2023年四川省成都七中育才学校中考数学三诊试卷（含解析）

2023年四川省成都七中育才学校中考数学三诊试卷

1.的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积为，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，，，点、、在一条直线上，则下列条件中不能断定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.九班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：

则学生捐款金额的中位数是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

6.如图所示，在中，，，，相交于点，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为
(    )

A.  B.  C.  D.

8.二次函数的图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
；
；
；
；
其中正确的结论有_____个(    )

A.
B.
C.
D.

9.计算：______．

10.若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是______ ．

11.如图，与位似，点为位似中心已知：：，则与的面积比为______ ．

12.若关于的一元二次方程有一个根的值是，则的值是______ ．

13.如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为______ ．

14.；
解方程组：．

15.某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、武术、音乐五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

请你根据以上的信息，回答下列问题：

被调查学生的总数为________人，统计表中的值为________，统计图中的值为________；

在统计图中，类所对应扇形的圆心角的度数为________；

喜爱体育电视节目的学生中有人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．用列表法或树状图法求概率

16.北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，，

17.如图，是的外接圆，是的直径，．
求证：是的切线；
若，垂足为，交于点，，，求的长．

18.如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，．
求反比例和一次函数表达式；
反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点
，当时，求直线的解析式．

 

19.已知实数，则代数式的值为______ ．

20.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，已知，则值为______ ．

21.黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋已知，则阴影部分的面积为______ ．

22.如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，若，连接，则的长为______ ．

23.在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线，例如，点的相关直线为已知点，点，点为直线上的动点，以为圆心，为半径作圆在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为，则的值为______ ．

24.随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合甲队走路线，全程千米，乙队走路线，全程千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的倍，这样乙队可以比甲队提前天到达目的地．
求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为元甲队最开始计划有个人同行，计划每人每天花费元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加人时，每人每天的平均花费将减少元若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费元，求的值．

25.如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
若点的坐标为，求的值；
在的条件下，点为第三象限内抛物线上一点，交于点，交轴于点，且，求点的坐标；
在第三象限内的抛物线上是否存在两个不同的点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

 

26.如图，在锐角中，，点，分别是边，上的动点，连接，．
如图，若，且，平分，求的度数．
如图，若，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转度得到线段，连接，过点做，垂足为点，在点运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
如图，若点为下方一点，连接，，为等边三角形，将沿直线翻折得到是线段上一点，将沿直线翻折得到，连接，当线段取得最大值，且时，请求出：的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．

3.【答案】 

【解析】解：不能合并同类项，
故A选项不符合题意；
，
故B选项符合题意；
，
故C选项不符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：．
根据整式的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式分别判断即可．
本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、在和中
，
≌，故本选项错误；
B、，
，
即，
在和中
，
≌，故本选项错误；
C、根据，，，不能判定和全等，故本选项正确；
D、，
，
在和中
，
≌，故本选项错误；
故选：．
根据全等三角形的判定推出三角形全等，即可判断；求出，根据即可判断；根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等，即可判断；根据平行线性质推出，根据即可判断．
本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用，熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．

5.【答案】 

【解析】解：将九班学生的捐款金额从小到大进行排序，排在第位的是元和第位的是元，
学生捐款金额的中位数是元．
故选：．
根据中位数的定义进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的中位数，掌握中位数的定义，注意偶数个数的中位数为中间两个数的平均数是关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
本题考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱，
；
如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，开口向下，交轴于正半轴，
，
又对称轴为直线，
，即
，故正确；
，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
由图象可知，当时，
，故错误；
综上，正确的有．
故选：．
由图象可知，开口向下，交轴于正半轴即对称轴为直线，可判断是否正确，由抛物线与轴有两个交点，可得，据此可判断是否正确；由图象可知，当时，函数值，则可判断是否正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
此题考查了幂的乘方与积的乘方．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，可知，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是知道：当反比例函数图象位于第一、第三象限时，．

11.【答案】： 

【解析】解：与是位似图形，：：，
：：，
与的位似比是：．
与的相似比为：，
与的周长比为：，
与的面积比为：：，
故答案为：：．
根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根的值是，
，
解得，
故答案为：．
根据关于的一元二次方程有一个根的值是，可以得到，然后求解即可．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值．

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得平分，再根据平行线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．

14.【答案】解：


；
，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为． 

【解析】分别根据零指数幂的定义，算术平方根的定义，特殊角的三角函数值以及绝对值的性质计算即可；
方程组利用加减消元法求解即可．
本题考查了实数的运算以及解二元一次方程组，掌握相关定义、运算法则以及消元的方法是解答本题的关键．

15.【答案】       

【解析】解：被调查的学生总数为：人，
则，，
，
故答案为：，，；
类所对应扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有种，
甲丙同时被选中的概率为．
用类别人数除以其所占百分比可得被调查学生的总数，即可解决问题；
用乘以类别人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

16.【答案】解：作交延长线于，设 米．
中，，
所以，
所以．
中，，
由 ，
解得：米．
所以生命迹象所在位置的深度约为米． 

【解析】过点作的垂线交的延长线于点，通过解得到，在中利用锐角三角函数的定义即可求出的值．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

