2024年数学高考大一轮复习第七章 §7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（附答单独案解析）

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

知识梳理　

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.线性规划中的基本概念

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　　)

(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)

(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　　)

(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)

教材改编题

1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)

A.   B.

C.   D.

2．不等式组表示的平面区域(阴影部分)是(　　)

3．已知实数x，y满足则z＝x＋2y的最大值是(　　)

A．－1  B．5  C．8  D．7

题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域

例1 (1)(2022·成都模拟)在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)

A.  B．3  C．1  D．2

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(2)(2023·西安模拟)已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．

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思维升华　平面区域的形状问题主要有两种题型

(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．

(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．

跟踪训练1 (1)设x，y∈R，则“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2022·西安模拟)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两个部分，则实数k的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值

例2　(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值是(　　)

A．－2  B．4  C．8  D．12

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命题点2　求非线性目标函数的最值

例3 (1)若实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是(　　)

A．[－3，1) 

B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)

C．[－3，3] 

D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

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(2)若变量x，y满足约束条件则(x－1)2＋y2的最小值为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

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命题点3　求参数值或取值范围

例4 若实数x，y满足且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

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思维升华 常见的三类目标函数

(1)截距型：形如z＝ax＋by.

(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.

(3)斜率型：形如z＝.

跟踪训练2　(1)(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　)

A．18   B．10

C．6   D．4

(2)(2022·西宁模拟)如果点P(x，y)在平面区域上，则x2＋y2＋2y的最小值是(　　)

A.   B.

C．1   D．2

(3)(2023·呼和浩特模拟)已知x，y满足若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a的值为________．

题型三　实际生活中的线性规划问题

例5 (2022·银川模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如表：

快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的工资最多为(　　)

A．150元   B．170元

C．180元   D．200元

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思维升华 解线性规划应用题的步骤

(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；

(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；

(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．

跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天的费用为320元，乙型车每天的费用为504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为(　　)

A．2 400元   B．2 560元

C．2 816元   D．4 576元