2024年高考数学重难点突破专题十一 概率与统计第三十四讲 古典概型与几何概型答案170

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答案部分
1.解析 在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，
该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，
则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．
2. 解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
基本事件总数，
选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
3.解析 由题意可得，一共比赛了5场，且第5场甲获胜，前4场甲队胜3场，输1场，有2种情况：
①甲队主场输1场，其概率为：，
②甲队客场输1场，其概率为：
由于第5场必定是甲队胜，所以
则甲队以4：1获胜的概率为0.18．
4.解析（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，
或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
2010-2018年
1．A【解析】通解 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，所以，由几何概型的知识知，故选A．
优解 不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积．
根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，
，，故选A．
2．C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．
3．B【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．选B．
4．C【解析】不放回的抽取2次有，如图
可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为．
5．B【解析】由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为．
6．C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中
由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．
7．B 【解析】 基本事件总数为，恰有个白球与1个红球的基本事件为，所求概率为．
8．D【解析】．
9．B【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有种，点数之和为5的有4中，所以所求概率为．
10．B【解析】区间长度为，的长度为，
故满足条件的概率为．
11．B【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率
12．B【解析】5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求概率．
13．D【解析】由题意作图，如图所示，的面
积为，图中阴影部分的面积
为，则所求的概率
，选D．
14．A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，选A.
15．D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率
16．B【解析】任取两个不同的数有共6种，2个数之差的绝对值为2的有，故
17．D【解析】由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，
由勾股定理可得，解得，即，故选D．
18．C【解析】如图所示，令，
则，矩形面积设为，则，
解得，该矩形面积小于32的概率为，故选C.
19．D【解析】不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内的点的坐标为，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为．
20．A【解析】记三个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”共3个，因此．
21．【解析】记2名男生分别为，，3名女生分别为，，，则从中任选2名学生有，，，，，，，，，，共10种情况，其中恰好选中2名女生有，，，共3种情况，故所求概率为．
22．【解析】从5个砝码随机取3个共有种，总质量为9克共有9=5+3+1，9=5+2+2两种情况，所以三个砝码的总质量为9克的概率是．
23．【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为
．
24．．【解析】圆的圆心为，半径，故由直线与圆相交可得，即，整理得，得．
25．【解析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为．
26．【解析】设2本数学书分别为A、B，语文书为G，则所有的排放顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率．
27．【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第分钟，第分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为．小张比小王至少早5分钟到校表示的事件，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为．
28．【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．故所求概率为．
29．【解析】设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为，甲、乙两人各抽取一张的所有情况有共六种，其中两人都中奖的情况有共2种，所以概率为
30．【解析】设，
则。由，解得，
即当时，．由几何概型公式得所求概率为．
31．【解析】本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．
32．【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为．
33．3【解析】由几何概型，得，解得．
34．【解析】由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以．
35．【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为．
36．【解析】（1）5 根据点到直线的距离公式得．
（2） 设直线到圆心的距离为3，则，取，则直线 把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率，由于圆的半径是，则可得直线截得的劣弧所对的圆心角为，故所求的概率是．
37．【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件为{1,2}，{2,4}共2个，所以概率为．
38．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
39．【解析】（1）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件．
．
（2）的可能取值为．
．
．
．
故的分布列为
．
40．【解析】(I)因为样本容量与总体中的个数的比是，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
，，，
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
（II）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为,
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
，,
,
,共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有：共4个.
所有，即这2件商品来自相同地区的概率为.
41．【解析】（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.
（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为
{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种. 因此，
事件发生的概率
42．【解析】（I）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以 =
（II）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以=.
43．【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点．
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”．所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率．
（Ⅱ）三角形共有15个格点。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)．
如下表所示：
．
44．【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；
当日需求量时，利润，
∴关于的解析式为；
（Ⅱ）(i) 这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
=76.4；
(ii) 利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
45．【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.
46．【解析】（Ⅰ）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，=1,2．用频率估计相应的概率可得
=0.1+0.2+0.3=0.6，=0.1+0.4=0.5，
＞，甲应选择．
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，=0.1+0.4+0.4=0.9，
＞，乙应选择．
（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，
的分布列为
47．【解析】（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为
（II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
概率P
0
1
2
0.04
0.42
0.54