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2024年数学高考大一轮复习第五章 平面向量与复数
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这是一份2024年数学高考大一轮复习第五章 平面向量与复数，文件包含第3节平面向量的数量积及平面向量的应用doc、第1节平面向量的概念及线性运算doc、第2节平面向量基本定理及坐标表示doc、第4节复数doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案 A
解析 由题意得＝且＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案 D
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案 2
解析 易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
5.(易错题)已知A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量共线的单位向量是________.
答案 ±
解析 ∵＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴||＝5.故与向量共线的单位向量坐标为±.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案
解析 法一(定义法) 因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(结论法) 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝.
考点一 平面向量的坐标运算
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则＝( )
A.(0，1) B.(1，0)
C. D.
答案 A
解析 ∵＝，∴与x轴的夹角为30°，
依题意，向量与x轴的夹角为90°，
则点B在y轴正半轴上，且||＝||＝1，
∴点B(0，1)，则＝(0，1).
2.如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.
答案 －2e1＋e2
解析 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
令a＝xe1＋ye2，
即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，
则所以即a＝－2e1＋e2.
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝
2||，则向量的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C是线段AB上一点，且||＝2||，
得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7).
感悟提升 1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.
考点二 平面向量基本定理及其应用
例1 如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
解 (1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，
即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ(0<λ<1)，
则＝－＝λa－(2a－b)
＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
训练1 (2022·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A.1 B.6
C. D.
答案 C
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
又＝－2，
所以＝－＝－，
连接AF，在△AEF中，
所以＝＋＝－＋＋
＝－－＋＋
＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
例2 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案 (3，3)
解析 法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，
即x＝y.①
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，
且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
即3x＋y－12＝0，②
联立①②解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
角度2 利用向量共线求参数
例3 (1)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C. D.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b 与b共线，则x的值为________.
答案 (1)A (2)－2
解析 (1)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2).因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
(2)∵a＝(2，1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x，2).
又∵a－b与b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 (1)设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
(2)(2021·太原联考)已知向量e1＝(1，1)，e2＝(0，1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________.
答案 (1)A (2)－
解析 (1)易知，∥，其中＝－＝(2m－1，1)，
＝－＝(－2n－1，2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，
得2m＋1＋2n＝1.
又2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3(当且仅当m＝－2，n＝－1时取等号).
(2)由题意知a＝e1＋λe2＝(1，1＋λ)，
b＝－(2e1－3e2)＝(－2，1).
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( )
A.(2，2) B.(－2，－2)
C.(1，1) D.(－1，－1)
答案 D
解析 因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
答案 B
解析 对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.
3.(2022·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝( )
A.－ B. C. D.－
答案 C
解析 由题意得＝tan α·cos α＝sin α.
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
4.(2021·郑州质检)已知向量＝(1，4)，＝(m，－1)，若∥，则实数m的值为( )
A. B.－4 C.4 D.－
答案 D
解析 ∵向量＝(1，4)，＝(m，－1)，
∴＝＋＝(1＋m，3).
又∥，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
5.如图， 在△ABC中，＝2，P是线段BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，P是BN上一点，
设＝λ，0≤λ≤1，
则＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
又＝2，所以＝，
所以＝(1－λ)＋λ
＝t＋，
所以解得t＝.
6.(2021·贵阳诊断)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若＝x＋y，x，y∈R，则2x＋3y＝( )
A.2 B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，过O作三角形三边的垂线，垂足分别为D，E，F，且D，E，F为所在边的中点，过O分别作AB，AC的平行线NO，MO.
由题意知cos 60°＝＝，解得BC＝，
则△ABC的外接圆半径r＝＝.
因为OD⊥AB，
所以OD＝＝＝.
又因为∠DMO＝60°，
所以DM＝，MO＝，
则AM＝，AN＝MO＝.
由题意可知＝x＋y＝＋，
所以x＝＝，y＝＝，
所以2x＋3y＝.
7.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________.
答案 (2，4)
解析 因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，
所以＝2，
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以解得故点D的坐标为(2，4).
8.(2022·河北联盟模拟)已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，＝－4＋λ，则λ＝________.
