山东省泰安市泰山区泰山博文中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份山东省泰安市泰山区泰山博文中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共29页。试卷主要包含了二次函数y＝﹣，厂房屋顶人字形，设A等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年山东省泰安市泰山区博文中学九年级第一学期第一次调研数学试卷（10月份）
一.选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（　　）
A．5 B．10 C．45 D．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（　　）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
5．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（　　）

A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
8．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）

A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（　　）

A．2 B． C． D．
11．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一.填空题（每题4分，共24分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围为 　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC，，则tanB的值是 　 　．

15．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数y＝ 上，点B、D在函数 上，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为 　 　．

16．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 　 　．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝　 　．

18．如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是 　 　．

三.解答题（共78）
19．计算下列各式：
（1）（1+sin45°+sin30°）（tan45°﹣cos45°+cos60°）；
（2）（2cos45°﹣sin60°）+﹣（π﹣3）0+（）﹣1．
20．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？

21．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，3），B（﹣1，n）两点，直线AB交x轴于点C，连接AO、连接BO．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求S△AOB；
（3）根据图象直接写出当x取何值时，y1＞y2？

22．嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了11.8米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出嵩岳寺塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）


23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD＝AD，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

24．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一.选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC＝（　　）
A．5 B．10 C．45 D．
【分析】根据锐角三角函数定义得出sinA＝＝，代入求出即可．
解：
∵sinA＝＝，AB＝15，
∴BC＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵反比例函数y＝﹣，
k＝﹣6＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝3，即该函数过点（﹣2，3），故选项A不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
4．抛物线y＝x2+6x+5可由抛物线y＝x2平移得到，平移方法是（　　）
A．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移1个单位
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），由此确定平移规律．
解：∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣4），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（　　）

A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米
【分析】先由已知得到直角△ABD、BD与BC的关系，再由直角三角形的边角间关系求出BD得结论．
解：由题意，得AB＝AC，
∵D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC．
在Rt△ABD中，tanB＝，
∴BD＝＝．
∴BC＝2BD＝（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”连接正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C与对称轴距离的大小关系求解．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣1＜2﹣1＜1﹣（﹣2），
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7．正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
解：根据题意得：Vt＝105，
∴V＝，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
8．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）

A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【分析】由矩形的性质求出△CDO的面积，由平行线分线段成比例可求，可求△DEO的面积，由反比例函数的性质可求解．
解：方法一、如图，连接CD，过点D作DE⊥CO于E，

∵矩形OABC的面积为36，
∴S△BCO＝18，
∵OD：OB＝2：3，
∴S△CDO＝＝12，
∵DE⊥CO，BC⊥CO，
∴DE∥BC，
∴，
∴S△DEO＝＝8，
∵双曲线y＝图象过点D，
∴＝8，
又∵双曲线y＝图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣16，
方法二、∵矩形OABC的面积为36，
∴S△BCO＝18，
∵DE∥BC，
∴＝（）2＝，
∴S△DEO＝18×＝8，
∵双曲线y＝图象过点D，
∴＝8，
又∵双曲线y＝图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣16，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，求出△DEO的面积是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y'轴交于负半轴，则B选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，二次函数y＝x2+kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴左侧，并与y'轴交于正半轴，则A、C选项都不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
10．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
解：如图，tan∠AOB＝＝2．
故选A．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
11．如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G，由S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF求解．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G．

把x＝a代入y＝得y＝，
把x＝3a代入y＝得y＝，
∴AD＝3BE，
∴点B是AC的三等分点，
∴DE＝a﹣3a＝﹣2a，CE＝﹣a，
∵k＜0，
∴S△AOF＝＝﹣，
∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（AF+OE+CE）•OF+＝×（﹣5a）×（）+＝12，
∴k＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质，通过添加辅助线求解
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴即可判断①；由二次函数的性质即可判断②④，由x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即可判断③．
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随着x的增大而增大，所以②错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
一.填空题（每题4分，共24分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围为 　x≥﹣1且x≠3　．
【分析】根据（a≥0）以及分母不能为0，进行计算即可．
解：由题意得：
x+1≥0且x﹣3≠0，
∴x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握（a≥0）以及分母不能为0是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC，，则tanB的值是 　　．

【分析】先在Rt△ACD中利用直角三角形的边角间关系、勾股定理，用含AD的代数式表示出AC，再在Rt△ABC中利用直角三角形的边角间关系得结论．
解：在Rt△ADC中，
∵＝，
∴CD＝AD．
∴AC＝
＝
＝AD．
在Rt△ABC中，
tanB＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
15．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数y＝ 上，点B、D在函数 上，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为 　21　．

【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，DH⊥x轴于H，根据平行四边形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可求得．
解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，DH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴S平行四边形ABCD＝AB•（AE+DH）＝AB•AE+AB•DH＝（AG+BG）•AE+CD•DH＝AG•AE+OF•BF+CD•DH＝5+8+8＝21．
故答案为：21．

【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
16．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 　k＜1且k≠0　．
【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝22﹣4×k×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4×k×1＞0，
所以k＜1且k≠0．
故答案为：k＜1且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF的值＝　　．

【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝BC﹣BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝4，
设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，
即EF＝5，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
18．如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2023个正方形的边长是 　2023　．

