值a、b、c的大小．
【解答】
解：∵抛物线y=−2(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，
而B(−1,b)直线x=−1上，C(3,c)点离直线x=−1最远，A(−2,a)离直线x=−1的距离较近，
∴c故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：设一元二次方程x2−4x+m2=0的另一根为n，
依题意，得：1+n=4，
解得：n=3．
故选：C．
设一元二次方程x2−4x+m2=0的另一根为n，根据两根之和等于−ba，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于−ba是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：△=22−4(−c)
=4+4c，
∵c>0，
∴4+4c>0，即△>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
先计算出判别式得到△=4+4c，再由c>0，可判断△>0，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
7.【答案】D
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴交于(5,0)，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为(−1,0)，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x<−1或x>5，
故选：D．
由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
设门对角线x尺，由题意可得门高(x−2)尺、宽(x−4)尺，根据勾股定理可得的方程．
【解答】
解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
(x−2)2+(x−4)2=x2，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4×2×(3m−1)≥0，解得m≤12，
∵x1+x2=1，x1x2=3m−12，
而x1x2>x1+x2−4，
∴3m−12>1−4，解得m>−53，
∴m的取值范围为−53故选：D．
先利用判别式的意义得到m≤12，再根据根与系数的关系，由x1x2>x1+x2−4得到3m−12>1−4，此时解得m>−53，然后写出满足条件的m的取值范围．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接AC．
在y=−23x2−43x+2中，令y=0，则−23x2−43x+2=0，
解得：x=−3或1．
则A的坐标是(−3,0)，B的坐标是(1,0)，
则对称轴是直线x=−1．
令x=0，则y=2，
则C的坐标是(0,2)．
设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．
根据题意得：−3k+b=0b=2 ，
解得：k=23b=2，
则AC的解析式是y=23x+2，
令x=−1，则y=43．
则P的坐标是(−1,43 )．
故选：A．
首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P．
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定P的位置是本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵函数的对称轴为直线x=1，
∴−b2=1，
∴b=−2，
∴y=x2−2x+1．
当x=1时，y=1−2+1=0，当x=0时，y=1，当x=3时，y=9−6+1=4，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+1−t=0(t为实数)在0∴0≤t<4，
故选：B．
先由函数的对称轴得到b的值，然后结合函数与方程间的关系求得t的取值范围．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是会用函数的观点看方程．
12.【答案】x=−3
【解析】解：∵抛物线y=−x2−6x+2=−(x+3)2+11，
∴该抛物线的对称轴是直线x=−3，
故答案为：x=−3．
将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】−2022
【解析】解：∵α，β是方程x2−x+2023=0的两个实数根，
∴x2−x+2023=0，
∴α2+αβ+β2
=(α+β)2−αβ
=12−2023
=1−2023
=−2022．
故答案为：−2022．
根据根与系数的关系可以求出α+β=1，αβ=2023，将α2+αβ+β2可化为(α+β)2−αβ，代入求值即可解答．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14.【答案】m<18且m≠0
【解析】解：∵关于x的二次函数y=mx2+(4m−1)x+4m的图象与x轴有交点，
∴(4m−1)2−4×m×4m>0，且m≠0，
解得：m<18且m≠0；
故答案为：m<18且m≠0．
二次函数图象与x轴有两个交点，则Δ=b2−4ac>0，且m≠0，列出不等式求解即可．
本题考查了抛物线与坐标轴的交点．当Δ=b2−4ac>0时图象与x轴有两个交点；当Δ=b2−4ac=0时图象与x轴有一个交点；当Δ=b2−4ac<0时图象与x轴没有交点．
15.【答案】②④⑤
【解析】解：①由图象可知a<0，c>0，对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a且b>0，
∴abc<0，
故①不正确；
②由图可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
故③不正确；
④∵b=−2a，a+c∴b>−12b+c，
∴2c<3b，
故④正确．
⑤∵M(x1,y1)N(x2,y2)是抛物线上两点(x12，
∴x1+x22>1，
∵函数对称轴是直线x=1，
∴M(x1,y1)到对称轴的距离小于N(x2,y2)到对称轴的距离，
∴y1>y2，
故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
由图象获取信息，得到a<0，c>0，b>0即可判断①；由x=−1时，y<0，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点即可判断③；b=−2a，a+c−12b+c，即可判断④；利用函数图象上点到对称轴的距离，即可判断⑤．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点．数形结合思想是解决此类问题的有效方法．
16.【答案】解：由原方程移项，得
x2−2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2−2x+1=5，
配方，得
(x−1)2=5，
∴x=1± 5，
∴x1=1+ 5，x2=1− 5．
【解析】在本题中，把常数项−4移项后，在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，即可计算得到答案．
本题考查了一元二次方程的解法--配方法．
17.【答案】解：∵函数y=(m+2)xm2+m−4是二次函数，其图象开口向下，
∴m+2<0，m2+m−4=2，
∴m2+m−6=0，m<−2，
解得m=−3，
∴m=−3．