答案 1
解析 因为点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，＝－4＋λ，
所以C(λ－4，λ).
因为∠AOC＝150°，所以∠COx＝150°，
所以tan 150°＝＝－，解得λ＝1.
9.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝______.
答案
解析 设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，
＝(x－1，y－2)，
则由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故||＝＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m).
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，∴m＝.
11.已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.
(1)求E，F的坐标；
(2)求证：∥.
(1)解 设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，
所以＝＝，
＝＝.
因为＝(x1，y1)－(－1，0)＝，
即(x1，y1)＝＋(－1，0)＝，
＝(x2，y2)－(3，－1)＝，
即(x2，y2)＝＋(3，－1)＝，
所以E的坐标为，F的坐标为.
(2)证明 由(1)得＝，＝(4，－1)，
因为4×－(－1)×＝0，
所以∥.
12.(2021·昆明模拟)如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，其中B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若＝m＋n，则＝( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 连接OD(图略)，根据题意，可得＝＋①，
且＝＋，即＝－＋②，
①－②×，得＝＋，
即＝2＋3，与＝m＋n对应，可得m＝2，n＝3，所以＝.
13.赵爽是我国古代数学家.大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设＝λ＋μ，若DF＝2AF，则λ＋μ＝________.
答案
解析 由题意可知，＝＝＝，则＝2，＝2，＝3.
由＝2，得－＝2(－)，
即＝＋.
同理由＝2，得＝＋.
又＝，
所以＝＋×＝＋，
则＝＋＝＋
＝＋＋，
所以＝＋，即λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
14.已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足||≤1，且＝x＋y，求2x＋y的最大值.
解 如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，设P(m，n)，
因为＝x＋y，所以(m，n)＝(2x，0)＋(0，2y)，即(m，n)＝(2x，2y)，得m＝2x，n＝2y.
因为＝(2－m，－n)且||≤1，
所以≤1，
整理得≤1，
即(x－1)2＋y2≤.
设z＝2x＋y，当直线z＝2x＋y与圆(x－1)2＋y2＝相切时，z取得最值，
即＝，
所以z＝2±，于是zmax＝2＋，
即2x＋y的最大值为2＋.
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案 A
解析 由题意得＝且＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案 D
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案 2
解析 易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
5.(易错题)已知A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量共线的单位向量是________.
答案 ±
解析 ∵＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴||＝5.故与向量共线的单位向量坐标为±.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案
解析 法一(定义法) 因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(结论法) 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝.
考点一 平面向量的坐标运算
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则＝( )
A.(0，1) B.(1，0)
C. D.
答案 A
解析 ∵＝，∴与x轴的夹角为30°，
依题意，向量与x轴的夹角为90°，
则点B在y轴正半轴上，且||＝||＝1，
∴点B(0，1)，则＝(0，1).
2.如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________.
答案 －2e1＋e2
解析 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
令a＝xe1＋ye2，
即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，
则所以即a＝－2e1＋e2.
3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝
2||，则向量的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C是线段AB上一点，且||＝2||，
得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7).
感悟提升 1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.
考点二 平面向量基本定理及其应用
例1 如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
解 (1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，
即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ(0<λ<1)，
则＝－＝λa－(2a－b)
＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
感悟提升 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
训练1 (2022·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A.1 B.6
C. D.
答案 C
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
又＝－2，
所以＝－＝－，
连接AF，在△AEF中，
所以＝＋＝－＋＋
＝－－＋＋
＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
例2 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案 (3，3)
解析 法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4，4λ).
又＝－＝(－2，6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，
即x＝y.①
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，
且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
即3x＋y－12＝0，②
联立①②解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3).
角度2 利用向量共线求参数
例3 (1)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C. D.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－1)，且a－b 与b共线，则x的值为________.
答案 (1)A (2)－2
解析 (1)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2).因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
(2)∵a＝(2，1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x，2).
又∵a－b与b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，∴x＝－2.
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 (1)设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
(2)(2021·太原联考)已知向量e1＝(1，1)，e2＝(0，1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________.
答案 (1)A (2)－
解析 (1)易知，∥，其中＝－＝(2m－1，1)，
＝－＝(－2n－1，2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，
得2m＋1＋2n＝1.
