2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z+2z=2−i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={y|y=lg(x2+1)}，则A∩B=( )
A. (−1,3)B. (−1,0]C. [0,3)D. (−∞,3)
3.(2x−1x2)7的展开式中1x2项的系数是( )
A. 672B. −420C. 84D. −560
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为( )
A. 3π8B. π8C. 3π8D. 3π24
6.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=ax−a,x≤alga(x+a)+1,x>a的值域为R，则a的取值范围是( )
A. (0,12]B. [12,1)C. (1,2]D. [2,+∞)
7.已知函数f(x)=tanθ−tan(x+θ)1−2tan(x+θ)是[−π2024,π2024]上的奇函数，则tanθ=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
8.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90°，∠PAF2=45°，则椭圆E的离心率为( )
A. 57B. 63C. 2− 2D. 3−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为y =−0.6x+a ，则( )
A. y与x负相关B. a =5.6
C. 预测第6个月的下载量是2.1万次D. 残差绝对值的最大值为0.2
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，则( )
A. φ=5π6B. ω=2
C. f(x)的图象关于直线x=5π3对称D. f(x)在[π4,5π6]上的值域为[−2,1]
11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)−x，当0A. 当2B. 当n为正整数时f(n)=n−n22
C. 对任意正实数t，f(x)在区间(t,t+1)内恰有一个极大值点
D. 若f(x)在区间(0,k)内有3个极大值点，则k的取值范围是(7336,19364]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(5,1)，b=(1,−1)，c=(1,k)，若(a−b)⊥c，则k= ______．
13.若双曲线x2m+y2m+1=1的离心率为3，则m= ______．
14.两个有共同底面的正三棱锥P−ABC与Q−ABC，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角P−AB−Q的大小为120°，则△ABC的边长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=1，PD⊥平面PAB．
(1)求PC的长；
(2)若PD=1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调区间．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c−b=2asin(C−π6)．
(1)求角A；
(2)若a= 6，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=1，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知平面内一动圆过点P(2,0)，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB//CD，对角线AC与BD交于点T(2,1)．
(i)求直线AB的斜率；
(ii)证明：直线AD与BC交于定点．
19.(本小题17分)
有编号为1，2，…，n的n个空盒子(n≥2,n∈N)，另有编号为1，2，…，k的k个球(2≤k≤n,k∈N)，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记k号球能放入k号盒子的概率为P(n,k)．
(1)求P(3,3)；
(2)当n≥3时，求P(n,3)；
(3)求P(n,k)．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.B
6.A
7.B
8.D
9.ACD
10.BC
11.BD
12.−2
13.−89
14.43
15.解：(1)取AD中点O，连PO，CO，由BC/​/AO，且BC=AO，
所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC/​/AB，
由PD⊥平面PAB，得PD⊥AB，所以OC⊥PD，
又AB⊥AD，所以OC⊥AD，又AD∩PD=D，所以OC⊥平面APD，
由OP⊂平面APD，所以OC⊥PO，
由PD⊥平面PAB，得PD⊥AP，所以OP=12AD=1，
又OC=AB=2，所以PC= OP2+OC2= 5；
(2)以O为坐标原点，OC，OD为x，y轴的正方向，以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系．
由PD=1，得△POD为正三角形，所以P(0,12, 32)，
又A(0,−1,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，所以CD=(−2,1,0)，PD=(0,12,− 32)，
设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅CD=0n⋅PD=0，即−2x+y=012y− 32z=0，
取z=2，得到平面PCD的一个法向量n=( 3,2 3,2)．
又PA=(0,−32,− 32)，设直线PA与平面PCD所成角的大小为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅PA||n|⋅|PA|=4 3 3⋅ 19=4 1919，
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为4 1919．
16.解：(1)当a=2时，则f(x)=e2x−2x，f′(x)=2e2x−2，
可得f(1)=e2−2，f′(1)=2e2−2，
即切点坐标为(1,e2−2)，切线斜率为k=2e2−2，
所以切线方程为y−(e2−2)=(2e2−2)(x−1)，即(2e2−2)x−y−e2=0．
(2)由题意可知：f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，
(i)若a≥0，则2ex+a>0，
令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0；
可知f(x)在(−∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增；
