2024年数学高考大一轮复习第一章 §1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（附答单独案解析）

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考试要求　1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．

3．全称命题和特称命题

常用结论

1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．

2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．

3．命题p与p的否定的真假性相反．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题“3≥2”是真命题．(　　)

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)

(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．(　　)

(4)命题“∃x0∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　)

教材改编题

1．(2022·中卫模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有x2－x＋1≥0；q：若a2<b2，则a<b.则下列命题为真命题的是(　　)

A．(綈p)∧q   B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧(綈q)   D．p∧q

2．写出命题“∀x∈R，x2－2x＋3>0”的否定________________．

3．若命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．

题型一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断

例1 (1)(2022·成都检测)已知命题p：在△ABC中，若cos A>cos B，则A<B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.在下列四个命题中，是真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q   D．p∧(綈q)

(2)(2022·绵阳模拟)2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月18日在卡塔尔举行．某体育台预测比赛结果，若比赛前三名只在甲、乙、丙三支球队中产生，记p：甲获得冠军，q：乙获得亚军，r：丙获得季军．比赛结束后，“q∧(綈r)”为真，则比赛的最终结果为(　　)

A．甲是冠军，乙是亚军，丙是季军

B．乙是冠军，甲是亚军，丙是季军

C．丙是冠军，乙是亚军，甲是季军

D．甲是冠军，丙是亚军，乙是季军

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题的构成形式．

(2)判断命题p，q的真假．

(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

跟踪训练1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)

A．(綈p)∨(綈q)   B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧(綈q)   D．p∨q

(2)设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝x2＋sin x为奇函数．则下列命题中的真命题是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∨q

C．(綈p)∧(綈q)   D．p∧(綈q)

题型二　含一个量词的命题

命题点1　含一个量词命题的否定

例2 (1)(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)

A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解

B．∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解

C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解

D．∃a0∈R，x2－a0x＋1≠0有实数解

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

命题点2　全称命题、特称命题的真假

例3 (1)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)

A．∃x0∈R，≤0

B．∀x∈R，n∈N*且n>1，＝x

C．∀x∈R，ln(x－1)2≥0

D．∃x0∈R，ln x0≥x0－1

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)

①∃a0∈R，使函数y＝2x＋a0·2－x在R上为偶函数；

②∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数；

③∀x∈R，x4<x5；

④∃x0∈R，x－2x0＋1≤0.

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

思维升华 含量词命题的解题策略

判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x0，使p(x0)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．

跟踪训练2 (1)(2022·襄阳模拟)命题“∃x0>0，＋x－2<0”的否定为(　　)

A．∃x0>0，＋x－2≥0

B．∃x0≤0，＋x－2≥0

C．∀x>0，ex＋x2－2≥0

D．∀x≤0，ex＋x2－2≥0

(2)下列命题是假命题的是(　　)

A．∀x∈R，－x2－1<0

B．∃m0∈Z，m0x＝m0恒成立

C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D．存在实数x0，使得＝

题型三　根据命题的真假求参数的范围

例4 (1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是________________．

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

(2)若命题“∃x0∈R，x－x0＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

听课记录：___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

思维升华 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．

跟踪训练3 (1)若命题“∃x0∈，sin x0<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

(2)命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋3x0＋2－a＝0”，若p∧q是假命题，则实数a的取值范围是______________________．