2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省周口市太康县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.中国国务院总理李克强月日向十四届全国人大一次会议作政府工作报告，用一系列数字勾勒出今年中国发展主要预期目标根据政府工作报告安排，年城镇新增就业万人左右，城镇调查失业率左右，用科学记数法表示，精确到百万，万人可以表示为人．(    )

A.  B.  C.  D.

3.正方体的每个面上都写有一个数字，如图是一个正方体的展开图，则与汉字“社”字相对的是汉字(    )

A. 构
B. 建
C. 和
D. 会

4.下列运算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.张静同学和王欢同学在参加中考体育立定跳远项目的次模拟测试中，成绩整理后统计如下：

对比两个同学的成绩，从成绩发挥的稳定性考虑，应该选取(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6.不等式组的解集在数轴上可以表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.定义运算：例如：则方程的根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.如图，菱形中，边长，分别以、为圆心，大于为半径作圆弧，分别在的两侧交于点、，连接分别交、于点、，若，则菱形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，平面直角坐标系中，有一个矩形，边在轴上，边在轴上，，将矩形绕着点顺时针旋转度，得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，依次旋转下去，则经过第次旋转，点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性如图，矩形的顶点和分别在轴和轴上，且，向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.计算： ______ ．

12.如图，是一副三角板拼成的图形，边和在同一条直线上，则 ______ ．

13.甲、乙、丙人随机站成一排，甲站在中间的概率为______ ．

14.等腰中，，，为的中点，以为圆心，为半径作扇形，且，、分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.如图，在正中，，，、分别为、的中点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.本小题分
为了调查同学们对新冠病毒传播及防护知识的了解情况，某市教育主管部门联合市疾控防治中心、市卫健委从全市万名中小学生中，抽取若干名学生进行“新冠病毒防控知识综合测试”，测试成绩进行整理后分成了组，并根据成绩统计情况绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．

请你补全条形统计图；
在这次抽样调查中，样本容量是______ ，分数为分的学生所占的百分比 ______ ，分数为分的学生在扇形统计图中所占的扇形的圆心角为______ ；
若分数为∽分的学生分数分布如下表：

则这组数据的中位数为______ 分；
若成绩为分以上为优秀，则预计全市万中小学生中，成绩达到优秀的学生大约有多少人？请你结合上面的数据，对某市的中小学生对新冠病毒传播及防护知识的教育普及情况向教育主管部门做出评价或提出合理化的建议．

18.本小题分

如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
求和的值；
求点的坐标，并根据图象直接写出关于的不等式的解集；
连接，，求的面积．

19.本小题分
建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型：
如图，先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有．
模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为．
请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：，

20.本小题分
如图，以为直径的交的斜边于点，点为射线上一动点连接交于点．
若，则是的切线；
若的直径，，在满足的条件下，求和的长；
如图，若，，点为上一个动点当四边形为平行四边形时，直接写出和的长．

 

21.本小题分
五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进、两种商品已知购进件商品和件商品，需元；购进件商品和件商品，需元．
、两种商品的进货单价分别是多少？
设商品的销售单价为单位：元件，在销售过程中发现：当时，商品的日销售量单位：件与销售单价之间存在一次函数关系，、之间的部分数值对应关系如表：

请写出当时，与之间的函数关系式；
在的条件下，设商品的日销售利润为元，当商品的销售单价元件定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

22.本小题分

如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点为抛物线上一动点，且为直角三角形，求点的坐标；
点为点关于抛物线的对称轴的对称点，为抛物线上上一动点，求面积的取值范围．

23.本小题分

发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：≌；

探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．

拓展：如图，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 

【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“会”与面“和”相对，面“社”与面“建”相对，“谐”与面“构”相对．
故在该正方体中与汉字“社”字相对的是汉字“建”．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
此题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

4.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
与不是同类二次根式，无法继续运算，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据整式的加法法则判定选项；根据幂的乘方和积的乘方判定选项；根据二次根式的加法运算法则判定选项；根据完全平方公式判定选项．
本题考查整式的加法、乘法运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方运算法则，二次根式的加法运算法则，完全平方公式是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：对比两个同学的成绩，从成绩发挥的稳定性考虑，应该选取方差，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

6.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
，
，
或，
，．
故选：．
利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
过点作于点解直角三角形求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

9.【答案】 

【解析】解：由题意，，，，，
，
四次应该循环，
，
在轴上，坐标为，即．
故选：．
根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，
的坐标是，的坐标是，
，，
由题意知，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
的坐标为
故选：．
作轴于，轴于，由的坐标是，的坐标是，得到，，由直角三角形的性质求出，，因此，由平行线等分线段定理得到，求出，由三角形中位线定理，求出，即可得到的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，关键是由以上知识点求出，的长．

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可求解．
本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值的性质，算术平方根的定义是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意可得，，的度数，利用三角形外角和定理可求得的度数，继而可得的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

13.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为，
所以甲站在中间的概率．
故答案为．
先树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲站在中间的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．．

