2024年数学高考大一轮复习第五章 §5.3　平面向量的数量积（附答单独案解析）

§5.3　平面向量的数量积

考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．

知识梳理

1．向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则____＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

2．平面向量的数量积

3.向量数量积的运算律

(1)a·b＝____________.

(2)(λa)·b＝____________＝____________.

(3)(a＋b)·c＝________________.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

常用结论

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.

(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)

(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　　)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)

(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)

教材改编题

1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a 与b 的夹角为30°，那么a·b等于(　　)

A．1  B.  C．3  D．3

2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于______；a与b夹角的余弦值等于________．

题型一　平面向量数量积的基本运算

例1 (1)在边长为1的等边△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则·等于(　　)

A.   B. 

C.   D.＋

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(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝

________.

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思维升华 计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)利用基底法求数量积．

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．

跟踪训练1 (1)(2023·亳州模拟)如图，在平面四边形ACDE中，点B在边AC上，△ABE是等腰直角三角形，四边形BCDE是边长为1的正方形，则·＝________.

(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　向量的模

例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)

A．1＋2   B.

C.   D．3

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命题点2　向量的夹角

例3 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

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命题点3　向量的垂直

例4 (2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.

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思维升华 (1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；

②几何法：利用向量的几何意义．

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos θ＝；

②坐标法．

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

跟踪训练2 (1)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝，则下列说法不正确的是(　　)

A．m·n＝－1

B．m与n的夹角为

C．|m－n|＝

D．(m＋n)⊥(m－n)

(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)

A．－6  B．－5  C．5  D．6

题型三　平面向量的实际应用

例5 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)

A．|G|＝|F1|＋|F2|

B．当θ＝时，|F1|＝|G|

C．当θ角越大时，用力越省

D．当|F1|＝|G|时，θ＝

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思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤

跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－