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2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图所示这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是( )
A. −3a+(3a−1)=−1 B. 2a6÷a3=2a2
C. (−ab2)2=−a2b4 D. (a−1)2=a2−1
3.某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍.设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是( )
A. 378x+9=378x+1 B. 378x−9=378x+1 C. 378x−9=378x−1 D. 378x+9=378x−1
4.甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是( )
A. x丁
6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF(点A，E，F按逆时针排序)，则CF长的最小值为( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7.−7的相反数等于______ ．
8.使 x−2有意义的x的取值范围是 ．
9.镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物(里面是一个个小等边三角形)，该图形绕旋转中心(点O)至少旋转______ 度后可以和自身完全重合．
10.已知直线a//b，将一块含30°的Rt△ABC(∠ABC=30°,∠BAC=60°)按如图方式放置，点A，B分别落在直线a，b上，若∠1=60°，则∠2的度数为______ ．
11.2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为______ ．
12.若关于x的一元二次方程x2−6x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
13.小明妈妈的生日快到了，为了给妈妈一个惊喜，小明自己动手给妈妈做了一顶圆锥形的生日礼帽，量得帽子的底面圆的直径为18cm，帽子的高为12cm，则这顶帽子的侧面积为______ cm2(结果保留π)．
14.已知点A(x1,y1)B(x2,y2)在反比例函数y=8x的图象上，且x1<0”、“<”或“=”)．
15.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，过点A的切线与CO的延长线交于点D，则∠D= ______ ．
16.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于(−3,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，则CD的长为______ ．
18.如图，点A(2,12)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，AB，AC分别垂直于x轴、y轴，点D在位于AB右侧的反比例函数的图象上，DE，DF分别垂直于x轴、AB.若四边形DEBF为正方形，则这个正方形的面积等于______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19.(1)解方程：3x−1=2x+1；
(2)解不等式组：2(x+2)≤3x+3x3
20.(本小题8.0分)
(1)计算： 27−3tan30°−(3−π)0；
(2)化简：(1−11−a)÷aa2−1．
21.(本小题6.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在AD，BC上，连接EF交AC于点O，且OE=OF．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若AC平分∠BCE，证明：四边形AFCE为菱形．
22.(本小题6.0分)
为保护未成年学生身心健康，防止过度使用甚至沉迷手机等问题，某校采用随机抽样的方法，抽取了部分学生，对他们一周内手机使用时间t(单位：小时)进行了调查，将收集的数据进行整理，并绘制成表格，请根据表格中的信息回答下列问题：
(1)抽取的样本容量为______ ，a= ______ ；
(2)请估计该校1200名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数；
(3)请根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
使用时间
频数
频率
t<1
4
0.08
1≤t<2
12
0.24
2st<3
10
0.20
3≤t<4
16
a
t≥4
8
0.16
23.(本小题6.0分)
如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
(2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
24.(本小题6.0分)
如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离即BC的长.(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
25.(本小题7.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点E，过点E作EF⊥CA于点F，交AB的延长线于点D．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CE= 5，sin∠ABC=2 55，求⊙O的半径．
26.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点O为坐标原点，直线OA交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作AD//x轴，过点C作CD⊥x轴，点E为垂足，AD，CD相交于点D，连接OD，AC，BC．
(1)k= ______ ；
(2)求证：OD//BC：
(3)当∠AOD=2∠DOE时，求AC的长．
27.(本小题10.0分)
“折纸”是同学们经常做的手工活动．
【活动一】
如图1，有一张长方形纸片ABCD，AB=30cm，BC=40cm，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点A′落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E，第2次折叠，在边DC上取一点F，将∠ADC沿EF进行折叠，使得点D落在射线EA′上．
(1)如图1，在第1次折叠中，若点A′恰好落在对角线BD上，则AE= ______ ；
(2)用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕EF(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚)，并求出DF的最大值．
【活动二】
如图3，有一张四边形纸片MNPQ，已知∠MQP=∠MNP=90°，MN=45cm，MQ=35cm，PQ=30cm，小明认为他可以用一张边长为35cm的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片MNPQ一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由．
28.(本小题11.0分)
