2023年江苏省镇江市八校联考中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省镇江市八校联考中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，中国旅游研究院发布的中国旅游经济蓝皮书预测，年我国国内旅游人数将达到亿人次，同比增长约，恢复到年的；实现国内旅游收入约万亿元，同比增长约，恢复到年的将亿用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征小乐：它有个面是三角形；小欣：它有条棱则该几何体模型的形状可能是(    )

A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱

4.  漏刻如图是我国古代的一种计时工具据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是李明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在二次函数图象上的两点、，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，菱形的边长为，，点为边的中点点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7.  的平方根是          ．

8.  若分式在实数范围内有意义，则 的取值范围是          ．

9.  因式分解：______．

10.  一元二次方程的根是______．

11.  如图，点、、、、是圆上的五等分点，该图形绕点至少旋转______ 度后与自身重合．

12.  如图，直线，将一个含有角的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则的度数是______ ．

13.  已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是______ ．

14.  锥的底面直径是，母线长是，这圆锥的侧面积是______ ．

15.  如图，点在的边上，且：：，过点作，交于点，连接，则与的面积之比为______ ．

16.  在九年级数学实验手册中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系现有如图所示的等边三角形，边长为，若分别以顶点、、为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖，则所作等圆的最小半径是______ ．

17.  已知点在双曲线上，则的最小值为______ ．

18.  如图，在矩形中，，，的顶点在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
化简：．

20.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
设是一个两位数，若是小于等于的正整数，是可以被整除的非负整数，用树状图或者列表法求这个数能被整除的概率．

22.  本小题分
镇江市某中学计划成立学生社团，为了解学生对不同社团的喜爱情况，学校随机抽取部分学生进行了“我最喜爱的学生社团”的问卷调查，每位学生只能在“文学社团”、“科技社团”、“书画社团”、“体育社团”和“其他”五项中选择一项学校调查、整理数据之后，绘制了如下两个不完整的统计图表．

请解答下列问题：
______ ， ______ ；
在扇形统计图中，“文学社团”所对应的扇形圆心角度数为______ ；
若该校共有名学生，请你估计该校学生中选择“书画社团”的总人数．

23.  本小题分
某运动服装品牌旗舰店在三月分批购进款卫衣和款训练裤共计件款卫衣的进价是每件元，售价是每件元；款训练裤的进价是每条元，售价是每条元店长在四月初盘账时发现，款卫衣和款训练裤深受青少年欢迎，三月所进的货销售一空，且一共获利元，请问该旗舰店在三月共购进多少件款卫衣？

24.  本小题分
如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，两条角平分线在平行四边形内部交于点，连接，．
求证：点是中点；
若，，则的长为______ ．

25.  本小题分
如图，点和点都在反比例函数的图象上，作直线．
______ ， ______ ；
点为轴上一点，若的面积等于，求点坐标．

26.  本小题分
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在处时，测得无人机处的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达处，此时测得迎面飞来的无人机处的仰角为，平行于地面直线设点与点的水平距离为．
请用含的代数式表示点与点的铅垂距离：______ ；
求点离地面的距离参考数据：，，，，，，结果精确到

27.  本小题分
如图，的边上有一点，以点为圆心，为半径作圆，与边的另一交点为点，过点作的切线，点在射线上．
仅用圆规，在边上求作一点不与、重合，使、所在直线与互相垂直保留作图痕迹；
连接交于点，，若的半径为，求长；当的半径为多少时，取最大值？