14.【答案】 

【解析】解：连接，作，．

，，
，
点为的中点，
，四边形是正方形，，
则扇形的面积是：，
，点是的中点，
平分，
，，
，
，
，
则在和中，
，
≌，

则阴影部分的面积是：，
故答案为：
连接，作，证明≌，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明≌，得到是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，
是等边三角形，，，
，，
，
、分别为、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
作于点，则，
，，
，
，
故答案为：．
取的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，由等边三角形的性质得，，则，由三角形的中位线定理得，，，，则四边形是平行四边形，所以，作于点，则，，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

16.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和加法的计算法则．

17.【答案】       

【解析】解：样本容量为，
分的学生人数有，
补全条形统计图：

由得样本容量是，
分数为分的学生所占的百分比，
分数为分的学生在扇形统计图中所占的扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
总共个数据，中位数为第和第个的平均数，即；
故答案为：；
万人，
接近的同学们对新冠病毒传播及防护知识的了解较好，下一步要加大宣传力度，进一步提高中小学生对新冠病毒传播及防护知识的成绩．
答：预计全市万中小学生中，成绩达到优秀的学生大约有万人．
根据分数为分的人数和百分比求出样本容量，用乘以分的学生所占的百分比求出人数即可补全条形统计图；
由得样本容量，用分数为分的学生人数除以即可得所占的百分比，用乘以分数为分的学生的百分比即可求出扇形统计图中所占的扇形的圆心角度数；
根据中位数的定义即可求出答案；
用万乘以分以上的百分比即可．
本题考查条形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体和扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

18.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
点在一次函数的图象上，
，
；
点在反比例函数的图象上，
，
点的坐标为，
观察图象，关于的不等式的解集为；
设直线与轴的交点为，
令，则得，，解得，
，
． 

【解析】将代入反比例函数得，，将点代入中，解方程即可得出；
根据点在反比例函数图象上，可得的坐标，根据图象可得解集；
求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．

19.【答案】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：米，米，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
塔高达米，
米，
桅杆天线的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

20.【答案】证明：连接，，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是切线；
解：过点作于，

在中，
，
，
，
 在中，
，
在中，，
在中，，
由可知，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
解得：，
；
解：连接，

根据勾股定理得：
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
是中点，
是的中位线，
，
． 

【解析】证明即可，由同角余角相等证明，由等边对等角可得，，再由等量代换可得，所以，即；
求得为，再根据面积求长为，从而在中求长为；因为，所以在中求的值，在中根据三角函数可求，从而可根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理求，；
求得，再根据面积求长，根据勾股定理得到的长，由平行四边形性质可知，，，由平行线分线段成比例定理可得，故求得，故得，所以是中点，从而是中位线，所以．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．

21.【答案】解：设、两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得：，
解得：，
、两种商品的进货单价分别是元件、元件；
设与之间的函数关系式为，将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：


，
当时，取得最大值，
当商品的销售单价定为元件时，日销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设、两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得关于、的二元一次方程组，求解即可；
设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．

22.【答案】解：把点，， 三点的坐标代入函数解析式，
得，
解得．
抛物线的解析式为；
设点坐标，
，，
，，，
若是直角三角形，则分三种情况：
当时，，即，
解得，舍或，
；
当时，如图，以的中点为圆心，为半径作圆，该圆与抛物线无交点，故此时不存在；

当时，，即，
解得，舍或，
；
故当为直角三角形时，点的坐标为或；
抛物线的对称轴为，
点关于对称轴的对称点为，
直线解析式为，
如图，作轴于点，交于点，作轴于点，





，
设点，则，
，

，
当时，的面积最大，最大值是；当与或重合时，最小面积为．
． 

【解析】把点，， 三点的坐标代入函数解析式与，利用待定系数法求解；
设点坐标，分别表达，，，根据勾股定理建立方程，解之即可；
由对称可得出点的坐标，进而可求出直线解析式为；设点，则，作轴于点，交于点，作轴于点，由，由二次函数的性质可求出的最大值；当与或重合时，最小面积为由此可得结论．
本题是二次函数的综合题，主要掌握二次函数上点的坐标特点，直角三角形的性质，三角形的面积及二次函数的性质等知识；熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．

23.【答案】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，，
，，
在和中

≌；
解：延长，交于，如图：

设，
在中，，
，解得，
，
，，
∽，
，即，
，，
，，
∽，∽，
，即，
，
设，则，
，
∽，
，即，解得，
的长为；
解：Ⅰ当时，延长交于，过作于，如图：

设，，则，
，
∽，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即，
，
，，，
在中，，
，
联立可解得，
；
Ⅱ当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：


设，，则，，
，
∽，
，
，
同理，，即，
，

，，，
由，，
联立，解得，
，
综上所述：的长为或． 

【解析】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证≌；
延长，交于，设，在中，有，得，，由∽，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
分两种情况：Ⅰ当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有，在中，，可解得，；
Ⅱ当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．