已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为(−1,0)，B点坐标为(3,0).在x轴的下方有一点P，坐标为(m,n)，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C.若点P满足：当点C在线段AB上(与A，B不重合)时，满足：PCAC+PCBC=a，当点C在点B右侧时，满足：PCBC−PCAC=a，当点C在点A左侧时，满足：PCAC−PCBC=a，其中a是常数，且a>0，则我们称点P为点A，B的“a关联点”．
(1)已知a=4．
①点M(1,−3) ______ (填“是”或“不是”)点A，B的“a关联点”；
②求点A，B的“a关联点”P的横、纵坐标m，n满足的数量关系；
(2)点P为点A，B的“a关联点”，过点(1,0)作x轴的垂线l，直线AP，BP分别与直线l相交于点E，F，点E在点F的下方，若EF的中点D的纵坐标是3，求a的值；
(3)点P是点A，B的“a关联点”，若满足△ABP的面积为8的点P有且只有两个，则a的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：D．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】A
【解析】解：−3a+(3a−1)=−3a+3a−1=−1，故选项A正确，符合题意；
2a6÷a3=2a3，故选项B错误，不符合题意；
(−ab2)2=a2b4，故选项C错误，不符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
根据去括号法则和合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了(x+1)名学生，则：378x−9=378x+1．
故选：B．
设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了(x+1)名学生，根据“结果比原计划少用了9间宿舍”即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：x甲>x丙，x丙>x乙，x甲+x丁
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知A等级人数为20×45%=9(人)，
其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为94、94，
所以这组数据的中位数为94+942=94，
故选：C．
先求出A等级人数，再找到第10、11个数据，继而利用中位数的定义求解即可．
本题主要考查扇形统计图和中位数，解题的关键是根据扇形图得出A等级人数，并熟练掌握中位数的定义．
6.【答案】B
【解析】解：连接AC交BD于点G，连接并延长GF交BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB=2，AD=CD=2，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45°，
∵AF=EF，∠AFE=90°，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵BD⊥AC于点G，
∴∠AGB=90°，AG=CG，
∵∠AGL=∠EFL，∠ALG=∠ELF，
∴△ALG∽△ELF，
∴GLFL=ALEL，
∴GLAL=FLEL，
∵∠GLF=∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF=∠FAE=45°，
∴∠LGF=∠FAE=45°，
∴∠LGF=∠ABD，
∴GF//AB，
∴∠GHC=∠ABC=90°，BHCH=AGCG=1，
∴GH⊥BC，BH=CH=12BC=1，
∴点F在BC的垂直平分线上运动，
∵CH⊥GH，
∴当点F与点H重合时，CF的值最小，此时CF=CH=1，
∴CG长的最小值为1，
故选：B．
连接AC交BD于点G，连接并延长GF交BC于点H，由正方形的性质得∠ABC=90°，AB=CB，AD=CD，则△ABD≌△CBD，得∠ABD=∠CBD=45°，由∠AGL=∠EFL，∠ALG=∠ELF，证明△ALG∽△ELF，则GLFL=ALEL，变形为GLAL=FLEL，而∠GLF=∠ALE，则△GLF∽△ALE，可推导出∠LGF=∠ABD，则GF//AB，所以∠GHC=∠ABC=90°，BH=CH=1，可知点F在BC的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，CF长的值最小，此时CF=CH=1，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7.【答案】7
【解析】解：−7的相反数是7．
故答案为：7．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
8.【答案】x≥2
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
当被开方数x−2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件，得
x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
9.【答案】60
【解析】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
根据旋转的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
10.【答案】30°
【解析】解：过点C作CD//a，
∵∠1=60°，∠BAC=60°，
∴∠ACD=180°−∠1−∠BAC=180°−60°−60°=60°．
∵∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−60°=30°，
∵直线a//b，
∴CD//b，
∴∠2=∠BCD=30°．
故答案为：30°．
过点C作CD//a，根据平行线的性质可得出∠ACD+∠1+∠BAC=180°，故可得出∠BCD的度数，据此得出结论．
本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
11.【答案】1.595×109
【解析】解：15.95亿=15.95×108=1.595×109．
故答案为：1.595×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】m>−9
【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−6，c=−m
∴Δ=b2−4ac=(−6)2−4×1×(−m)>0，
解得m>−9，
故答案为：m>−9．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】135π
【解析】解：∵帽子的底面圆的直径为18cm，
∴帽子的底面圆的半径为9cm，
∴这个圆锥的母线长为 92+122=15(cm)，
∴这顶帽子的侧面积=12×2π×9×15=135π(cm2).
故答案为：135π．
先利用勾股定理计算出这个圆锥的母线长为15cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出这顶帽子的侧面积．
本题考查了圆的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】<
【解析】解：∵k=8>0，
∴双曲线在第一，三象限，
∵x1<0
∴y1
由k=8>0，双曲线在第一，三象限，根据x1<0
15.【答案】50°
【解析】解：连接OA，
∵∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠D=∠AOC−∠OAD=140°−90°=50°，
故答案为：50°．
连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=140°，根据切线的性质得到∠OAD=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】x<−3
