2023年河南省周口市西华县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省周口市西华县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，河南省粮食总产量连续年稳定在亿斤以上，并再次迈上亿斤台阶，为端牢中国饭碗、稳定经济基本盘提供了有力支撑，为保障国家粮食安全持续贡献河南力量，数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来”，那么在正方体的表面与“”相对的汉字是(    )

A. 一 B. 起 C. 向 D. 未

4.  如图，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，对角线与相交，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  现有张卡片，正面上分别标有汉字我、爱、中、华，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻图中的传感器，的阻值随载盘台所载质量的变化而变化如图，已知空载盘的质量为，电源电压保持不变，提示器的电阻恒为，则下列说法不正确的是(    )

A. 载盘台所载质量越大，传感器的阻值越小
B. 当时，的阻值为
C. 当时，提示器不会发出提示音
D. 当时，提示器会发出提示音

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是        ．

12.  不等式组的解集为        ．

13.  已知点，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是        ．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为          结果保留．

15.  如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 ______ 时，是以为腰的等腰三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查．现从八、九年级各随机抽取了名学生的调查结果满分为分，分数用表示，共分成四组：：，：，：，：进行整理、描述和分析，当分数不低于分说明心理健康，下面给出部分信息．
八年级随机抽取了名学生的分数是：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九年级随机抽取了名学生的分数中，、两组数据个数相等，、两组的数据是：
，，，，，，，，，

根据以上信息，回答下列问题：
填空：______；______；______；
根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由写出一条理由即可．
若该校八年级有名学生，九年级有名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？

18.  本小题分
如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，．
 

求，的值；

求的面积．

19.  本小题分
新四军杜岗会师纪念碑位于河南省西华县县城北公里的红花镇杜岗村，纪念碑是杜岗会师纪念馆内的标志性建筑某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量纪念碑的高度如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得纪念碑最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为．

求纪念碑最高点距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，；
“景点简介”显示，纪念碑的高度为，象征会师时间在年请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

20.  本小题分
国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

已知用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同．
求的值；
若超市购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

21.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

求抛物线的表达式．
抛物线的对称轴与轴交于点，长为的线段点位于点的上方在轴上方的抛物线的对称轴上运动，求的最小值．

22.  本小题分
如图，已知点是上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，
求的半径；
求的长．

23.  本小题分
某数学兴趣小组对一个数学问题的探究过程如下，请仔细阅读，并解答相应问题．
【问题】如图，中，，，为边上一个动点，连接，过点作，垂足为点，为线段上一点，且，过点作交直线于点，判断线段，，的数量关系．
【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段，，的长度随的长度变化而变化，但他们并没有发现明显规律．
【实验】他们借助电脑软件根据点在上的不同位置，测量线段，，，的长度，得到下表的几组对应值．

请根据以上信息，完成下列问题．
【猜想】线段，，的数量关系为        ．
【证明】请证明上述猜想．
【拓展】上述问题中，若为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，其他条件不变，当时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，
由图形可知，与“”字相对的字是“向”．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题考查了立体图形与平面图形，掌握正方体的空间图形，从相对面入手是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意，
故选：．
根据完全平方公式，二次根式的加减法，幂的乘方，同底数幂的除法法则，分别判断即可．
本题考查了完全平方公式，二次根式的加减法，幂的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当，即时，，
令，则，
解得，
此时函数的图象与轴只有一个交点，
当时，
二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
解得．
综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为或．
故选：．
分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
C、四边形是矩形，
，，

，
矩形为正方形，故不符合题意；
D、，
，
矩形是正方形，故不符合题意．
故选：．
根据正方形的判定方法即可一一判断．
本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的结果有种，
抽取的这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的这两张卡片正面汉字恰好是“中”和“华”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，是小菱形，
对角线垂直，
，

