2023-2024学年浙江省金华市义乌市丹溪中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省金华市义乌市丹溪中学八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图甲是杭州亚运会的吉祥物宸宸，下列图案能用原图平移得到(    )

A.
B.
C.
D.

2.下面从左到右的变形中，因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.下列图形中与不是同位角的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.明明家今年月份的用电量情况如图所示，则相邻两个月用电量变化最大的是(    )

A. 月至月 B. 月至月 C. 月至月 D. 月至月

5.下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.若方程的两个解是，，则，的值为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.如图，下列推理中正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

8.某班有人，分个学习小组，若每组人，则余下人；若每组人，则不足人，求全班人数及分组数．正确的方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，交于点，的角平分线与的外角的角平分线交于点，则与、的数量关系为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.因式分解： ______ ．

12.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

13.某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，其中成绩在分及以上的学生有______ 人

14.若，，则的值为______ ．

15.，，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于，的分式是完美对称式，则：
          ；
若完美对称式满足：，且，则          用含的代数式表示．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为______ ．

17.本小题分
计算：
化简：

18.本小题分
解方程组
解分式方程：

19.本小题分

阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；
如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

20.本小题分
某校在“体育、艺术”活动中，决定开设：乒乓球，：篮球，：跑步，：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：
求样本中喜欢项目的人数百分比以及所在扇形统计图中的圆心角的度数；
把条形统计图补充完整；
已知该校有人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少．

21.本小题分

已知：如图，，．
判断与的位置关系，并说明理由；
若于点，，求的度数．

22.本小题分
某厂接到任务需完成台空调的安装．由于时间要求高，该厂没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人，生产开始后发现：名熟练工人和名新工人每天共安装台空调；名熟练工人每天装的空调数与名新工人每天安装空调数一样多．
求名熟练工人和名新工人天一共可以安装多少台空调；
若公司原有熟练工人，现招聘名新工人均不为，为了刚好天完成安装任务，你有哪几种方案？

23.本小题分
如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，．
用含，，的代数式分别表示，．
若，且，求的值．
若，试说明是完全平方式．
 

24.本小题分
数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：
【论证】如图，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为请完成上述说理过程．
【应用】如图，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．
求的度数；
设，请用的代数式表示．
【拓展】如图，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止设运动时间为秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由旋转得到，故此选项不符合题意；
B、可以由原图案通过平移得到，故此选项符合题意；
C、可以由旋转得到，故此选项不符合题意；
D、图案与原图案形状不同，故此选项不符合题意．
故选：．
根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．

2.【答案】 

【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不能分解因式，不符合题意；
C、原式，不能分解因式，不符合题意；
D、原式，是整式的运算，，不符合题意；
故选：．
用提取公因式法分解因式；
不能分解因式；
不能分解因式；
是整式的运算．
本题考查了公式法分解因式，掌握因式分解与整式运算的区别是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：，，与是同位角，

与不是同位角，
故选：．
同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

4.【答案】 

【解析】解：月至月，千瓦时，
月至月，千瓦时，
月至月，千瓦时，
月至月，千瓦时，
所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是月至月．
故选：．
根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的用电量的变化值，比较即可得解．
本题考查折线统计图的运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，根据图中信息求出相邻两个月的用电变化量是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：把和代入方程，得
，
解得：，
故选：．
把和代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可．
本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、，
，故选项错误，不符合题意；
B、，
，故选项正确，符合题意；
D、，，故选项错误，不符合题意；
C、，
，故选项错误，不符合题意．
故选：．
结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

8.【答案】 

【解析】解：设全班人数为人，分了个学习小组；
由题意得，若每组人，余下人，；
若每组人，不足人，；
可列出方程组．
故选：．
此题为分配问题，通过设出全班人数及分组数，根据题中给出的条件列出二元一次方程求解．
此题考查了学生如何在应用题中列二元一次方程求解的能力，学生需要有清晰的思路，理清题干才能准确答题．

9.【答案】 

【解析】解：如图，

由折叠可得：，
，
．
故选：．
由题意可得，再由平行线的性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．

10.【答案】 

【解析】解：设，，
则有，
可得：，
，
故选：．
设，，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：其中成绩在分及以上的学生有：人．
故答案为：．
用成绩在分及以上的频数相加即可．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：当，时，




，
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

15.【答案】 

【解析】解：分式是完美对称式，
，
整理得：，
，
解得：，
故答案为：；
由得，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据完美对称式的定义进行求解即可；
根据完美对称式的定义，结合所给的条件进行求解即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是理解清楚完美对称式的定义，并对相应的运算法则的掌握．

16.【答案】 

【解析】解：，关于对称，所以和全等，
，，
设，则．
，
在中，，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，解得．
的长为．
能够根据轴对称的性质得到相关的线段之间的关系．再根据勾股定理进行计算．
特别注意轴对称的性质以及熟练运用勾股定理．

17.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】根据任何非零数的零次幂等于以及负整数指数幂的定义计算即可；
根据单项式乘多项式以及平方差公式化简即可．
本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：，
，

，
；
设，，
，
，
两正方形的面积和，
，
阴影部分面积． 

【解析】先求的值，再求的值；
先设，，再将已知及所求都用，表示后进行求解．
本题考查学生对完全平方公式的熟练计算，以及转化求解的能力．

20.【答案】解：喜欢项目的人数所占的百分比是：，
对应的扇形圆心角度数是：；

抽取的总人数是：人，
喜欢项目的人数是：人，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：估计全校喜欢乒乓球的人数是人． 

【解析】用减去其它项目的百分比即可求得喜欢项目的百分比，然后乘以即可求得对应的扇形圆心角的度数；
根据喜欢项目的有人，所占的百分比是即可求得调查的总人数，进而求得喜欢项目的人数，即可补全统计图；
利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】解：，
理由如下：
，
，
，
又，
，
；

，，
，
由知，
，
，
又，
，
． 

【解析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
求出度数，根据平行线的性质求出度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．

22.【答案】解：设名熟练工人天可以安装台空调，名新工人天可以安装台空调，
由题意可得：，
解得：，
台，
答：名熟练工人和名新工人天一共可以安装台空调；
由题意可得：，
，
，为正整数，
，或，，
答：两种方案：公司有名熟练工人，需招聘名新工人；公司有名熟练工人，需招聘名新工人． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
设名熟练工人天可以安装台空调，名新工人天可以安装台空调，由题意列出方程组，即可求解；
由题意列出方程，即可求解．

23.【答案】解：，
．
，．
．
，
，
．
当时，，
，


．
是完全平方式． 

【解析】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是求解本题的关键．
通过，计算．
先找到，的关系，再计算．
根据完全平方公式的特征判断．

24.【答案】论证：
证明：延长至，过点作，

，，
，
，
即三角形的内角和为．
应用：
解：如图，

，
，
是的角平分线，
，
，
又，，
，
，
；
是的角平分线，
，
在中，，
，，
，即，
，
，
，
，
；
拓展：

当旋转一周运动停止，
总时间秒，
与重合时再以原速返回，
重合时间为秒，此时，延长交于点，
在前秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至，
又当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至，
在前秒内，与仅一次平行，即与重合时，些时秒．
同理，后秒，由逐渐增至，由逐渐增至，与仅可能一次平行，
有，
解得，
秒，
综上，的值为秒或秒． 

【解析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；
应用：利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的性质即可求解；在中，，由三角形的外角性质推出，结合的结论得到，据此计算即可求解．
拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为秒，与重合时间为秒，分在前秒内和后秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可．
本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．