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点(−3,0)，
∴kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式kx+b>0的解集为x<−3，
故答案为：x<−3．
kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
17.【答案】2+2 3
【解析】解：连接BD，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB= 2AC=4，∠CAB=45°，
由旋转的性质得到：∠BAD=60°，AD=AB=4，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=DA，
∵BC=AC，
∴CD⊥AB，
∴FD= 32AD=2 3，
∵∠AFC=90°，∠BAC=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF= 22AC=2，
∴CD=CF+FD=2+2 3．
故答案为：2+2 3．
连接BD，由等腰直角三角形的性质得到AB= 2AC=4，∠CAB=45°，由旋转的性质得到：∠BAD=60°，AD=AB=4，因此△BAD是等边三角形，得到BD=DA，又BC=AC，由线段垂直平分线性质定理的逆定理得到CD⊥AB，求出FD= 32AD=2 3，由等腰直角三角形的性质求出CF= 22AC=2，得到CD=CF+FD=2+2 3．
本题考查旋转的性质，等腰直角三角形，线段垂直平分线性质定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线性质定理的逆定理证明CD垂直平分BA．
18.【答案】16
【解析】解：设正方形的边长为m，
∵点A(2,12)，
∴D(2+m,m)，
∵点A、D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴m(2+m)=2×12，
解得m=4或m=−6(舍去)，
∴这个正方形的面积=4×4=16，
故答案为：16．
设正方形的边长为m，则D(2+m,m)，由点A、D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，得出m(2+m)=2×12，解得m=4，进一步求得这个正方形的面积=4×4=16．
本题考查了比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
19.【答案】解：(1)3x−1=2x+1；
方程两边同时乘以(x−1)(x+1)得：
3(x+1)=2(x−1)，
3x+3=2x−2，
3x−2x=−2−3，
x=−5，
经检验：x=−5是原方程的解；
(2)2(x+2)≤3x+3①x3
由②得：x<3，
∴不等式组的解集是1≤x<3．
【解析】此题主要考查了解分式方程和解一元一次不等式组，注意分式方程要正确找出最简公分母，不等式组要注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时不等号的方向改变．
(1)首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可；
(2)先解第一个不等式得x≥1，再解第二个不等式得x<3，然后取公共部分即可解集．
20.【答案】解：(1) 27−3tan30°−(3−π)0
=3 3−3× 33−1
=3 3− 3−1
=2 3−1；
(2)(1−11−a)÷aa2−1
=1−a−11−a⋅(a+1)(a−1)a
=−a1−a⋅(a+1)(a−1)a
=a+1．
【解析】(1)先化简，然后计算乘法，最后计算减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF(AAS)；
(2)证明：∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AC平分∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵AE//CF，
∴∠ACF=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
【解析】(1)根据AAS可证明△AOE≌△COF；
(2)证出OA=OC，OE=OF，得出四边形AFCE为平行四边形，证明AE=CE，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．
22.【答案】50 0.32
【解析】解：(1)本次抽取的样本容量为：4÷0.8=50，
a=16÷50=0.32，b=50×0.24=12，
故答案为：50；0.32；
(2)1200×(0.32+0.16)=576(人)，
答：估计该校1600名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数约有576人；
(3)根据表格中的数据可知，超过一半的学生一周“手机使用时间”达到3小时及以上，给学校的建议是：近期组织一次家长会，就学生们的“手机使用时间”进行强调，要求家长监管好孩子们的手机使用时间，要少于3小时．(答案不唯一)．
(1)根据统计表中的数据，可以计算出本次抽取的样本容量，然后即可计算出a的值；
(2)用1200乘样本中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数所占比例即可；
(3)根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
本题考查统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出本次调查的人数．
23.【答案】解：(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P(所画三角形是等腰三角形)=14；
(2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P=412=13．
【解析】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．
(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
(2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
24.【答案】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO=7×5=35(米)，OC=4×5=20(米)，OE=BD，OE//BD，
∴∠EOC=∠OCD=45°，
∵∠AOC=75°，
∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°，
在Rt△OCD中，CD=OC⋅cos45°=20× 22=10 2(米)，
在Rt△AOE中，OE=AO⋅cos30°=35× 32=35 32(米)，
∴OE=BD=35 32(米)，
∴BC=BD−CD=35 32−10 2≈16(米)，
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为16米．
【解析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO=35米，OC=20米，OE=BD，OE//BD，从而可得∠EOC=∠OCD=45°，进而可得∠AOE=30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBC，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠C，