【分析】由题意可知，直线OA1是第一象限的角平分线，故解析式为y＝x，联立方程求得A1的坐标，进而求得第一个正方形边长和B1的坐标，即可得直线B1A2的解析式为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B2的坐标，即可得到直线B2A3的解析式为y＝x+6，联立方程求得A3的坐标，即可求得第三个正方形的边长……，以此类推得出规律，即可得到第2023个正方形的边长是2023．
解：根据题意，∠B1OA1＝45°，即直线OA1是第一象限的角平分线，则解析式为y＝x，
联立，
解得或，
故A1（1，1），
∴，OB1＝2，即第1个正方形边长为，
∵∠B2B1A2＝45°＝∠B1OA1，
∴直线B1A2的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B1（0，2），
∴直线B1A2的解析式为y＝x+2，
联立，
解得或，
故A2（2，4），
∴，OB2＝6，即第2个正方形边长为，
∵∠B3B2A3＝45°＝∠B2B1A2，
∴直线B2A3的解析式中的x系数与直线OA1的解析式中x系数相等，且经过B2（0，6），
∴直线B2A3的解析式为y＝x+6，
联立，
解得或，
故A3（3，9），
∴，OB3＝12，即第3个正方形边长为，
…
按此规律类推，第n个正方形的边长为，
∴第2023个正方形的边长是2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用方程组求得交点坐标，求得抛物线上点的坐标是解题的关键．
三.解答题（共78）
19．计算下列各式：
（1）（1+sin45°+sin30°）（tan45°﹣cos45°+cos60°）；
（2）（2cos45°﹣sin60°）+﹣（π﹣3）0+（）﹣1．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解：（1）原式＝（1++）（1﹣+）
＝（+）（﹣）
＝﹣
＝；
（2）原式＝（2×﹣）+﹣1+2
＝3﹣+
＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？

【分析】（1）根据BC＝（栅栏总长﹣2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据配方法法求出二次函数最值即可；
解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∵，
∴，
∴，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；

（2）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式．
21．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，3），B（﹣1，n）两点，直线AB交x轴于点C，连接AO、连接BO．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求S△AOB；
（3）根据图象直接写出当x取何值时，y1＞y2？

【分析】（1）把A（2，3）代入反比例函数y2＝的即可求出a＝6，把B（﹣1，n）代入y＝可求出n，从而确定B点坐标为（﹣1，﹣6），然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）观察函数图象得到当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
解：（1）把A（2，3）代入反比例函数y2＝得，a＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（﹣1，n）代入得，﹣1×n＝6，解得n＝﹣6，
∴B点坐标为（﹣1，﹣6），
把A（2，3），B（﹣1，﹣6）代入一次函数y＝kx+b得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣3；
（2）对于y＝3x﹣3，令y＝0，则3x﹣3＝0，解得x＝1，
∴C点坐标为（1，0），
∴S△AOB＝×1×3+×1×6＝；
（3）﹣1＜x＜0或x＞2时y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
22．嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了11.8米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出嵩岳寺塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）


【分析】证△AGE是等腰直角三角形，得AG＝EG，设AG＝EG＝x米，则DG＝（x+11.8）米，再由锐角三角函数定义得≈，解得x≈35.4，即可解决问题．
解：由题意得：∠DCB＝∠FEB＝∠GBE＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，
则四边形DCFE、四边形FEGB、四边形DCBG均为矩形，
∴BG＝EF＝CD＝1.6米，CF＝DE＝11.8米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，
∴AG＝EG，
设AG＝EG＝x米，则DG＝（x+11.8）米，
在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝tan37°≈，
即≈，
解得：x≈35.4，
经检验，x≈35.4是原方程的解，且符合题意，
∴AG≈35.4米，
∴AB＝AG+BG≈35.4+1.6＝37（米），
答：嵩岳寺塔AB的高度约为37米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD＝AD，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

【分析】（1）先根据勾股定理求出OD＝3，AD＝4，得出点A（3，4），进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；
（2）设出点P坐标，进而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．
解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AO＝5，OD＝AD，
∴AD＝4，OD＝3，
∴A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴y＝
又点B在反比例函数上，
∴n＝＝﹣2，
∴B（﹣6，﹣2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2）在直线AB上，
∴，
∴，
∴AB直线的表达式为y＝x+2；

（2）设点P（0，m），
∵A（3，4），O（0，0），
∴OA＝5，OP＝|m|，AP＝，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OA＝OP时，
∴|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当OA＝AP时，
∴5＝，
∴m＝0（舍）或m＝8，
∴P（0，8），
③OP＝AP时，
∴|m|＝，
∴m＝，
∴P（0，），
即：当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，由锐角三角函数定义得BD＝3（海里），AD＝（海里），则CD＝（10x+3）海里然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，
由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝6海里，BC＝10x海里，AC＝14x海里．
过点A作AD⊥CB交其延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB＝6海里，∠ABD＝180°﹣∠ABC＝60°．
∴BD＝ABcos60°＝3（海里），AD＝ABsin60°＝（海里），
∴CD＝（10x+3）海里，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：（14x）2＝（10x+3）2+（）2，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去），
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直线y＝﹣x+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，可得解析式．
（2）求出点A的横坐标，由相似三角形的判定得：△AOC∽△ACB．
（3）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，即可求解．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，

理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
当x＝时，y＝﹣x+2＝﹣+2＝，
即点P（，）．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定是解本题的关键．