2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.下列属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.下列命题正确的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分

6.使得式子有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图所示，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，已知在中，，，是边上的中线按下列步骤作图：分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，；过点，作直线，分别交，于点，；连接，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.若，则______．

10.把多项式因式分解为______ ．

11.已知为方程的一个根，则代数式的值为______ ．

12.在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______．

13.如图，在中，，已知的面积为，则阴影部分的面积为______ ．

14.已知，则代数式的值是______ ．

15.如图，矩形的对角线、相交于点，为线段上一点，连接，将三角形沿折叠，点恰好和点重合若，则长为______ ．

16.已知为整数，关于的分式方程解也为整数，且关于的一次函数不经过第四象限，则符合条件的值为______ ．

17.我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值如图：四边形的对边值为、对角值为现在有一四边形特征值如图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值的值为______ ．

18.如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.解方程：；
解不等式组：．

20.先化简，再求值：，其中．

21.已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围．
是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值：若不存在，说明理由．

22.如图，在中，平分交于，垂直平分，分别交，，于，，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．

23.在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置此时点和点位于的两侧，设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
如图，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系，并说明理由；
如图，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
当时，若，，请直接写出的值．

 

24.第届世界大学生夏季运动会在成都举行，“蓉宝”作为大运会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱现在有一公司生产两批“蓉宝”公仔，第一批公仔生产成本为万元，生产后在市场上供不应求，该公司立刻加大生产数量在生产成本单价相同的情况下，第二批生产数量比第一批生产数量的两倍还多个公仔，第二批生产成本为万元．
公司生产“蓉宝”公仔的单价为多少？
根据市场销售显示，当售价为元一个时，平均每天能卖出个公仔，售价每上涨元，其销售量就将减少个，假设涨价元，则此时数量为______ 个用含的代数式表示为了实现平均每天元的销售利润，“蓉宝”公仔的售价应定为多少元？

25.如图，在平面直角坐标系中，直线、与轴、轴分别交于点、，作交于点，且坐标为．
求、两点的坐标；
在直线上存在一点，使得：：，求的坐标；
若点是直线上的一个动点，在平面内是否存在另一个点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.【问题发现】
若四边形是菱形，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图，当点在菱形内部或边上时，连接、，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
若四边形是正方形，点是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图当点在对角线上，点恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
在的条件下，如图，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：

添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；
添加选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
故选：．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．

5.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质逐项判定可求解．

【解答】
解：、平行四边形的对角线互相平分，故错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故错误；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分，故正确．
故选D．

6.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：使得式子有意义，则：，解得：，
即的取值范围是：．
故选D．

7.【答案】 

【解析】解：直线，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了三角形中位线性质．
利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，，则可对选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对选项进行判断；根据三角形中位线的性质对选项进行判断；由于，，，则可对选项进行判断．
【解答】
解：由作法得垂直平分，
，，，所以选项正确；
平分，
，所以选项正确；
，，
为的中位线，
，所以选项正确；
，
而，
，
，所以选项错误．
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，利用“设法”求解更简便．

10.【答案】 

【解析】解：．
利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案．
此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，

．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】 

【解析】解：由得到：．
根据图象可知：两函数的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集是，即关于的一元一次不等式的解集是，
故答案为：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽∽，
，
，
阴影部分的面积占的，
的面积为，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
根据阴影部分的面积占大三角形面积的比例得出结论即可．
本题主要考查三角形的面积计算，同时也利用了相似三角形的性质与判定．

14.【答案】解：，
，
，即，
或，
解得：，；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是． 

【解析】利用公式法求解即可；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解的关键．

15.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

16.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得，，
又，
且；
不存在．
，，
由题意得，，
即，
解得，，
且时方程有两个不相等的实数根，
不存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．

17.【答案】证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
过点作于点，

四边形是菱形，
，
，
，且，
，，
，，
，
，
． 

【解析】由线段垂直平分线的性质可得，，可得，，由角平分线的性质可得，可证，，可得四边形是平行四边形，即可得结论；
由菱形的性质和外角性质可得，由直角三角形的性质可求的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．