∴OE//AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥半径OE，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，
∵AC=AB，
∴CE=BE= 5，
∵sin∠ABC=BEAB=2 55，
∴AB=52，
∴⊙O的半径为54．
【解析】(1)首先连接OE，由在△ABC中，AB=AC，易证得OE//AC，又由过点E作EF⊥AC于点E，即可得OE⊥EF，证得DF是⊙O的切线；
(2)根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD=BD，设BD=x，则AB=3x，由勾股定理得到AD=2 2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26.【答案】6
【解析】(1)解：∵点A(1,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k1=6，
解得：k=6；
故答案为：6；
(2)证明：∵A(1,6)，点A与点B关于原点O对称，
∴B(−1,−6)，
∵点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，
∴设C(a,6a)，
∵AD//x轴，CD⊥x轴，
∴D(a,6)，
设直线OD的解析式为y=k1x(k1≠0)，
将点D(a,6)代入得，ak1=6，
解得：k1=6a，
∴直线OD的解析式为y=6ax，
设直线BC的解析式为y=k2x+b(k2≠0)，
将B(−1,−6)，C(a,6a)代入得，−k2+b=−6ak2+b=6a，
解得：k2=6ab=6a−6，
∴直线BC的解析式为y=6ax+6a−6，
∵k1=k2=6a，
∴OD//BC；
(3)解：如图，设AC与OD交于点F，
由对称性可知，OA=OB，
由(2)知，OD//BC，
∴OAOB=AFCF，
∴AF=CF，即点F为AC的中点，
∵AD//x轴，CD⊥x轴，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴AF=CF=DF，
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD//x轴，
∴∠ADF=∠DOE，
∵∠AFO=∠DAF+∠ADF=2∠ADF=2∠DOE，
∵∠AOD=2∠DOE，
∴∠AFO=∠AOD，
∴AO=AF，
∴AC=2AF=2AO，
∵OA= (1−0)2+(6−0)2= 37，
∴AC=2AO=2 37．
(1)将点A(1,6)代入反比例函数解析式中即可求解；
(2)由对称性可得B(−1,−6)，设C(a,6a)，则D(a,6)，再利用待定系数法求出直线OD和直线BC的解析式，以此即可判断；
(3)设AC与OD交于点F，由对称性可知OA=OB，根据平行线分线段成比例可得AF=CF，易得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得AF=CF=DF，进而得到∠DAF=∠ADF，由两直线平行，内错角相等得∠ADF=∠DOE，由三角形外角性质得∠AFO=2∠ADF=2∠DOE，于是可得AO=AF，则AC=2AF=2AO，再利用两点间距离公式求出AO即可求解．
本题主要考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数的图象与性质、两直线平行在函数中的应用、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，利用直角三角形斜边上中线性质得到∠DAF=∠ADF，在通过角度转化将AC的长度与AO的长度相关联时解题关键．
27.【答案】15cm
【解析】解：【活动一】(1)由折叠可知AB=A′B=30cm，AE=A′E，∠EA′D=∠A=90°，
∵AB=30cm，BC=40cm，
∴BD=50cm，
∴A′D=20cm，
在Rt△EDA′中，ED2=A′E2+A′D2，
∴(40−AE)2=AE2+202，
解得AE=15cm，
故答案为：15cm；
(2)如图2，作∠DEA′的角平分线，交CD于点F，
由折叠可知，∠AEB=∠A′EB，∠A′EF=∠DEF，
∴∠BEF=90°，
∴△ABE∽△DEF，
设AE=x，DF=y，则DE=40−x，
∵△ABE∽△DEF，
∴ABDE=AEDF，
∴3040−x=xy，
整理得，y=−130(x−20)2+403，
∴当x=20时，y有最大值403，
∴DF的最大值为403；
【活动二】小明的想法不对，理由如下：
根据题意，可能的折法有以下两种：
折法一：如图3，可得一边长为45，
∵45>35，不符合题意；
折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形，
由题意，PN=10，
∵△PHN∽△NGM，
∴PNMN=HNGM=PHNG，
∴两个三角形的相似比为PNMN=1045=29，
设HN=2a，则GM=9a，PH=9a−30，NG=35−2a，
∴9a−3035−2a=29，
解得a=4，
∴MG=36，
∵36>35，不符合题意；
综上所述：小明的想法不正确．
【活动一】(1)根据折叠可知AB=A′B=30cm，AE=A′E，∠EA′D=∠A=90°，在Rt△EDA′中，ED2=A′E2+A′D2，可得关于AE的方程(40−AE)2=AE2+202，求出AE即可；
(2)作∠DEA′的角平分线，交CD于点F，证明△ABE∽△DEF，设AE=x，DF=y，则DE=40−x，由ABDE=AEDF，可得函数y=−130(x−20)2+403，当x=20时，DF的最大值为403；
【活动二】根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形，由△PHN∽△NGM，可求两个三角形的相似比为PNMN=29，设HN=2a，则GM=9a，PH=9a−30，NG=35−2a，能得到方程9a−3035−2a=29，求出a=4，则MG=36，不符合题意．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
28.【答案】不是 0
∴MN=3，AN=BN=2，
∴MNAM+MNBM=32+32=3≠4，
故答案为：不是；
②当C在线段AB上时，−1
∴n=m2−2m−3；
当C在点B右侧时，m>3．
由PCBC−PCAC=4，即：−n3−m−−nm+1=4，
∴n=−m2+2m+3；
当C在点A左侧时，m<−1．
由PCAC−PCBC=4，即：−n−1−m−−n3−m=4，
∴n=−m2+2m+3．
综上所述：n=m2−2m−3(−13)；
(2)由题意可知，m>3，则PCBC−PCAC=a，
如图2，设EF与x轴交于点G，
∴EF//PC，G(1,0)，
∴△AGE∽△ACP，△FGB∽△PCB，BG−AG=2，
∴EGAG=PCAC，FGBG=PCBC，
∴FGBG−EGAG=PCBC−PCAC=a，
∴FG−EG=2a，
∵FG−EG=FD+DG−(ED−DG)=2DG=6，
∴a=3；
(3)由(1)②可知，点P的运动轨迹如图2所示的抛物线(部分)上，
∵△ABP的面积为8，
∴12⋅AB⋅|yP|=8，
解得yP=−4，
若满足△ABP的面积为8的点P有且只有两个，则当−1
∴−nm+1+−n3−m=a，
∴n=a4(m2−2m−3)，
∴n=a4(12−2×1−3)>−4，
解得a<4，
由“a关联点”的定义可知，a>0，
综上，0
②根据题目给出的定义，分别给出比例，求解即可得出结论；
(2)由题意可知m>3，作出对应的图形，可得△AGE∽△ACP，△FGB∽△PCB，得出比例式并求解即可；
(3)根据题意作出点P的轨迹，由△ABP的面积为8可得出点P的纵坐标为−4，结合(1)中的计算可得出不等式，进而可得出结论．
本题属于新定义类问题，主要考查相似三角形的性质与判定，理解“a关联点”的定义是解题关键．
2023年江苏省镇江市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图所示这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是( )
