高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.1平面向量的概念、线性运算及坐标表示(精练)(原卷版+解析)

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【题型一 平面向量的基本概念】
1.(2023·全国高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0B．1
C．2D．3
2. (2023·上海市嘉定区第一中学高三月考）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为
3. (2023·江苏江苏·一模）（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则
【题型二 平面向量的线性运算】
1.(2023·全国高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·安徽高三模拟）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.(2023·威海高三模拟）如图所示，已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·三亚华侨学校高三月考）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型三 平面向量基本定理的应用】
1.(2023·全国高三专题练习）(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2,3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
2.(2023·安徽省涡阳第一中学高三月考）在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·天水市第一中学高三月考）如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·济南市第一中学高三月考）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
【题型四 平面向量的坐标运算】
1.(2023·全国高三练习）已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)
2.(2023·江苏高三期末）已知向量，，若，，，则的值为 ．
3.(2023·江苏·高三专题练习）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
4.( 2022·广东高三月考) 在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq \(AQ,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
【题型五 平面向量共线问题】
1.(2023·上饶一模）在中，，P为BD上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·济南高三一模）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3B．2C．1D．
3.(2023·山东省潍坊市高三期中）已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（ ）
A．5B．3
C．D．2
4.( 2022·湖北高三月考) 已知向量，且与共线，则_________．
5. (2023·辽宁葫芦岛·高三期末）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
6. (2023·山东青岛·高三期末）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
5.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
【题型解读】
【题型一 平面向量的基本概念】
1.(2023·全国高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0B．1
C．2D．3
答案：A
【解析】①错误，如在▱ABCD中，，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；
②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；
③错误，若 (λ为实数)，则λ＝0或；
④错误，当λ＝μ＝0时，＝0，但与不一定共线．
故选：A
2. (2023·上海市嘉定区第一中学高三月考）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为
答案：ABC
【解析】对于A，若，则，无法得到，A错误；
对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；
对于C，若，则，，无法得到，C错误；
对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.
故选：ABC.
3. (2023·江苏江苏·一模）（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若∥，∥，则∥
D．若，则
答案：ABC
【解析】对A，不一定共线，故A错误；
对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；
对C，若，则的方向是任意的，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABC.
【题型二 平面向量的线性运算】
1.(2023·全国高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为，所以，
所以.
故选：C.
2.(2023·安徽高三模拟）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
3.(2023·威海高三模拟）如图所示，已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，
故选：A
4. (2023·三亚华侨学校高三月考）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】．
故选：B.
【题型三 平面向量基本定理的应用】
1.(2023·全国高三专题练习）(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2,3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案：BD
2.(2023·安徽省涡阳第一中学高三月考）在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
3. (2023·天水市第一中学高三月考）如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以，
故选：B
4. (2023·济南市第一中学高三月考）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
答案：
【解析】因为，所以，又，即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为的等边三角形，
所以
，故.
故答案为：.
【题型四 平面向量的坐标运算】
1.(2023·全国高三练习）已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)
答案：B
【解析】设P(x，y)，则eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)．而eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－8,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(1,2)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).故选B.
2.(2023·江苏高三期末）已知向量，，若，，，则的值为 ．
答案：
【解析】向量，，若
可得，解得，，．故答案为：．
3.(2023·江苏·高三专题练习）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.
答案：
【解析】
解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
故答案为：；10.
4.( 2022·广东高三月考) 在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq \(AQ,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
答案： (－3,2) (－6,21)
【解析】 eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,5)－(4,3)
＝(－3,2)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(AQ,\s\up6(→))＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．
【题型五 平面向量共线问题】
1.(2023·上饶一模）在中，，P为BD上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题知B，P，D三点共线，所以，所以，， 故选D．
2.(2023·济南高三一模）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3B．2C．1D．
答案：A
【解析】因为､､三点共线，
所以存在实数λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故选：A.
3.(2023·山东省潍坊市高三期中）已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（ ）
A．5B．3
C．D．2
答案：C
【解析】因为，是非零向量，且互相垂直，所以，
因为共线，所以当且仅当有唯一一个实数，使，即，
所以，又因为，不共线，所以.故选：C.
4.( 2022·湖北高三月考) 已知向量，且与共线，则_________．
答案：
【解析】因向量，且与共线，则，解得，
所以.
故答案为：
5. (2023·辽宁葫芦岛·高三期末）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
答案：A
【解析】由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：A
6. (2023·山东青岛·高三期末）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：，，，


，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，

，.