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2022-2023学年四川省达州市渠县清溪中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省达州市渠县清溪中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州市渠县清溪中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”(如图)在重庆璧山正式运行，“云巴”在轨道上的运行可以看作是( )
A. 对称
B. 旋转
C. 平移
D. 跳跃
2. 分式x2−xx−1的值为零，则x等于( )
A. 1 B. −1 C. 0 D. 0或1
3. 如图所示，在数轴上表示不等式正确的是( )
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
4. 下列说法错误的是( )
A. 若a>b，则a+3>b+3 B. 若a>b，则3−2a<3−2b
C. 若ac2
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
6. 把多项式m(a−2)+(a−2)分解因式等于( )
A. m(a−2) B. (a−2)(m+1) C. m(a+2) D. (m−1)(a−2)
7. 下列命题中是真命题的是( )
A. 一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B. 若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D. 三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE.若AC=8，△AOE的周长为9，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 17 B. 20 C. 26 D. 34
9. 已知不等式ax+b<0的解是x>−2，下列有可能是函数y=ax+b的图象的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE//BD，AE与CB的延长线交于点E，连接DE交AB于点F，连接CF，下列结论：①BC=12EC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF=∠BCF，则∠ABC=90°；④若DF=FC，则△DCE是直角三角形.其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算：7582−2422=______．
12. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC.若AB=AC=26cm，D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD的长为______ cm．
13. 如图，∠1，∠2，∠3分别为四边形ABCD的外角.判断下列大小关系：①∠1+∠3=∠ABC+∠D；②∠1+∠3<∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3=360°；④∠1+∠2+∠3>360°.其中正确的是______ .(填序号)
14. 如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为______ 个.
15. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM=PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变，其中正确的为 (请填写正确结论前面的序号)．
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)解分式方程：1−xx−2−1=32−x；
(2)解不等式组2x−7<−3(1−x)5−x+42≥x，并把解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
先化简：(x2x−1−x−1)÷x+2x2−2x+1，再从−2.−1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
18. (本小题6.0分)
已知关于x的分式方程m+xx+2=2的解为正数，求m的取值范围．
19. (本小题10.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,5)，B(6,3)，C(2,1)均在格点上．
(1)画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b.(a
21. (本小题8.0分)
已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
22. (本小题10.0分)
为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示.经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元．
甲型
乙型
价格(单位：元/台)
a
b
有效监控半径(单位：米/台)
100
150
(1)求a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
(3)在(2)购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，点E在AC上，且AE=DE，过点B作BF//AC交ED的延长线于点F．
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)求证：E是AC的中点；
(3)若BD=3，BF=2.5，则四边形ABFE的面积为______ ．
24. (本小题12.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．
(1)如图1，A(4,0)，下列各点中，线段OA的中垂点是______ ．
Q1(0,4)，Q2，(2,−4)，Q3(1, 3)
(2)如图2，点A为x轴上一点，若Q(2,2 3)为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是______ 和______ ，两者的距离是______ ．
(3)若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P(0,m)在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ= ______ (用含m的式子表示).并求出∠MQA(写出简单思路即可)．
25. (本小题12.0分)
综合与实践：
动手操作：某校八(1)班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板DOE(DOE=90°,∠E=30°)的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC(∠C=90°,AC=BC)斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．
发现结论：
(1)如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q(规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动)，他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP=CQ的理由；
②若AB=12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
(2)如图2，连接CD，当AB=12cm，DE=14cm时，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移．
故选：C．
根据平移的定义判断即可．
本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点(可以在物体外)的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：分式x2−xx−1的值为零，
则x2−x=0且x−1≠0，
解得：x=0．
故选：C．
直接利用分式的值为零，其分子为零分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，得：x<1，
故选：A．
根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】D