A. −3a+(3a−1)=−1 B. 2a6÷a3=2a2
C. (−ab2)2=−a2b4 D. (a−1)2=a2−1
3.某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍.设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是( )
A. 378x+9=378x+1 B. 378x−9=378x+1 C. 378x−9=378x−1 D. 378x+9=378x−1
4.甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺码分别是x甲，x乙，x丙，x丁，请通过以下几句正确对话，
①甲对丙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
②丙对乙说：“我穿的鞋尺码比你大”；
③丁对甲说：“我们两个所穿的鞋的尺码加起来比他俩的尺码和小”；
判断他们所穿鞋的尺码的大小关系是( )
A. x丁
6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF(点A，E，F按逆时针排序)，则CF长的最小值为( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7.−7的相反数等于______ ．
8.使 x−2有意义的x的取值范围是 ．
9.镇江市一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物(里面是一个个小等边三角形)，该图形绕旋转中心(点O)至少旋转______ 度后可以和自身完全重合．
10.已知直线a//b，将一块含30°的Rt△ABC(∠ABC=30°,∠BAC=60°)按如图方式放置，点A，B分别落在直线a，b上，若∠1=60°，则∠2的度数为______ ．
11.2023年2月15日春运结束，春运40天，全国发送旅客约15.95亿人次，比去年同期增长50.5%，其中，数据15.95亿用科学记数法可表示为______ ．
12.若关于x的一元二次方程x2−6x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
13.小明妈妈的生日快到了，为了给妈妈一个惊喜，小明自己动手给妈妈做了一顶圆锥形的生日礼帽，量得帽子的底面圆的直径为18cm，帽子的高为12cm，则这顶帽子的侧面积为______ cm2(结果保留π)．
14.已知点A(x1,y1)B(x2,y2)在反比例函数y=8x的图象上，且x1<0
15.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，过点A的切线与CO的延长线交于点D，则∠D= ______ ．
16.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过二、三、四象限，且与x轴交于(−3,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接CD，则CD的长为______ ．
18.如图，点A(2,12)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，AB，AC分别垂直于x轴、y轴，点D在位于AB右侧的反比例函数的图象上，DE，DF分别垂直于x轴、AB.若四边形DEBF为正方形，则这个正方形的面积等于______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19.(1)解方程：3x−1=2x+1；
(2)解不等式组：2(x+2)≤3x+3x3
20.(本小题8.0分)
(1)计算： 27−3tan30°−(3−π)0；
(2)化简：(1−11−a)÷aa2−1．
21.(本小题6.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在AD，BC上，连接EF交AC于点O，且OE=OF．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若AC平分∠BCE，证明：四边形AFCE为菱形．
22.(本小题6.0分)
为保护未成年学生身心健康，防止过度使用甚至沉迷手机等问题，某校采用随机抽样的方法，抽取了部分学生，对他们一周内手机使用时间t(单位：小时)进行了调查，将收集的数据进行整理，并绘制成表格，请根据表格中的信息回答下列问题：
(1)抽取的样本容量为______ ，a= ______ ；
(2)请估计该校1200名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数；
(3)请根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
使用时间
频数
频率
t<1
4
0.08
1≤t<2
12
0.24
2st<3
10
0.20
3≤t<4
16
a
t≥4
8
0.16
23.(本小题6.0分)
如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
(2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
24.(本小题6.0分)
如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离即BC的长.(结果精确到1m，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
25.(本小题7.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点E，过点E作EF⊥CA于点F，交AB的延长线于点D．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CE= 5，sin∠ABC=2 55，求⊙O的半径．
26.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点O为坐标原点，直线OA交反比例函数图象于另一点B，点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，与点A不重合，过点A作AD//x轴，过点C作CD⊥x轴，点E为垂足，AD，CD相交于点D，连接OD，AC，BC．
(1)k= ______ ；
(2)求证：OD//BC：
(3)当∠AOD=2∠DOE时，求AC的长．
27.(本小题10.0分)
“折纸”是同学们经常做的手工活动．
【活动一】
如图1，有一张长方形纸片ABCD，AB=30cm，BC=40cm，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点A′落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E，第2次折叠，在边DC上取一点F，将∠ADC沿EF进行折叠，使得点D落在射线EA′上．
(1)如图1，在第1次折叠中，若点A′恰好落在对角线BD上，则AE= ______ ；
(2)用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕EF(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚)，并求出DF的最大值．
【活动二】
如图3，有一张四边形纸片MNPQ，已知∠MQP=∠MNP=90°，MN=45cm，MQ=35cm，PQ=30cm，小明认为他可以用一张边长为35cm的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片MNPQ一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由．
28.(本小题11.0分)
