2024年数学高考大一轮复习第五章 培优课 §5.4　平面向量的综合应用（附答单独案解析）

§5.4　平面向量的综合应用

题型一　平面向量在几何中的应用

例1 (1)(2023·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　)

A．49  B．7  C.  D.

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(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为____________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．

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思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

跟踪训练1 (1)(2022·商丘模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰直角三角形   B．直角三角形

C．等腰三角形   D．等边三角形

(2)在平面四边形ABCD中，＝(－2,3)，＝(6,4)，则该四边形的面积为(　　)

A．3   B．4 

C．13   D．26

题型二　和向量有关的最值(范围)问题

命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题

例2 如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)

A．3  B．3  C．1  D.

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命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题

例3　(2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是(　　)

A．－  B．－1  C．－2  D．－4

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命题点3　与模有关的最值(范围)问题

例4 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．

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思维升华 向量求最值(范围)的常用方法

(1)利用三角函数求最值(范围)．

(2)利用基本不等式求最值(范围)．

(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．

(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．

跟踪训练2 (1)在△ABC中，||＝2，||＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.  B.  C．2  D.

(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)

A．[－1，＋1]   B．[－1，]

C．[，＋1]   D．[2－，2＋]

(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)

A．[－5,3]   B．[－3,5]

C．[－6,4]   D．[－4,6]