【解析】解：∵a>b，
∴a+3>b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴3−2a<3−2b，
∴选项B不符合题意；
∵若ac20，
∴ac2c2
∵若a0)，ab>1(b<0)，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：由旋转可知，AC′=AC，∠C′AC=30°，
∴∠AC′C=∠ACC′=12(180−30)°=75°，
故选：D．
先由旋转得到AC′=AC，∠C′AC=30°，再根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：原式=(a−2)(m+1)．
故选：B．
首先找出公因式(a−2)，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：一组边和任一组锐角对应相等的两个直角三角形全等，故A是假命题，不符合题意；
若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm或17cm，故B是假命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，故C是真命题，符合题意；
三角形中三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的定义，平行四边形的对称性和三角形外心的性质等分别判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
8.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC=12AC，
∵点E是AD中点，
∴AE=ED=12AD，OE是△ACD的中位线，
∴OE=12CD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=2(AO+OE+AE)，
∵△AOE的周长=AO+OE+AE=9，
∴AC+AD+CD=18，
∵AC=8，
∴AD+CD=18−8=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=20，
故选：B．
根据平行四边形的对角线互相平分，得到O是AC的中点，进而得到OE为△ACD的中位线，得到△ACD的周长是△AOE的周长的2倍，用△ACD的周长减去AC的长，得到AD+CD的长，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵不等式ax+b<0的解是x>−2，
∴直线y=ax+b与x轴交点为(−2,0)且y随x增大而减小，
故选：C．
由不等式ax+b<0的解是x>−2可得直线y=ax+b与x轴交点为(−2,0)且y随x增大而减小，进而求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，
又∵AE//BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
故②正确，符合题意；
∴AD=EB，
∴EB=BC，
∵EC=EB+BC，
∴BC=12EC，
故①正确，符合题意；
∵AD//EC，
∴∠ADF=∠FEC，
∵∠ADF=∠BCF，
∴∠FEC=∠BCF，
∴FE=FC，
又∵BC=BE，
∴FB⊥BC，
即∠ABC=90°，
故③正确，符合题意；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴DF=EF，
∵DF=FC，
∴EF=FC，
∴∠ABC=90°，
∵AB//CD，
∴∠DCE+∠ABC=180°，
∴∠DCE=90°，
∴△DCE是直角三角形，
故④正确，符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定判断求解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
11.【答案】516000
【解析】解：7582−2422=(758+242)×(758−242)
=1000×516
=516000．
故答案为：516000．
直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵AB=AC=26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AD=12AB=12×26=13(cm)，
故答案为：13．
由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=90°，再由含30°角的直角三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】①
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠1=∠ABD+∠ADB，∠3=∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3=∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC=∠ABC+∠ADC，
故①正确，②不正确；
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3<360°，
故③④不正确．
故答案为：①．
根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
此题考查了多边形的内角与外角，构造三角形的外角是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：如图：
分三种情况：
当MP=MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP=NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM=PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故答案为：5．
分三种情况：当MP=MN时，当NP=NM时，当PM=PN时，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE，
∴OM+ON为定值，故③②正确，
在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，
∵PM的长度是变化的，
∴MN的长度是变化的，故错误，
故答案为：①③④．
作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)方程两边都乘以x−2得
1−x−(x−2)=−3，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的根为x=3；
(2)2x−7<−3(1−x)①5−x+42≥x②，
解不等式①，得x>−4，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为−4
【解析】(1)观察可得最简公分母是(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(2)先分别求得每个不等式的解集，再找到其公共解集即可．
本题考查解不等式组及解分式方程．用到的知识点为：解不等式组应找到两个不等式的公共解集；分式方程必须验根．
17.【答案】解：(x2x−1−x−1)÷x+2x2−2x+1
=x2−(x+1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x+2
=x2−x2+1x−1⋅(x−1)2x+2
=1x−1⋅(x−1)2x+2
=x−1x+2，
∵当x=1或−2时，原分式无意义，
∴x可以取−1或0，
当x=0时，原式=0−10+2=−12．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从−2.−1，0，1中挑一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：方程两边同乘(x+2)得：
m+x=2x+4，
解得：x=m−4，
根据分式方程的解为正数，得到m−4>0，且m−4≠−2，
解得：m>4，
∴m的取值范围为m>4．
【解析】表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
此题考查的是分式方程的解，能够正确求得分式方程的解是解决此题关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C即为所求，A2(−2,4)；
(3)∵A(5,5)，B(6,3)，
∴BA= (6−1)2+(3−5)2= 5，
∴线段BA在旋转过程中扫过的面积为90π×( 5)2360=54π.