18.【答案】解：，，理由如下：
如图，延长交于，

，
，
，
点是线段的中点，
，
又，
≌，
，，
又，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，；
，，理由如下：
如图，作，交延长线于点，连接、，

同理可证≌，
，，
，
，
当时，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
如图，作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于，

当时，由旋转可知，，
即与所成夹角的锐角为，
，
同可得≌，
同可得是等腰直角三角形，，，
在中，，，
，，
又，
，
，
． 

【解析】延长交于，根据证≌，再证是等腰直角三角形即可得出，；
作，交延长线于点，连接、，根据证≌，再根据证≌，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论；
作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于，同得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可．
本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：，

．
故答案为：．
先分解因式，再代入，最后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
将三角形沿折叠，点恰好和点重合，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
．
分式方程的解是整数，
或．
或或或．
又一次函数不经过第四象限，
．
．
符合条件的．
故答案为：．
根据题意可以求得的值，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出相应的的值．

22.【答案】或或或 

【解析】解：由题知，
图中四边形的对边值为：或，
图中四边形的对角值为：．
又该四边形对边值等于对角值，
所以或．
当时，
解得，．
当时，
解得，．
综上所述，的值为或或或．
故答案为：或或或．
根据对边值和对角值的定义，列出方程即可解决问题．
本题考查列代数式，能根据题中对边值和对角值的定义，列出方程是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点，使得．

，，，
，
≌，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
证明≌，推出，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

24.【答案】 

【解析】解：设公司生产“蓉宝”公仔的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：公司生产“蓉宝”公仔的单价为元；
假设涨价元，则此时数量为：个，
故答案为：；
设为了实现平均每天元的销售利润，“蓉宝”公仔的售价应定为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：为了实现平均每天元的销售利润，“蓉宝”公仔的售价应定为元．
设公司生产“蓉宝”公仔的单价为元，由“第一批公仔生产成本为万元，在生产成本单价相同的情况下，第二批生产数量比第一批生产数量的两倍还多个公仔，第二批生产成本为万元”，列出分式方程，解分式方程即可；
由平均每天能卖出个公仔，售价每上涨元，其销售量就将减少个，直接得出假设涨价元，此时能卖出的数量；设为了实现平均每天元的销售利润，“蓉宝”公仔的售价应定为元，由题意即可列出关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程，列出一元二次方程是解题的关键．

25.【答案】解：过点作轴于点，轴于点，则，，

，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
同理∽，
，
，
，
；
由可知，，
，
：：，
，
当点在点的下方时，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
把代入，
，
；
当点在点的上方时，
同理可得，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或；
存在．
如图，当时，四边形为菱形．连接，交于点，则与互相垂直平分，

，
当时，，
解得：，
点的坐标为，
点的坐标为
如图，当时，四边形为菱形．延长交轴于点，则轴．

点在直线上，
设点的坐标为，
在中，，
即：，
解得舍去，
点的坐标为，
，
点的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形．设交轴于点，则轴．

点在直线上，
设点的坐标为，
点的坐标为，
在中，，
即：，
解得舍去，
点的坐标为，
综上，在平面内存在点，其坐标为或或 

【解析】过点作轴于点，轴于点，则，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，同理求出，则可得出答案；
求出，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，由三角形面积可求出点的纵坐标，则可得出答案；
分别从当时，四边形为菱形，当时，四边形为菱形，当时，四边形为菱形．由勾股定理即可求得答案．
此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想分类讨论思想与数形结合思想的应用．

26.【答案】解：．
理由如下：如图，

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
．
理由：如图，连接，

四边形是正方形，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
．
即；
如图，连接交于点，过点作交直线于点，

四边形是正方形，，
，，，
，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得，，
设，
，
解得，，舍去，
． 

【解析】根据菱形的性质和等边三角形的性质证明≌即可证得结论；
由正方形的性质得出，由等腰直角三角形的性质证出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
连接交于点，过点作交直线于点，由直角三角形的性质求出，证明≌，由全等三角形的性质得出，，设，由勾股定理得出方程，解方程可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．