已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为(−1,0)，B点坐标为(3,0).在x轴的下方有一点P，坐标为(m,n)，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C.若点P满足：当点C在线段AB上(与A，B不重合)时，满足：PCAC+PCBC=a，当点C在点B右侧时，满足：PCBC−PCAC=a，当点C在点A左侧时，满足：PCAC−PCBC=a，其中a是常数，且a>0，则我们称点P为点A，B的“a关联点”．
(1)已知a=4．
①点M(1,−3) ______ (填“是”或“不是”)点A，B的“a关联点”；
②求点A，B的“a关联点”P的横、纵坐标m，n满足的数量关系；
(2)点P为点A，B的“a关联点”，过点(1,0)作x轴的垂线l，直线AP，BP分别与直线l相交于点E，F，点E在点F的下方，若EF的中点D的纵坐标是3，求a的值；
(3)点P是点A，B的“a关联点”，若满足△ABP的面积为8的点P有且只有两个，则a的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：D．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】A
【解析】解：−3a+(3a−1)=−3a+3a−1=−1，故选项A正确，符合题意；
2a6÷a3=2a3，故选项B错误，不符合题意；
(−ab2)2=a2b4，故选项C错误，不符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
根据去括号法则和合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据完全平方公式可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了(x+1)名学生，则：378x−9=378x+1．
故选：B．
设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了(x+1)名学生，根据“结果比原计划少用了9间宿舍”即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：x甲>x丙，x丙>x乙，x甲+x丁
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知A等级人数为20×45%=9(人)，
其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为94、94，
所以这组数据的中位数为94+942=94，
故选：C．
先求出A等级人数，再找到第10、11个数据，继而利用中位数的定义求解即可．
本题主要考查扇形统计图和中位数，解题的关键是根据扇形图得出A等级人数，并熟练掌握中位数的定义．
6.【答案】B
【解析】解：连接AC交BD于点G，连接并延长GF交BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB=2，AD=CD=2，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45°，
∵AF=EF，∠AFE=90°，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵BD⊥AC于点G，
∴∠AGB=90°，AG=CG，
∵∠AGL=∠EFL，∠ALG=∠ELF，
∴△ALG∽△ELF，
∴GLFL=ALEL，
∴GLAL=FLEL，
∵∠GLF=∠ALE，
∴△GLF∽△ALE，
∴∠LGF=∠FAE=45°，
∴∠LGF=∠FAE=45°，
∴∠LGF=∠ABD，
∴GF//AB，
∴∠GHC=∠ABC=90°，BHCH=AGCG=1，
∴GH⊥BC，BH=CH=12BC=1，
∴点F在BC的垂直平分线上运动，
∵CH⊥GH，
∴当点F与点H重合时，CF的值最小，此时CF=CH=1，
∴CG长的最小值为1，
故选：B．
连接AC交BD于点G，连接并延长GF交BC于点H，由正方形的性质得∠ABC=90°，AB=CB，AD=CD，则△ABD≌△CBD，得∠ABD=∠CBD=45°，由∠AGL=∠EFL，∠ALG=∠ELF，证明△ALG∽△ELF，则GLFL=ALEL，变形为GLAL=FLEL，而∠GLF=∠ALE，则△GLF∽△ALE，可推导出∠LGF=∠ABD，则GF//AB，所以∠GHC=∠ABC=90°，BH=CH=1，可知点F在BC的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，CF长的值最小，此时CF=CH=1，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7.【答案】7
【解析】解：−7的相反数是7．
故答案为：7．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
8.【答案】x≥2
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
当被开方数x−2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件，得
x−2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
9.【答案】60
【解析】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
根据旋转的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
10.【答案】30°
【解析】解：过点C作CD//a，
∵∠1=60°，∠BAC=60°，
∴∠ACD=180°−∠1−∠BAC=180°−60°−60°=60°．
∵∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−60°=30°，
∵直线a//b，
∴CD//b，
∴∠2=∠BCD=30°．
故答案为：30°．
过点C作CD//a，根据平行线的性质可得出∠ACD+∠1+∠BAC=180°，故可得出∠BCD的度数，据此得出结论．
本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
11.【答案】1.595×109
【解析】解：15.95亿=15.95×108=1.595×109．
故答案为：1.595×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】m>−9
【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−6，c=−m
∴Δ=b2−4ac=(−6)2−4×1×(−m)>0，
解得m>−9，
故答案为：m>−9．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】135π
【解析】解：∵帽子的底面圆的直径为18cm，
∴帽子的底面圆的半径为9cm，
∴这个圆锥的母线长为 92+122=15(cm)，
∴这顶帽子的侧面积=12×2π×9×15=135π(cm2).
故答案为：135π．
先利用勾股定理计算出这个圆锥的母线长为15cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出这顶帽子的侧面积．
本题考查了圆的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】<
【解析】解：∵k=8>0，
∴双曲线在第一，三象限，
∵x1<0
∴y1
由k=8>0，双曲线在第一，三象限，根据x1<0
15.【答案】50°
【解析】解：连接OA，
∵∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠D=∠AOC−∠OAD=140°−90°=50°，
故答案为：50°．
