2024年高考数学第一轮复习专题训练81练第七章　§7.5　空间直线、平面的垂直

1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为(　　)

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

2.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)

A．BP⊥AC   B．PD⊥平面ABCD

C．AC⊥PD   D．平面PBD⊥平面ABCD

3. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

5．(多选)(2022·齐齐哈尔模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题错误的是(　　)

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

6．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则下列说法正确的是(　　)

A．AB＝AD

B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°

C．AC＝CB1

D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

7. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．

8．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．

9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．

(1)求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB；

(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

10．(2023·广州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．

11. 如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为(　　)

12．(多选)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是(　　)

A．该多面体是四棱锥

B．平面BAD⊥平面BCD

C．平面BAC⊥平面ACD

D．该多面体外接球的表面积为πa2

13．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是(　　)

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4，沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，则二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为________．

15．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．

在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是________.