又2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3(当且仅当m＝－2，n＝－1时取等号).
(2)由题意知a＝e1＋λe2＝(1，1＋λ)，
b＝－(2e1－3e2)＝(－2，1).
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( )
A.(2，2) B.(－2，－2)
C.(1，1) D.(－1，－1)
答案 D
解析 因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
答案 B
解析 对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.
3.(2022·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝( )
A.－ B. C. D.－
答案 C
解析 由题意得＝tan α·cos α＝sin α.
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
4.(2021·郑州质检)已知向量＝(1，4)，＝(m，－1)，若∥，则实数m的值为( )
A. B.－4 C.4 D.－
答案 D
解析 ∵向量＝(1，4)，＝(m，－1)，
∴＝＋＝(1＋m，3).
又∥，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
5.如图， 在△ABC中，＝2，P是线段BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，P是BN上一点，
设＝λ，0≤λ≤1，
则＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
又＝2，所以＝，
所以＝(1－λ)＋λ
＝t＋，
所以解得t＝.
6.(2021·贵阳诊断)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，O为△ABC的外心.若＝x＋y，x，y∈R，则2x＋3y＝( )
A.2 B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，过O作三角形三边的垂线，垂足分别为D，E，F，且D，E，F为所在边的中点，过O分别作AB，AC的平行线NO，MO.
由题意知cos 60°＝＝，解得BC＝，
则△ABC的外接圆半径r＝＝.
因为OD⊥AB，
所以OD＝＝＝.
又因为∠DMO＝60°，
所以DM＝，MO＝，
则AM＝，AN＝MO＝.
由题意可知＝x＋y＝＋，
所以x＝＝，y＝＝，
所以2x＋3y＝.
7.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________.
答案 (2，4)
解析 因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，
所以＝2，
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以解得故点D的坐标为(2，4).
8.(2022·河北联盟模拟)已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，＝－4＋λ，则λ＝________.
答案 1
解析 因为点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，＝－4＋λ，
所以C(λ－4，λ).
因为∠AOC＝150°，所以∠COx＝150°，
所以tan 150°＝＝－，解得λ＝1.
9.已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝______.
答案
解析 设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，
＝(x－1，y－2)，
则由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故||＝＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 ＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m).
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，∴m＝.
11.已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.
(1)求E，F的坐标；
(2)求证：∥.
(1)解 设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，
所以＝＝，
＝＝.
因为＝(x1，y1)－(－1，0)＝，
即(x1，y1)＝＋(－1，0)＝，
＝(x2，y2)－(3，－1)＝，
即(x2，y2)＝＋(3，－1)＝，
所以E的坐标为，F的坐标为.
(2)证明 由(1)得＝，＝(4，－1)，
因为4×－(－1)×＝0，
所以∥.
12.(2021·昆明模拟)如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，其中B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若＝m＋n，则＝( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 连接OD(图略)，根据题意，可得＝＋①，
且＝＋，即＝－＋②，
①－②×，得＝＋，
即＝2＋3，与＝m＋n对应，可得m＝2，n＝3，所以＝.
13.赵爽是我国古代数学家.大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设＝λ＋μ，若DF＝2AF，则λ＋μ＝________.
答案
解析 由题意可知，＝＝＝，则＝2，＝2，＝3.
由＝2，得－＝2(－)，
即＝＋.
同理由＝2，得＝＋.
又＝，
所以＝＋×＝＋，
则＝＋＝＋
＝＋＋，
所以＝＋，即λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
14.已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足||≤1，且＝x＋y，求2x＋y的最大值.
解 如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，设P(m，n)，
因为＝x＋y，所以(m，n)＝(2x，0)＋(0，2y)，即(m，n)＝(2x，2y)，得m＝2x，n＝2y.
因为＝(2－m，－n)且||≤1，
所以≤1，
整理得≤1，
即(x－1)2＋y2≤.
设z＝2x＋y，当直线z＝2x＋y与圆(x－1)2＋y2＝相切时，z取得最值，
即＝，
所以z＝2±，于是zmax＝2＋，
即2x＋y的最大值为2＋.
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