连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=140°，根据切线的性质得到∠OAD=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】x<−3
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点(−3,0)，
∴kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式kx+b>0的解集为x<−3，
故答案为：x<−3．
kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
17.【答案】2+2 3
【解析】解：连接BD，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB= 2AC=4，∠CAB=45°，
由旋转的性质得到：∠BAD=60°，AD=AB=4，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=DA，
∵BC=AC，
∴CD⊥AB，
∴FD= 32AD=2 3，
∵∠AFC=90°，∠BAC=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF= 22AC=2，
∴CD=CF+FD=2+2 3．
故答案为：2+2 3．
连接BD，由等腰直角三角形的性质得到AB= 2AC=4，∠CAB=45°，由旋转的性质得到：∠BAD=60°，AD=AB=4，因此△BAD是等边三角形，得到BD=DA，又BC=AC，由线段垂直平分线性质定理的逆定理得到CD⊥AB，求出FD= 32AD=2 3，由等腰直角三角形的性质求出CF= 22AC=2，得到CD=CF+FD=2+2 3．
本题考查旋转的性质，等腰直角三角形，线段垂直平分线性质定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线性质定理的逆定理证明CD垂直平分BA．
18.【答案】16
【解析】解：设正方形的边长为m，
∵点A(2,12)，
∴D(2+m,m)，
∵点A、D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴m(2+m)=2×12，
解得m=4或m=−6(舍去)，
∴这个正方形的面积=4×4=16，
故答案为：16．
设正方形的边长为m，则D(2+m,m)，由点A、D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，得出m(2+m)=2×12，解得m=4，进一步求得这个正方形的面积=4×4=16．
本题考查了比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
19.【答案】解：(1)3x−1=2x+1；
方程两边同时乘以(x−1)(x+1)得：
3(x+1)=2(x−1)，
3x+3=2x−2，
3x−2x=−2−3，
x=−5，
经检验：x=−5是原方程的解；
(2)2(x+2)≤3x+3①x3
由②得：x<3，
∴不等式组的解集是1≤x<3．
【解析】此题主要考查了解分式方程和解一元一次不等式组，注意分式方程要正确找出最简公分母，不等式组要注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时不等号的方向改变．
(1)首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可；
(2)先解第一个不等式得x≥1，再解第二个不等式得x<3，然后取公共部分即可解集．
20.【答案】解：(1) 27−3tan30°−(3−π)0
=3 3−3× 33−1
=3 3− 3−1
=2 3−1；
(2)(1−11−a)÷aa2−1
=1−a−11−a⋅(a+1)(a−1)a
=−a1−a⋅(a+1)(a−1)a
=a+1．
【解析】(1)先化简，然后计算乘法，最后计算减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AOE=∠COFOE=OF，
∴△AOE≌△COF(AAS)；
(2)证明：∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AC平分∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵AE//CF，
∴∠ACF=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
【解析】(1)根据AAS可证明△AOE≌△COF；
(2)证出OA=OC，OE=OF，得出四边形AFCE为平行四边形，证明AE=CE，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．
22.【答案】50 0.32
【解析】解：(1)本次抽取的样本容量为：4÷0.8=50，
a=16÷50=0.32，b=50×0.24=12，
故答案为：50；0.32；
(2)1200×(0.32+0.16)=576(人)，
答：估计该校1600名学生中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数约有576人；
(3)根据表格中的数据可知，超过一半的学生一周“手机使用时间”达到3小时及以上，给学校的建议是：近期组织一次家长会，就学生们的“手机使用时间”进行强调，要求家长监管好孩子们的手机使用时间，要少于3小时．(答案不唯一)．
(1)根据统计表中的数据，可以计算出本次抽取的样本容量，然后即可计算出a的值；
(2)用1200乘样本中一周“手机使用时间”达到3小时及以上的人数所占比例即可；
(3)根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
本题考查统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出本次调查的人数．
23.【答案】解：(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P(所画三角形是等腰三角形)=14；
(2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P=412=13．
【解析】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．
(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
(2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
24.【答案】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO=7×5=35(米)，OC=4×5=20(米)，OE=BD，OE//BD，
∴∠EOC=∠OCD=45°，
∵∠AOC=75°，
∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°，
在Rt△OCD中，CD=OC⋅cos45°=20× 22=10 2(米)，
在Rt△AOE中，OE=AO⋅cos30°=35× 32=35 32(米)，
∴OE=BD=35 32(米)，
∴BC=BD−CD=35 32−10 2≈16(米)，
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为16米．
【解析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO=35米，OC=20米，OE=BD，OE//BD，从而可得∠EOC=∠OCD=45°，进而可得∠AOE=30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBC，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠C，