17.【答案】证明：如图，连接，

，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：如图，过点作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
，
，
，，
，
，
，
设，，
在中，，
，
解得或舍，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，于是得到结论；
根据已知条件得到，得到，推出，于是得到结论．
本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

18.【答案】解：将点代入一次函数得：
，则，
一次函数的表达式为：，
将点代入得：，则，
，
将代入反比例函数得：，
反比例函数的表达式为：，
存在点，如图所示：

过作交双曲线于点．
则同底等高的两个角形的面积相等，
的解析式，
的解析式为，
令，
解得：，舍去，
，
直线交轴于点，
，
把向下平移个单位，则的解析式为：，
令，解得：，舍去
，
存在点，坐标为或，
如图所示：

过分别向轴作垂线，垂足分别为，
，
，
，
，
，
，
，
，
点横坐标为，
，
，
设的解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
的解析式为：． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
利用三角形面积的性质及平移规律得出平移后的直线解析式，再联立方程组即可求出点的坐标；
过点，分别向轴作垂线，并利用平行线分线段成比例定理求出的长，从而求出点的坐标，利用待定系数法即可求解．
本题为反比例函数综合题，主根考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，平移规律，三角形的面积性质，平行线分线段成比例定理等，综合性强，难度适中．

19.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先利用完全平方公式得到，然后把的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

20.【答案】 

【解析】解：把点分别代入，中，得：
，，即．
，
解得：．
故答案为：．
由题得，把点分别代入，中，得，，进而求解即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：根据题意，四边形是黄金矩形，
，
，
，
，
正方形边长为，
阴影部分面积为，
故答案为：．
根据，，可得，故DE，即正方形边长为，从而可求出阴影部分面积为．
本题考查黄金分割比和正方形，扇形面积，解题的关键是读懂题意，掌握扇形的面积公式．

22.【答案】或 

【解析】解：当点在上时，如图，作于，

，
，
，，
≌，
，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，，
，，
在中，，
当点在上时，作于，于，

同理可得，≌，
，，
，，
，
，
，
在中，，
故答案为：或．
分点在上或在上，如图，作于，利用证明≌，得，，再利用勾股定理解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键．

23.【答案】或 

【解析】解：设直线的解析式为，点，点代入解析式得：
，
，
的解析式为：．
设的坐标为，
根据新定义，点的相关解析式为：
当时，，的相关解析式图象过定点．
的最小值为，则的弦心距为最大，最大值为：，
当定点是的中点时．定点到中点的距离为，
根据两点间的距离公式得：，
整理得：，
解得：或．
根据新定义，推出点的关联解析式，利用最小值是计算出弦心距最大时，直线定点一定时弦的中点，利用两点间距离公式列出关于的二次方程，解出二次方程的解即可．
本题考查新定义下的一次函数图象上点的坐标特征，突破本题的关键是理解题意．

24.【答案】解：设乙队计划天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
．
答：甲队计划天到达目的地，乙队计划天到达目的地；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：的值为． 

【解析】设乙队计划天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，利用速度路程时间，结合乙队平均每天行驶的路程是甲队的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目的地的时间，再将其代入中，即可求出甲队计划到达目的地的时间；
根据两队共需花费元，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

25.【答案】解：将点代入，
，
解得；
，
，
连接，
由可知，
当时，或，
，
当时，，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得舍或，
；
存在两个不同的点、关于直线对称，理由如下：
设，，
、关于直线对称，
与直线垂直，
所在直线与平行，
设直线的解析式为，
当时，整理得，
，
，
，，
、的中点的横坐标为，
、中点坐标为，
、的中点也在直线上，
，
解得，
，
，
、在第三象限，
，
，
解得，
． 

【解析】将点代入，即可求的值；
连接，先判断是直角三角形，可推导出，即，在中，，求得，可知点，求直线与抛物线的交点即为点．
设，，根据对称性可知与直线垂直，则所在直线与平行，设直线的解析式为，当时，整理得，由方程存在两个不相等的实数根，则，从而得到，再由根与系数的关系得，，由、中点坐标为在直线上，求出，由，得，再由、在第三象限，得，求出，从而确定．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，点关于直线的对称性是解题的关键．

26.【答案】解：如图，

在上截取，连接，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
如图，

，理由如下：
连接，在上截取，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
点、、、共圆，
，，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
；
如图，

在的上方作等边三角形，作的外接圆，连接并延长，交于点，当点运动到点时，最大，
作于点，连接，作于，
，
是等边三角形，
，
、、共线，
设，则，
，
，
，
，
如图，

在中，，在上，，，
则，
不妨设，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
由得，
，
，
，，
，
． 

【解析】在上截取，连接，可证得≌，从而，，进而得出，进一步得出结果；
连接，在上截取，根据得出点、、、共圆，从而，，进而得出≌，从而，，进而得出是等边三角形，进一步得出结果；
在的上方作等边三角形，作的外接圆，连接并延长，交于点，当点运动到点时，最大，作于点，连接，作于，可推出、、共线，设，则，可得出，构造，，在上，，，则，进而推出，设，，解三角形，表示出，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．