由题意知，，，
设小菱形的边长为，，，
，
故选：．
过作于，利用菱形的性质和三角函数解答即可．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，载盘台所载质量越大，传感器的阻值越小，故A选项正确，不符合题意；
由图可知，当时，的阻值为，故B选项正确，不符合题意；
当时，的阻值为，
电路中的总电阻，
，
提示器会发出提示音，故C选项错误，符合题意；
当时，
电路中的总电阻，
，
提示器会发出提示音，故D选项正确，不符合题意．
故选：．
根据图象即可判断、选项；根据图象可得当时，的阻值为，则电路中的总电阻，再根据计算出电流，和比较即可判断选项；根据据计算出电流，和比较即可判断选项．
本题主要考查函数与图象，理解题意，从图中获取需要的信息，并进行准确地计算是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使代数式有意义，只需，
，
则实数的取值范围是，
故答案为：．
根据分式的分母不能为零求解即可．
本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是抛物线上两点，
，，
解得：，，
即抛物线的解析式为：，
故抛物线的顶点坐标是：，
故答案为：．
把、代入抛物线，求出，的值，得出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式即可得出结论．
本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
      连接，由扇形面积三角形面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得，
，
，
在和中，
≌，
，
时，作，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
设，则，由翻折得：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分可证得，则≌，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程，有一定难度．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】先算立方根，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；
先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，再把除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】     

【解析】解：，解得，
九年级测试成绩的中位数，
九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比为，
，
故答案为：；；；
八年级学生心理健康状况更好，理由如下：
八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级；
估计这两个年级心理健康的学生一共有人．
根据中位数的定义可得、的值，先求出九年级测试成绩分数不低于分的人数所占百分比可得的值；
可从中位数、平均数角度分析求解；
用总人数乘以样本中、等级人数占被调查人数的比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，优秀率，掌握众数、中位数以及平均数的定义和优秀率的意义是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
是菱形，，且，，
可得，，
点在反比例函数的图象上，
，
将点代入，
；
，的值分别为和；
由可知一次函数解析式为
，
令，可得直线与轴交点为为，如图

作垂直轴，垂足为，与轴交点为，为的高，为的高

，，，代入上式

答：三角形面积为． 

【解析】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；
求出直线与轴的交点，把所求三角形分割成两个共底的小三角形，然后分别求出面积，其和可得的面积这里考察的的是面积求法中的割法．
 

19.【答案】解：过作于，交的延长线于，
则四边形和四边形是矩形，
，，，
设，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得，
，
，
答：纪念碑最高点距离地面的高度约为；
误差为，
可多次测量，取测量数据的平均值． 

【解析】过作于，交的延长线于，根据矩形的性质得到，，，设，解直角三角形即可得到结论；根据题意列式计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知：
，
解得：；
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为，
由题意可知：
，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，即，
在中，，则随的增大而减小，
当时，最大，且为元，
购进甲种水果千克，则乙种水果千克，获得最大利润元． 

【解析】根据用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为，列出关于的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，求出的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
 

21.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的表达式为；
在中，当时，，
点坐标为，
将点向下平移至，使，
连接，交抛物线对称轴与点，如图所示：

，，
四边形是平行四边形，
，
，
、、三点共线，
此时，最小，最小值为，
，，
，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】把，两点代入抛物线解方程组求出，即可；
将向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴于，可知四边形是平行四边形，及得，而，，共线，故此时最小，最小值为的值，由勾股定理可得，即得最小值为．
本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，轴对称最短线路问题，求出抛物线解析式是解题关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接．
，，
，，
是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：设，
，
，
，
，
的半径为；
在中，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
负根已经舍去，
． 

【解析】如图，连接是的切线；只要证明即可；
根据，构建方程求解即可；
证明∽，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：猜想：．
故答案为：；

证明：如图中，过点作于点．

，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；

解：如图中，当点在线段上时，设，

在中，，
，
解得负根已经舍去，
，，
，，
∽，
，
．
如图中，当点在的延长线上时，设，

在中，则有，
解得负根已经舍去，
，，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或．
根据表格信息，可得猜想；
如图中，过点作于点证明≌，推出，可得结论；
分两种情形：如图中，当点在线段上时，设，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解．如图中，当点在的延长线上时，设，同法可求．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．