28.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点．

求二次函数表达式和点的坐标；
连接、，求外接圆的半径；
点为轴上的一个动点，连接，求的最小值；
如图，点为对称轴右侧的抛物线上一点，且点的纵坐标为，动点从点出发，沿平行于轴的直线向右运动，连接，过点作的垂线，记直线与抛物线对称轴的交点为，当直线与直线重合时运动停止，请直接写出点的运动总路程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方计算法则及同底数幂除法计算法则分别计算判断．
此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方计算法则及同底数幂除法计算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：几何体有个面是三角形，
几何体不能是棱柱棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形；
又几何体有条棱，而四棱锥有条棱，
选项中只有选项符合题意；
故选：．
根据几何体有个面是三角形，有条棱进行判断即可．
本题考查几何体的判断．熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设过点和点的函数解析式为，
则，
解得，
即，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故选：．
不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：将、代入二次函数，
，，
，
，
．
故选：．
将、代入二次函数求解即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数与不等式关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，

菱形的边长为，，
，是等边三角形，
点为边的中点，
，，，
点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，
，
，
∽，
，
，，
必经过点，
，，
点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆，
当点达到点时，点达到点，，
点点运动路径长是的长，
，，
，
的弧长，即点点运动路径长是．
故选：．
如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，∽，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】
解：因为的平方是，
所以的平方根是．
故答案为：
【点评】
本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题关键．  

8.【答案】 

【解析】解：分式在实数范围内有意义，
的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
直接运用平方差公式分解因式．
【解答】
解：．
故答案为．  

10.【答案】， 

【解析】解：移项，得，
提公因式得，，
或，
，．
故答案为：，．
先移项，再提公因式，使每一个因式为，从而得出答案．
本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：外围五等分所得圆弧旋转至少后与自身重合，旋转任意角度后与自身重合，至少旋转后与自身重合，整个图形至少旋转后与自身重合．
故答案为：．
分别找出外围五等分所得圆弧、、各自至少旋转至少度后与自身重合，综合即可求解．
本题考查了旋转对称图形的定义，理解定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，

，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
过点作，由得到，则，，由得到，由三角形外角的性质得到，即可得答案．
此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：、、、、有唯一众数，
、、、、这组数中的众数为，
、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，
、、的平均数为，
，
这个数从小到大排列一次是：、、、、、、、，
这个数的中位数是．
故答案为：．
先求出的值，再求出中位数，求一组数据的中位数是将这组数据从小到大排列，再求这组数据中间的数，即为中位数．
本题考查中位数、众数和平均数的求解方法，解题的关键是掌握相关概念，进行数据分析．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的底径是，
底面长，
故答案为．
首先得圆锥的底面周长，即侧的长，然后根据形的面积式求解．
本考查的圆的计算，正确理解锥侧面展开与原来的扇形之间关系是解本题的关键理圆锥的母线长扇形的径圆锥的底圆周长是扇形的弧长是解答此题的键．
 

15.【答案】： 

【解析】解：，
，，
∽，
：：，
，则 ，
：：，
故答案为：：．
根据得出∽，进而得出，即可进行解答．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等高的三角形，面积比等于底的比．
 

16.【答案】 

【解析】解：当三个等圆相交于一点时，此时恰好能完全覆盖，
设这个点为，连接、、，此时或或是所作等圆的最小半径，
为等边三角形，
，，
由题意可知：，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
延长交于点，
，平分，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
所作等圆的最小半径为：．
故答案为：．

根据等边三角形的性质及全等三角形的判定得到≌，≌，再利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得到，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：将点代入双曲线，
得：，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
将点代入双曲线得到，由得出，从而求出的最小值．
本题考查反比例函数的坐标与完全平方式，解题的关键是掌握由得出．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，如图，

，
，，，四点共圆，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
定值，
点在射线上运动，当时，的值最小，
四边形是矩形，
，，．
，
，
，
，
，
的最小值．
故答案为：．
过点作于点，连接由推出，，，四点共圆，证明定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，求出，，可得结论．
本题考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则计算即可；
根据分式的运算法则化简即可．
本题考查了实数的混合运算，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分式的化简，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
 

20.【答案】解：
方程两边同乘得：，
解得：
检验：把代入得：，
是原方程的解．
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可；
分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解不等式组和分式方程，解题的关键是准确计算，注意分式方程最后要进行检验．
 

