2023-2024学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）段考数学试卷（9月份）

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数为虚数单位的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生人．(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列函数在区间上为增函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.在中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知，，是实数，可判断下列命题正确的是(    )

A. “”是“”的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的必要条件

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.已知，且，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则(    )

A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差不大于，，，的极差

12.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则(    )

A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C.  D. 的面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若为偶函数，则 ______ ．

14.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______ ．

15.在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为______ ；若，则的最大值为______ ．

16.已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
设命题：方程有实数根；命题：方程有实数根已知和均为真命题，求实数的取值范围．

18.本小题分

如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，．
证明：平面；
证明：平面平面．

19.本小题分
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
当漏诊率时，求临界值和误诊率；
设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
 

20.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
若，求；
若，求，．

21.本小题分
已知函数的图像关于轴对称．
求的值；
若函数，，求的最大值．

22.本小题分
如图，是的直径，是圆周上异于，的点，是平面外一点，且．
求证：平面平面；
若，点是上一点，且与在直径同侧，．
(ⅰ)设平面平面，求证：；
(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数的共轭复数为．
故选：．
利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：某中学高三年级共有学生人，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，
设该校高三年级共有男生人，
样本中共有女生人，样本中有男生人，
，解得．
则该校高三年级共有男生人．
故选：．
根据分层抽样的定义求解即可．
本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的单调性可知，在上单调递减，不符合题意；
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，符合题意；
根据二次函数的性质可知，在上不单调，不符合题意；
在上单调递减，不符合题意．
故选：．
由已知结合基本初等函数单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
利用两个向量数量积的定义求出，再求出，， 的值，根据，求得 与的夹角的值．

【解答】
解：已知，是夹角为的两个单位向量，
，
设与的夹角为，，
，
，
，
，．
故答案选：．

5.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案．

【解答】
解：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数与的图象交点的横坐标．
在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图：
由图可知，，，．
．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：由正弦定理为三角形外接圆半径可得：
，，，
所以可化为，
即，
，
又，．
故选：．
首先由正弦定理推论，将条件中的正弦值化为边，再运用余弦定理，求得的余弦值，即可得的值．
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题．

7.【答案】 

【解析】解：如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，
连接，，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以．
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
同理，，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为．
故选：．
先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角及其正切值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8.【答案】 

【解析】解：把函数向
左平移个单位可得
函数的图象，
而直线经过点，且斜率为，
且直线还经过点，，，
，如图，
故与的交点个数为．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了不等式的性质、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
举反例可判断命题、、不正确；由不等式的性质可判断命题D正确．

【解答】
解：当，时，，但，可得不是的充分条件，因此不正确；
B.当，时，，但，可得不是的必要条件，因此不正确；
C.由，若，则，不是的充分条件，因此不正确；
D.由，是的必要条件，因此正确．
故选D．

10.【答案】 

【解析】解：，且，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
，且仅当时取等号，B错误；
由，当且仅当时取等号，
所以，C正确；
，当且仅当时取等号，
故，D正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．

11.【答案】 

【解析】解：选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，A错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，B正确；
选项，设样本数据，，，为，，，，，，可知，，，的平均数是，，，，的平均数是，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，C错误．
选项，，，，D正确．
故选：．
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．

12.【答案】 

【解析】解：取中点，则，，

由二面角的定义可知，二面角的平面角即为，
对于，中，由于，，
则，，
则，，选项A正确．
对于，，选项B错误．
对于，，选项C正确．
对于，，，选项D错误．
故选：．
作图，取中点，易知，然后再逐项分析判断即可．
本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】解：因为为偶函数，
所以为偶函数，即函数图象关于对称，
根据二次函数的性质可得，．
故答案为：．
由已知结合函数奇偶性的定义及二次函数的性质可求．
本题主要考查了函数奇偶性的定义及性质的应用，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接，交于点，连接，
过作，垂足为，所以为四棱台的高，如图所示：
则，，
所以，
所以．
所以该棱台的体积为．
故答案为：．
根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解．
本题考查了棱台体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

15.【答案】  

【解析】解：在中，，，点为的中点，点为的中点，，，
则；
设，，
由余弦定理可得：，
又，
即，当且仅当时取等号，
又，
则，
则




，
即的最大值为．
故答案为：；．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属中档题．

16.【答案】 

【解析】解：由题意：设，，则，
由的图象可知：
，即，
，
又，，，
即，，
观察图象，可知当时，满足条件，
．
故答案为：．
由，两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个值，即可求解．
本题主要考查根据函数的图象确定解析式的方法，属中档题．

17.【答案】解：当命题：方程有实数根为真命题时，，解得或；
当命题：方程有实数根为真命题时，，解得或，即为真命题时，，
所以和均为真命题时． 

【解析】分别求解和为真命题时的的取值，取交集可得答案．
本题考查的知识要点：命题真假的判定，真值表，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

18.【答案】证明：由题可知，，设，
，
则，解得，
，，
而，，，，四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
，，
，即，，
，，
平面，
平面，
平面平面． 

【解析】利用向量法可得，，四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明；
由勾股定理可得，，根据面面垂直的判定定理即可证明；
本题考查直线与平面、平面与平面位置关系的判定定理，是中档题．

19.【答案】解：依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
．
当时，
；
当时，
，
故，
所以在区间的最小值为． 

【解析】根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出；
根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．

20.【答案】解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：

中，，，，解得，
，，
故；
，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
． 

【解析】根据已知条件，推得，过作，垂足为，依次求出，，即可求解；
根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．

21.【答案】解：函数的图像关于轴对称，
即为偶函数，有，
即，
可得，
解得；
函数，
由，可得，
令，，设，，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为．
综上，． 

【解析】由偶函数的定义和对数的运算性质，解方程可得所求值；
化简函数，由换元法和指数函数的单调性，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．
本题考查函数的奇偶性和指数函数的性质，以及二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

22.【答案】证明：连结，
，
，
又是以为直径的圆周上一点，
．
，
，
，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
证明：由题意，四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
又点在圆上且与在直线的同侧，
，
平面，平面，
平面，
设平面平面，
平面，
；
(ⅱ)解：取的中点，连接，，

则，，
，．
平面，平面，
是平面与平面所成的锐二面角的平面角，
，，
．
是边长为的正三角形，
．
平面，
，
平面与平面所成的锐二面角的正切值为． 

【解析】本题主要考查面面垂直的判定定理，线面平行的性质定理以及二面角的求解等．对学生的逻辑推理能力，空间想像能力，计算能力都有一定的要求．同时题目迎合流行的趋势，在立体几何中渗透了平面几何，增加了知识点间的结合和思维转换的难度，故设置了阶梯进行铺垫，属于中档题．
连结，可证明，再利用三角形全等，证明，从而证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明；
利用角之间的关系，证明，由线面平行的判定定理证明平面，然后由线面平行的性质定理即可证明；
取的中点，连接，，利用二面角的平面角的定义，得到是平面与平面所成的锐二面角的平面角，在中，利用边角关系求解即可．