【解析】根据二次函数的定义进行解答，自变量的指数是2次，开口向下m+2<0即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解答本题的关键．
18.【答案】解：设每次降价的百分率是x，
依题意得：640(1−x)2=360，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75(不合题意，舍去)，
答：每次降价的百分率是25%．
【解析】设每次降价的百分率是x，根据某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价后，售价降为360元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y=a(x−1)2+3，
代入(3,0)求得：a=−34，
∴y=−34(x−1)2+3(0≤x≤3)；
(2)令x=0，则y=94=2.25．
故水管AB的长为2.25m．
【解析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
(1)以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，将(3,0)代入求得a值；
(2)由题意可得，x=0时得到的y值即为水管的长．
20.【答案】解：(1)根据题意Δ=4−4m≥0，
解得m≤1；
(2)根据题意得为x1+x2=2，x1⋅x2=m，
∵x1=−3x2，
∴−3x2+x2=2，解得x2=−1，
∴x1=3，
∴m=−1×3=−3．
【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ=4−4m≥0，然后解不等式即可；
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1⋅x2=m，由于x1=−3x2，则−3x2+x2=2，可先计算出解得x2，然后计算出x1，最后得到m的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
21.【答案】解：(1)设应涨价x元，由题意得：
(40+x−30)(600−10x)=10000，
解得：x=10或x=40．
答：为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，则应涨价10元或40元．
(2)设当涨价x元时，其销售利润为y元，
∴y=(40+x−30)(600−10x)
=−10x2+500x+6000
=−10(x−25)2+12250，
∵−10<0，
∴当x=25时，y有最大值为12250．
∴当涨价25元时，其销售利润达到最大，最大利润是12250元．
【解析】(1)设应涨价x元，依题意列出一元二次方程，解方程即可得出结论；
(2)设当涨价x元时，其销售利润为y元，依题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可；
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：Δ=(k+3)2−4×3k=(k−3)2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
(2)解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则(k−3)2=0，
解得k=3，
方程为x2−6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x2−5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．
综上，△ABC的周长为7或8．
【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．
(1)求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；
(2)分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．
23.【答案】解：(1)令x2+2x=m，
则m2−m−2=0，
∴(m−2)(m+1)=0，
∴m−2=0或m+1=0，
解得m=2或m=−1，
当m=2时，x2+2x=2，即x2+2x−2=0，
解得x1=−1+ 3，x2=−1− 3，
当m=−1时，x2+2x=−1，即x2+2x+1=0，
解得x3=x4=−1，
综上，原方程的解为x1=−2，x2=1，x3=x4=−1；
(2)∵一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−3，1，
∴方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)中2x−4=−3或2x−4=1，
解得：x=12或52，
即方程a(2x+m−4)2+n=0(a≠0)的两根分别是−12和52．
【解析】(1)设x2+2x=m，用m代替方程中的x2+x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可；
(2)根据已知方程的解，得出2x−4=−3或2x−4=1，求出x的值即可．
本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过B(4,0)，且对称轴为x=1，则点A(−2,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x−4)(x+2)=a(x2−2x−8)，
则−8a=4，
解得：a=−12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
(2)存在，
如图1，作FH⊥x轴于点H，交BC于点G，设F(x,−12x2+x+4)，
∵点B与点A(−2,0)关于直线x=1对称，
∴B(4,0)，AB=4+2=6，
设直线BC的解析式为y=kx+4，则4k+4=0，
解得k=−1，
∴y=−x+4，
∴G(x,−x+4)，
∴FG=−12x2+x+4−(−x+4)=−12x2+2x，
∴S△FBC=12OH⋅FG+12BH⋅FG=12×4(−12x2+2x)=−x2+4x=−(x−2)2+4≤4，
∴当x=2时，S四边形SABFC最大=16，F(2,4)；
(3)如图2，设P(x,−x+4)，则Q(x,−12x2+x+4)，

∴PQ=|−12x2+x+4−(−x+4)|=|−12x2+2x|，
抛物线y=−12x2+x+4，当x=1时，y=92，
∴D(1,)；
直线y=−x+4，当x=1时，y=−1+4=3，
∴E(1,3)，
∴DE=92−3=32，
∵PQ/​/DE，且以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ=DE，
∴|−12x2+2x|=32，
当−12x2+2x=32时，解得x1=3，x2=1(不符合题意，舍去)，
∴P的横坐标为3；
当−12x2+2x=−32时，解得x1=2+ 7，x2=2− 7，
∴P的横坐标为：2± 7；
综上，点P的坐标为：2或2± 7．
【解析】(1)由待定系数法及即可求解；
(2)由S△FBC=12OH⋅FG+12BH⋅FG=12×4(−12x2+2x)=−x2+4x=−(x−2)2+4≤4，即可求解；
(3)当PQ/​/DE，且以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ=DE，即可求解．
此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．