(ii)若a<0，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2)或x=0，
①当ln(−a2)<0，即−20，解得x>0或x令f′(x)<0，解得ln(−a2)可知f(x)在(ln(−a2),0)内单调递减，在(−∞,ln(−a2))，(0,+∞)内单调递增；
②当ln(−a2)=0，即a=−2时，则f′(x)=2(ex−1)2≥0，可知f(x)在R内单调递增；
③当ln(−a2)>0，即a<−2时，令f′(x)>0，解得x<0或x>ln(−a2)；
令f′(x)<0，解得0可知f(x)在(0,ln(−a2))内单调递减，在(−∞,0)，(ln(−a2),+∞)内单调递增；
综上所述：若a≥0，f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)；
若−2若a=−2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<−2，f(x)的单调递减区间为(0,ln(−a2))，单调递增区间为(−∞,0)，(ln(−a2),+∞)．
17.解：(1)由2c−b=2asin(C−π6)及正弦定理，
可得2sinC−sinB=2sinA( 3 2sinC−12csC)，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
则有2sinC−csAsinC= 3sinAsinC，
又C∈(0,π)，sinC≠0，所以 3sinA+csA=2，
即sin(A+π6)=1，又A+π6∈(π6,7π6)，
所以A+π6=π2，即A=π3；
(2)由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠CAD=π6，
由S△ADB+S△ADC=S△ABC，
可得12AD⋅ABsin∠BAD+12AD⋅ACsin∠CAD=12AB⋅ACsin∠BAC，
整理得c4+b4= 34bc，即b+c= 3bc，①
由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bccsA，
即6=(b+c)2−3bc，②
由①②可得：b2c2−bc−2=0，解得bc=2或bc=−1(舍去)，
故S△ABC=12bcsinA=12×2× 32= 32．
18.解：(1)设圆心为Q(x,y)，

由题意可得： |x|2+22= (x−2)2+y2，整理可得y2=4x，
所以曲线E的方程为y2=4x；
(2)(i)由题意可知：直线AB的斜率不存在，且不为0，

设AB：x=my+n(m≠0)，A(x1,y1).B(x2,y2).C(x3,y3).D(x4,y4)，
联立方程x=my+ny2=4x，消去x可得y2−4my−4n=0，则Δ=16m2+16n>0，
可得y1+y2=4m，y1y2=−4n，
可知直线AC：x=x1−2y1−1(y−1)+2，
联立方程x=x1−2y1−1(y−1)+2y2=4x，消去a可得y2−4(x1−2)y1−1y+4(x1−2)y1−1−8=0，
由题意可知：y1+y2=4(x1−2)y1−1，即y3=4x1−8y1−1−y1，且y12=4x1，
可得y3=4x1−8y1−1−y1=y12−8y1−1−y1=y1−8y1−1，
同理可得：y4=y2−8y2−1，
则kCD=y3−y4x3−x4=y3−y4y324−y424=4y3+y4=4y1−8y1−8y1−1+y2−8y2−1=4[y1y2−(y1+y2)+1]2y1y2−9(y1+y2)+16=4n+4m−12n+9m−4，
因为AB/​/CD，则kAB=kCD，即1m=4n+4m−12n+9m−4，
整理可得(2m−1)(m+n−2)=0，
由题意可知：点T(2,1)不在直线AB：x=my+n上，则m+n≠2，即m+n−2≠0，可得2m−1=0，
即m=12，所以直线AB的斜率kAB=1m=2；
(ii)证明：由(i)可知：y1+y2=2，
则AB的中点M(a,1)，又因为CD=4y3+y4=2，
即y3+y4=2，
则CD的中点N(b,1)，
即直线MN：y=1，
由梯形的性质可知：直线AD与BC的交点即为直线AD与MN的交点，
因为直线AD的斜率kAD=y1−y4x1−x4=y1−y4y124−y424=4y1+y4，
则直线AD：x=y1+y24(y−y1)+x1，
令y=1，
可得x=y1+y44(1−y1)+y124=y1+y4−y1y44=y1+y2−8y2−1−y1(y2−8)y2−1x2=7(y1+y2)−6y2−84(y2−1)=14−6y2−84(y2−1)=−32，
即直线AD与直线MN的交点为H(−32,1)，
所以直线AD与BC交于定点H(−32,1)．
19.解：(1)1号球放入1号盒中的概率为13，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为13，
欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为12，
1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，
综上所述：P(3,3)=13+13×12=12．
(2)1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为n−2n，
此时3号球可放入3号盒中，
1号球放入2号盒中的概率为1n，欲使3号球放入3号盒中，
则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为n−2n，
1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，
综上，P(n,3)=n−2n+1n×n−2n−1=n−2n−1．
(3)1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为n−k+1n，
此时，k号球可放入k号盒中，
1号球放入j(2≤j≤k−1)号盒中的概率为1n，
此时2号，3号，…，j−1号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1，j+1，j+2，…，n的空盒，
此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让k号盒中的放法总数等价于将编号为1，2，…，k的球，
按照题设规则放入编号为1，2，…，n−j+1的盒中(1号球仍随机选择一个盒子放入)，
∴概率为P(n−j+1,k−j+1)，
1号球放入k号盒时，此时k号球不能放入k号盒中，
∴P(n,k)=n−k+1n+1n×j=2k−1P(n−k+1,k−j+1)，
整理得nP(n,k)=(n−k+1)+j=2k−1P(n−j+1,k−j+1)，①
分别有n−1和k−1替换n和k，可得：
(n−1)P(n−1,k−1)=(n−k+1)+j=2k−2P(n−j+1,k−j+1)，②
由①②式相减，整理得：P(n,k)=P(n−1,k−1)，
P(n−k+2,2)等于1号球不放在2号盒的概率，
∴P(n−k+2,2)=1−1n−k+2=n−k+1n−k+2，
∴P(n,k)=n−k+1n−k+2． 月份编号x
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