21.【答案】解：根据题意可知、、、；、、、；
画出树状图如下：

共有种情况，这个数能被整除的情况有种情况，
被整除概率为． 

【解析】根据题意先求出、可能的值，再画树状图，根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图及概率公式，正确的画出树状图是解答本题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：调查的总人数是人，
则人，
则人；
“文学社团”所对应的扇形圆心角度数是；
估计该校学生中选择“书画社团”的人数是人．
根据体育社团的人数是人，所占的百分比是即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得和的值；
利用乘以对应的百分比求解；
利用总人数乘以对应的百分比求解．
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键．
 

23.【答案】解：设该旗舰店在三月共购进件款卫衣，由题意得：
，
解得：；
答：该旗舰店在三月共购进件款卫衣． 

【解析】设该旗舰店在三月共购进件款卫衣，然后根据题意可列方程进行求解．
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
 

24.【答案】 

【解析】证明：如图，

平行四边形，
，，
，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即点是中点；
解：
，
平分，
，
，
，
又，
，
同理：，
，，
，
，
．
利用平行线的性质和角平分线的定义可证，进而得到，利用等腰三角形的性质与判定可得，即可得证；
先求，然后证明，，最后利用线段的和差关系即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：点和点都在反比例函数的图象上，
，，
，．
故答案为：，．
解：连接、，作轴于，轴于，
由知，，，待定系数法得：，

直线于轴交点，
的面积等于，
，
，
，
即点的坐标为．
同理得：，
故点的坐标为：或．
由已知可得，，求解即可解答．
连接、，作轴于，轴于，由可得点坐标，再根据的面积等于，即可解答．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，掌握三角形面积公式是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作交延长线于点，
根据题意得：，，
在中，，
即点与点的铅垂距离为；
故答案为：；

过点作交延长线于点，交直线于点，则，，

根据题意得：，
，
在中，，
，
解得：，
．
即点离地面的距离为．
连接，过点作交延长线于点，在中，根据锐角三角函数，即可求解；
过点作交延长线于点，交直线于点，则，，根据题意得：，可得，在中，根据锐角三角函数，可得的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
 

27.【答案】解：作图痕迹如图所示；

解：连接、，

设，由知，则，
，，
，
是切线，
，
又，
，
，
解得：，
的长为；
设，半径为，
同理得：；
化简得：；



，
当的半径为时，取最大值． 

【解析】以点为圆心，为半径画弧，与交于点，连接，即为所作；
连接、，设，由知，则，由半径和求得，再根据切线的性质和勾股定理得，列出方程求解即可；同的方法得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握知识点，运用方程的思想是解题的关键．
 

28.【答案】解：把和点代入得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
，
点的坐标为；
把代入得，
，
，，，
，，，
，
，
外接圆半径；
过点作于点，作关于轴的对称线段，
则，点关于轴的对称点在上，，
，，
∽，
，
，

当点、、三点共线且时，取最小值，即为的长度，

，
，即的最小值为．

连接，
把代入得，
解得：，，
，
，，
设，，
，，，，
根据勾股定理可得：，
，
整理得：，
，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
动点从点出发，直线与直线重合时运动停止，，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，点经过的路程为：，
当时，点经过的路程为：，
点经过的总路程为：．
 

【解析】把和点代入求出和的值，即可得出函数表达式，将其化为顶点式，即可求出点的坐标；
先求出点的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，，，根据勾股定理逆定理，得出，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；
过点作于点，作关于轴的对称线段，
则，点关于轴的对称点在，，通过证明∽，得出，则
当点、、三点共线时，取最小值，即为的长度，用等面积法求出的长度即可；
连接，先求出点，根据，，可设，，再根据两点之间的距离公式得出，，，，然后根据勾股定理可得：，即可得出关于的表达式，将其化为顶点式后可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，再求出当时，点经过的路程为，以及当时，点经过的路程为，即可求解．
本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．