2024连云港部分学校高三上学期第二次学情检测（10月）数学含答案

2024届高三第二次学情检测

    数学试题  

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数，则（   ）

A.                 B.                 C.                D.

2．已知全集,集合，则（   ）

A.                  B.

C.                 D.

3．若为偶函数，则（   ）

A.                 B. 0                  C.                D.

4．向量，且，则（   ）

A.                 B.                 C.                 D.

5.  “”是“”的（   ）

A.充分不必要条件                B.必要不充分条件       

C.充要条件                      D.既不充分也不必要条件

6.  记为等比数列的前项和，若，，则=（   ）

A.120                  B.85                  C.              D.

7.  已知，则（   ）

A.                   B.                 C.               D.

8.  已知定义在上的函数满足，且，，，.若，恒成立，则的取值范围为（    ）

A.               B.             C.           D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，则（    ）

A．            B．

C．                        D．

10. 已知函数的一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为，将的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A.         

B. 在区间上单调递增

C. 为奇函数                

D. 若在区间上的值域为，则

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交AC于点且，则下列结论正确的是（    ）

A．                      B．的最小值是2

C．的最小值是          D．的面积最小值是

12．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ）

A．         B．

C．                 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，则        ．

14．已知向量，，且，则        ．

15．在锐角三角形ABC中，AB=2,且，则AB边上的中线长为        ．

16． 已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

(1) 求的公比；

(2) 若，求数列的前项和．

18．（12分）

如图，直三棱柱中，，平面平面．

(1) 求证：；

(2) 求二面角的正弦值．

19．（12分）

已知函数的最大值为1.

(1) 求常数m的值；

(2) 若，，求的值．

20．（12分）

已知数列的前项积为，且．

(1) 求证：数列是等差数列；

(2) 证明：．

21．（12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1) 若，求的值；

(2) 若是锐角三角形，求的取值范围.

22．（12分）

已知函数．

(1) 求证：；

(2) 若函数在上存在最大值，求的取值范围．

参考答案

1．A     2．C      3．D      4．A    5．A    6．C  7．C    8．B

9．BD     10．BD     11. ABD    12．BC

13.  1     14.       15.      16.  y＝x或  x－ey＋1＝0

8. 解：由，得，故的图象关于点对称．

因为，，，．所以在上单调递增，

又由题意可得（1），故在上单调递增，

因为，所以，

所以，即，．

令，，则．

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以（2），所以．

故选：．

16.解：设直线与曲线和的切点分别为，，，

由于和的导数分别为和，

所以有，

整理得，解得或1，

当时，直线与曲线的切点为，直线斜率为，直线方程为，

当时，直线与曲线的切点为，直线斜率为1，直线方程为．

故答案为：，．

17. （1）设的公比为，为的等差中项，

，；

（2）设前项和为，，

，①

，②

①②得，

，.

18. 解：（1）证明：过点作于点，

平面平面，平面平面，平面，

平面，，

直三棱柱中，平面，平面，

，

，平面，

平面，；

（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

，，

，2，，，0，，，0，，，2，，

则，0，，，，，，2，，，0，，

设平面的法向量为，，，则，取，得，1，，

设平面的法向量为，，，则，取，得，3，，

，

二面角的正弦值为．

19. 解：（1），

则当时，函数取得最大值，

得．

（2），，

若，，

则，得，得，

设，则，则，

，，即，则，

则，

，

则

20. 【证明】（1）依题意，，

所以，当时，，整理得，，

所以，当时，为定值，

所以数列是等差数列．                       ……………………5分

（2）因为，令，得，，故，

结合（1）可知，是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，得．

所以，当时，，

显然符合上式，

所以．

所以，

故

．

因为，，

所以．…………12分

又，故，即，

又，故，得．                     ……………………5分

（2）在△ABC中，据余弦定理可得，

又，故，即，

又，故．

据正弦定理，可得，

所以，

即，

所以，，

因为A，B，，所以，或，

即或(舍)．

所以．

因为△ABC是锐角三角形，所以得，

所以，故，，

所以的取值范围是．  ……………………12分

22. （1）证明：，，

，

令，，，

，

可得时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．

时，函数取得极大值即最大值，（1），

（1），即．

（2）解：函数，，．

，

①时，，因此函数在上单调递增，无最大值．

时，令，，．

，

②时，，函数在上单调递减，，

因此函数在上单调递减，，无最大值．

③时，可得时，函数取得极大值即最大值，，

时，，

因此存在，使得，

函数在上单调递增，在，上单调递减．

函数在上存在最大值，

因此．