【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第7章 简单几何体（知识考点）讲义

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  知识点一：多面体1．棱柱(1)棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点(2)棱柱的分类①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.(3)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是矩形． 2．棱锥(1)棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD底面：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点(2)棱锥的分类①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.(3)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 知识点二：旋转体1．圆柱定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边2．圆锥定义以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边3．球球面及球的定义　球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合图示及相关概念球心：形成球面的半圆的圆心半径：连接球面上一点和球心的线段直径：连接球面上两点且通过球心的线段大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 知识点三：简单几何体的表面积和体积          (1)柱体、锥体的表面积①直棱柱、正棱锥的侧面积：S直棱柱侧＝Ch， S正棱锥侧＝ Ch′(其中C为底面周长，h为高，h′为斜高)．②圆柱、圆锥的侧面积：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl (其中r为底面半径，l为母线长)．③柱的表面积等于侧面积与两个底面积的和，锥体的表面积等于侧面积与一个底面积的和．(2)柱体、锥体的体积①棱柱、棱锥的体积：V棱柱＝Sh， V棱锥＝Sh (其中S为底面积，h为高)．②圆柱、圆锥的体积：V圆柱＝πr2h， V圆锥＝πr2h  (其中r为底面圆的半径，h为高)．(3)球的表面积与体积①半径为R的球的表面积S球＝4πR2． ②半径为R的球的体积V球＝πR3.(4)球的截面的性质①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式： .知识点四：空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90° 且∠yOz＝90° ．②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．  考点一 柱体的表面积和体积1．若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正方体的棱长为x，则，即，所以正方体的全面积为，故选：A.2．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，所以，所以圆柱的体积为，选：C.3．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，所以该三棱柱底面棱长为，高为，所以该正三棱柱的体积为： ，故选：C.4．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】D【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为，故选：D5．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为          .【答案】【解析】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，所以所以外接球的表面积，故答案为：．6．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（       ）A．12 B．48 C．64 D．72【答案】D【解析】六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高，棱柱的侧面积，故选：D考点二 锥体的表面积和体积7． 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为，因此，该正四棱锥的体积为，故选：A．8．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（    ）．A． B．2 C． D．【答案】D【解析】如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，故圆锥的侧面积为，故选：D.9．若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（         ）A． B． C． D．【答案】C【解析】作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3,圆锥的母线AC=5，所以圆锥的侧面积为，故选：C.10．如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（       ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积，三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=，故选：A.11．求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．【答案】【解析】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为.12．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.【答案】　π【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为×2＝π，所以2πr＝π，所以r＝，所以底面圆的面积为π，所以圆锥的表面积为π.考点三 球体的表面积和体积13． 正方体的内切球和外接球的体积之比为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的内切球的直径即正方体的棱长，所以内切球的半径，体积，因为正方体的外接球的直径即正方体的体对角线，所以外接球的半径，体积，则内切球和外接球的体积之比为，故选：A.14．已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（    ）A．         B．         C．         D．【答案】B【解析】由题，设三个球的半径分别为，则由题，，故，故表面积之比，故选：B.15．若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（      ）A．倍       B．倍       C．倍       D．倍【答案】C【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选C.16．长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（       ）A．           B．56π           C．14π        D．16π【答案】C【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得，∴长方体的体对角线长为，∴其外接球的半径为，∴．故选：C17．用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ）A．1        B．2        C．        D．【答案】C【解析】根据截面面积为可知：截面圆的半径，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为故选：C 18．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为            ．【答案】【解析】长方体外接球的直径为，所以外接球半径为，所以球的体积为，故答案为：考点四 空间几何体的三视图、直观图19．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（       ）①平行的线段在直观图中仍然平行；  ②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；   ④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确； 对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，变为原来的，所以②错误； 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是和，所以③错误； 对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．20．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　   　) 【答案】A【解析】利用排除法求解．B的侧视图不对，C图的俯视图不对，D的正视图不对，排除B，C，D，A正确，故选A.21．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) 【答案】B【解析】所给选项中，A，C选项的俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合，故选B. 22．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，，故选：A23．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为（    ）A．           B．         C．     D．【答案】D【解析】∵三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，∴直观图的面积是=，∵=，∴原三角形的面积为=，故选D．24．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为___________．【答案】【解析】如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图，从图②可知，A′B′=AB=2，O′C′=OC=，C′D′=O′C′sin45°=×=，所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×2×=．故答案为：．