∴OE//AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥半径OE，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，
∵AC=AB，
∴CE=BE= 5，
∵sin∠ABC=BEAB=2 55，
∴AB=52，
∴⊙O的半径为54．
【解析】(1)首先连接OE，由在△ABC中，AB=AC，易证得OE//AC，又由过点E作EF⊥AC于点E，即可得OE⊥EF，证得DF是⊙O的切线；
(2)根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD=BD，设BD=x，则AB=3x，由勾股定理得到AD=2 2x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26.【答案】6
【解析】(1)解：∵点A(1,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k1=6，
解得：k=6；
故答案为：6；
(2)证明：∵A(1,6)，点A与点B关于原点O对称，
∴B(−1,−6)，
∵点C是反比例函数位于第一象限的图象上的任意一点，
∴设C(a,6a)，
∵AD//x轴，CD⊥x轴，
∴D(a,6)，
设直线OD的解析式为y=k1x(k1≠0)，
将点D(a,6)代入得，ak1=6，
解得：k1=6a，
∴直线OD的解析式为y=6ax，
设直线BC的解析式为y=k2x+b(k2≠0)，
将B(−1,−6)，C(a,6a)代入得，−k2+b=−6ak2+b=6a，
解得：k2=6ab=6a−6，
∴直线BC的解析式为y=6ax+6a−6，
∵k1=k2=6a，
∴OD//BC；
(3)解：如图，设AC与OD交于点F，
由对称性可知，OA=OB，
由(2)知，OD//BC，
∴OAOB=AFCF，
∴AF=CF，即点F为AC的中点，
∵AD//x轴，CD⊥x轴，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC=90°，
∴AF=CF=DF，
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD//x轴，
∴∠ADF=∠DOE，
∵∠AFO=∠DAF+∠ADF=2∠ADF=2∠DOE，
∵∠AOD=2∠DOE，
∴∠AFO=∠AOD，
∴AO=AF，
∴AC=2AF=2AO，
∵OA= (1−0)2+(6−0)2= 37，
∴AC=2AO=2 37．
(1)将点A(1,6)代入反比例函数解析式中即可求解；
(2)由对称性可得B(−1,−6)，设C(a,6a)，则D(a,6)，再利用待定系数法求出直线OD和直线BC的解析式，以此即可判断；
(3)设AC与OD交于点F，由对称性可知OA=OB，根据平行线分线段成比例可得AF=CF，易得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得AF=CF=DF，进而得到∠DAF=∠ADF，由两直线平行，内错角相等得∠ADF=∠DOE，由三角形外角性质得∠AFO=2∠ADF=2∠DOE，于是可得AO=AF，则AC=2AF=2AO，再利用两点间距离公式求出AO即可求解．
本题主要考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数的图象与性质、两直线平行在函数中的应用、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，利用直角三角形斜边上中线性质得到∠DAF=∠ADF，在通过角度转化将AC的长度与AO的长度相关联时解题关键．
27.【答案】15cm
【解析】解：【活动一】(1)由折叠可知AB=A′B=30cm，AE=A′E，∠EA′D=∠A=90°，
∵AB=30cm，BC=40cm，
∴BD=50cm，
∴A′D=20cm，
在Rt△EDA′中，ED2=A′E2+A′D2，
∴(40−AE)2=AE2+202，
解得AE=15cm，
故答案为：15cm；
(2)如图2，作∠DEA′的角平分线，交CD于点F，
由折叠可知，∠AEB=∠A′EB，∠A′EF=∠DEF，
∴∠BEF=90°，
∴△ABE∽△DEF，
设AE=x，DF=y，则DE=40−x，
∵△ABE∽△DEF，
∴ABDE=AEDF，
∴3040−x=xy，
整理得，y=−130(x−20)2+403，
∴当x=20时，y有最大值403，
∴DF的最大值为403；
【活动二】小明的想法不对，理由如下：
根据题意，可能的折法有以下两种：
折法一：如图3，可得一边长为45，
∵45>35，不符合题意；
折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形，
由题意，PN=10，
∵△PHN∽△NGM，
∴PNMN=HNGM=PHNG，
∴两个三角形的相似比为PNMN=1045=29，
设HN=2a，则GM=9a，PH=9a−30，NG=35−2a，
∴9a−3035−2a=29，
解得a=4，
∴MG=36，
∵36>35，不符合题意；
综上所述：小明的想法不正确．
【活动一】(1)根据折叠可知AB=A′B=30cm，AE=A′E，∠EA′D=∠A=90°，在Rt△EDA′中，ED2=A′E2+A′D2，可得关于AE的方程(40−AE)2=AE2+202，求出AE即可；
(2)作∠DEA′的角平分线，交CD于点F，证明△ABE∽△DEF，设AE=x，DF=y，则DE=40−x，由ABDE=AEDF，可得函数y=−130(x−20)2+403，当x=20时，DF的最大值为403；
【活动二】根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片MNPQ展开得长方形，由△PHN∽△NGM，可求两个三角形的相似比为PNMN=29，设HN=2a，则GM=9a，PH=9a−30，NG=35−2a，能得到方程9a−3035−2a=29，求出a=4，则MG=36，不符合题意．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
28.【答案】不是 0
∴MN=3，AN=BN=2，
∴MNAM+MNBM=32+32=3≠4，
故答案为：不是；
②当C在线段AB上时，−1
∴n=m2−2m−3；
当C在点B右侧时，m>3．
由PCBC−PCAC=4，即：−n3−m−−nm+1=4，
∴n=−m2+2m+3；
当C在点A左侧时，m<−1．
由PCAC−PCBC=4，即：−n−1−m−−n3−m=4，
∴n=−m2+2m+3．
综上所述：n=m2−2m−3(−1
(2)由题意可知，m>3，则PCBC−PCAC=a，
如图2，设EF与x轴交于点G，
∴EF//PC，G(1,0)，
∴△AGE∽△ACP，△FGB∽△PCB，BG−AG=2，
∴EGAG=PCAC，FGBG=PCBC，
∴FGBG−EGAG=PCBC−PCAC=a，
∴FG−EG=2a，
∵FG−EG=FD+DG−(ED−DG)=2DG=6，
∴a=3；
(3)由(1)②可知，点P的运动轨迹如图2所示的抛物线(部分)上，
∵△ABP的面积为8，
∴12⋅AB⋅|yP|=8，
解得yP=−4，
若满足△ABP的面积为8的点P有且只有两个，则当−1
∴−nm+1+−n3−m=a，
∴n=a4(m2−2m−3)，
∴n=a4(12−2×1−3)>−4，
解得a<4，
由“a关联点”的定义可知，a>0，
综上，0
②根据题目给出的定义，分别给出比例，求解即可得出结论；
(2)由题意可知m>3，作出对应的图形，可得△AGE∽△ACP，△FGB∽△PCB，得出比例式并求解即可；
(3)根据题意作出点P的轨迹，由△ABP的面积为8可得出点P的纵坐标为−4，结合(1)中的计算可得出不等式，进而可得出结论．
本题属于新定义类问题，主要考查相似三角形的性质与判定，理解“a关联点”的定义是解题关键．
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