2023年江苏省常州实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省常州实验中学中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若长度是，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则这个圆锥的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，由图中的尺规作图得到的射线与交于点，则以下推断错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

10.  据统计，届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为人，总量和增量均为近年之最，将用科学记数法表示为______．

11.  菱形中，对角线，，则菱形的边长为______．

12.  若关于的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是______．

13.  如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的大小是______

14.  在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别是，平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是______ ．

15.  如图，在矩形中，为上的点，，，则          ．
 

16.  如图，，是双曲线上的两点，连接，过点作轴于点，交于点若为的中点，的面积为，点的坐标为，则的值为______．

17.  如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形图中所示的阴影部分，其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是______ ．

18.  如图，在中，，，为中点，在线段上，，则          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．

若前四局双方战成：，那么甲队最终获胜的概率是________；

现甲队在前两周比赛中已取得：的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？

四、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
解方程：；
．

22.  本小题分
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：的一组数据，将所得数据分为四组：；：；：；：，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次一共抽样调查了______ 名学生；
求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的大小，并将条形统计图补充完整；
若该校共有名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．

23.  本小题分
如图，在▱中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

24.  本小题分
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．
求甲乙两种类型笔记本的单价．
该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不超过甲的倍，则购买的最低费用是多少．

25.  本小题分
如图，点是的直径延长线上的一点，点是线段的中点．
尺规作图：在直径上方的圆上作一点，使得，连接，保留清晰作图痕迹，不要求写作法；并证明是的切线；
在的条件下，若，，求的长．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．

27.  本小题分
我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．
概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如______ 是等邻角四边形；
问题探究：
如图，在等邻角四边形中，，，的垂直平分线恰好交于边上一点，连接，，试探究与的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
如图，在与中，，，，将绕着点顺时针旋转角得到如图，当四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．
 

28.  本小题分
如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；
若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C、根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握修改运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：长度是，，的三条线段能组成一个三角形，
，
，
只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：．
根据三角形三边关系定理得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理是解此题的关键，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：底面圆的直径为，
底面圆的半径为，
圆锥的侧面积
故选：．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，
，
．
，
．
平分，
．
．
故选项B正确；
．
．
故选项A正确；
，
故选项C正确；
在中，，
又，
故选项D错误．
故选：．
根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了顶角为的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
根据，，求出，，并利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出四边形的面积．
本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故选：．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】计算即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

解：四边形是菱形，
，，，

故答案为：
根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，关于的方程有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式，即，
解得，
又，
，
满足条件的所有整数为、、、、、共计个，其中负数有、、共计个，
满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是．
故答案为：．
根据题意，由关于的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为、、、、、共计个，其中负数有个，由简单概率的计算公式即可得出结果．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设交于点．
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
证明，可得结论．
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，平移得到线段，若点的对应点的坐标为，
平移规律为横坐标减，纵坐标减，
，
，，
点的坐标为．
故答案为：．
根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
用含有的代数式表示，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边角关系和等腰三角形的性质是正确解答的前提．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
，
设，则，，
，
在中，，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：为的中点，的面积为，
的面积为，
．
解得：．
故答案为：．
应用的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为的面积．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线与轴交于点，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
第个等腰直角三角形的面积为；
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
第个等腰直角三角形的面积为；
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
第个等腰直角三角形的面积为；
当时，，
第个等腰直角三角形直角边的长为，
第个等腰直角三角形的面积为；
，
第个等腰直角三角形直角边的长为，面积为为正整数．
当时，，
即第个等腰直角三角形的面积是．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，面积为为正整数”，再代入，即可求出结论．
本题考查了规律型：数的变化、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据各等腰直角三角形面积的变化，找出变化规律“第个等腰直角三角形直角边的长为，面积为为正整数”是解题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例．
利用平行线分线段成比例，分两种情况解答即可．
【解答】
解：为中点，
．

当时，
．
当与不平行时，，．

故答案是：或．

19.【答案】解：；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为，
所以甲队最终获胜的概率． 

【解析】

解：甲队最终获胜的概率是；
故答案为；
见答案．
【分析】
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．  

20.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
或，
解得，；
去分母，得，
解得，
检验：当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为． 

【解析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程两边乘以得到，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．
 

22.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
表示组的扇形圆心角的度数为；
组人数为名，
补全图形如下：

名．
答：估计该校最近两周有名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
由组人数及其所占百分比求出总人数；
用乘以组人数所占比例即可；根据总人数求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
解：四边形是平行四边形，四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
即四边形的面积为． 

【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质和矩形的性质得，，则，，再由勾股定理求得，然后由梯形的面积公式即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为元，乙类型的笔记本单价为元；
设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本购买了件，购买总费用为元，
由题意得，，且
，
，
，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
答：最低费用为元． 

【解析】设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，列出分式方程，从而解决问题；
设甲类型笔记本购买了件，总费用为元，则乙类型的笔记本购买了件，列出关于的函数解析式，再根据的范围可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，点即为所求；

证明：点是线段的中点，
，
，
，
，，
，
，
，且是的半径，
是的切线．
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得．
则的长为． 

【解析】利用尺规作图：以点为圆心，长为半径画弧，在直径上方的圆上交一点，再根据已知条件可得，根据三角形内角和可得，进而证明是的切线；
在的条件下，根据，，可得的长，进而可得半径长度，再根据勾股定理即可求的长．
本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
 

26.【答案】解：一次函数与坐标轴分别交于，两点，
，
解得．
一次函数的解析式为：，
的面积为．
，
，
点在一次函数图象上，
令，
解得，

点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为：；
令，解得或，
，
作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，



，
直线的解析式为：．
令，解得．
．


．
当最小时，的面积为． 

【解析】根据待定系数法可求出直线的解析式，根据的面积可得出点的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
 

27.【答案】直角梯形或矩形或正方形答案不唯一 

【解析】解：直角梯形或矩形或正方形；
故答案为：直角梯形或矩形或正方形答案不唯一；
，理由为：
连接，，如图所示：

是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，，
，，即，
，
≌，
；
分两种情况考虑：
当时，延长，交于点，
如图所示，

，
，
设，
由勾股定理得：，
解得：，
过点作于，
，
∽，
，即，
解得：，
；，
则；
当时，过点作于点，
如图所示，

四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，，
则．
综上所述，为或．
直角梯形或矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
，理由为：连接，，如图所示，根据、分别为、的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
分两种情况考虑：当时，延长，交于点，如图所示，由，求出四边形面积；当时，过点作于点，如图所示，由，求出四边形面积即可．
此题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
 

28.【答案】解：把代入得，
解得．
这个抛物线的解析式为：；
抛物线的解析式为：，
，对称轴为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，
轴，
，
由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大，
矩形的周长，
当时，矩形周长的最大值，
此时点的坐标为；
设，，
分两种情况：
当为平行四边形的对角线时，如图，

，，
，解得，
，
点的坐标为；
当为平行四边形的边时，如图，

，，
或，，解得或，
，
点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或． 

【解析】把代入，解方程求得的值，即可得抛物线的解析式；
求出直线的解析式，设，则，，表示出矩形的周长，根据二次函数的最值即可求解；
设，，分两种情况：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边时，利用平行四边形的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．