【解析】(1)根据平移的性质即可画出图形；
(2)根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
(3)由勾股定理得BA= 5，再代入扇形面积公式即可．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】解：如图，△ABC为所作．
【解析】若高为底边上的高：在直线l上取点D，作l′⊥l于D，在l′上截取AD=a，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．若高为腰上的高：先作AB=b，再作AB的垂中平分线得到AB的中点，接着以AB为直径作圆，再圆上截取BD=a，然后在AD的延长线上(DA的反向延长线上)截取AC=b，则△ABC满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAM=∠FCN，
又∵AD//BC，
∴∠E=∠F．
∵在△AEM与△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN(ASA)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =//CD，
又由(1)得AM=CN，
∴BM =//DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【解析】(1)先根据平行四边形的性质可得出AD//BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM =//DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
22.【答案】解：(1)根据题意，b−a=1503a−2b=150，
解得a=450b=600，
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台．
根据题意，得450x+600(15−x)≤7200，
解得x≥12．
答：至少购买甲型设备12台．
(3)根据题意，得100x+150(15−x)≥1600．
解得x≤13，
∴12≤x≤13．
∴x的取值为12或13．
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备3台；所需资金为450×12+600×3=7200(元)；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台；所需资金为450×13+600×2=7050(元)．
∵7200>7050，
∴方案二省钱．
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【解析】(1)根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出答案；
(3)由(2)的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】12
【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB//EF，
∵BF//AC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
(2)证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD=12BC，
∵DE//AB，
∴AECB=BDCD=1，
∴AE=CE，
∴E是AC的中点；
(3)解：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴CE=AE=BF=2.5，
∴AC=5，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵CD=BD=3，
∴AD= AC2−CD2= 52−32=4，BC=3+3=6，
∵BF//CE，
∴∠C=∠DBF，∠DEC=∠F，
在△DCE与△DBF中，
∠DEC=∠F∠C=∠DBFCD=BD，
∴△DCE≌△DBF(AAS)，
∴S△DCE=S△DBF，
∴S▱ABFE=S△DBF+S四边形ABDE
=S△DCE+S四边形ABDE
=S△ABC
=12BC⋅AD
=12×6×4
=12．
(1)根据角平分线定义，结合已知条件易得∠BAD=∠ADE，则AB//EF，然后结合已知条件，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
(2)结合已知条件，根据三线合一及平行线分线段成比例即可证得结论；
(3)利用平行四边形性质及线段中点的定义可得AC=5，然后利用三线合一及勾股定理求得AD的长度，再利用平行线性质及全等三角形的判定及性质易证得S△DCE=S△DBF，最后利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积后利用三角形面积公式即可求得答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积．
24.【答案】Q2 A(4,0) Q′(−2,2 3) 4 3 m
【解析】解：(1)∵若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；
∴Q在MN的垂直平分线上，
∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A(4,0)，O(0,0)，
∴线段OA的中垂点横坐标为2，
∴Q2(2,−4)符合题意，
故答案为Q2．
(2)如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
∴A(4,0)，Q′(−2,2 3)，
AQ′= 62+(2 3)2=4 3，
故答案为：A(4,0)，Q′(−2,2 3)，4 3．
(3)如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．
∵点Q为线段OA的“完美中垂点”，
∴△AOQ是等边三角形，
∴∠OAQ=∠PAM=60°，
∴∠OAP=∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
AO=AQ∠OAP=∠QAMAP=AM
∴△OAP≌△QAM(SAS)，
∴OP=QM=m，∠AOP=∠AQM=90°，
故答案为：m，90°．
(1)由“中垂点”定义可求解．
(2)如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
(3)如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM.利用全等三角形的性质求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)①理由是：连接CO，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，
∴CO=AO=12AB；∠BCO=∠A=45°，CO⊥AB，
∵∠AOP+∠COP=∠COP+∠COQ=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中，
∠OCQ=∠AOC=OA∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ(ASA)，
∴AP=CQ；
即：AP与CQ的长总相等；
②∵△AOP≌△COQ，
∴S△AOP=S△COQ，
∴S四边形CPOQ=S△COQ+S△COP=S△AOP+S△COP=S△AOC，
∵S△AOC=12S△ABC=12×12×12×6=18，
∴S四边形CPOQ=18
即：四边形OPCQ的面积总是一个定值为18；
(2)如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，
∵∠DOE=90°，∠E=30°，DE=14cm，
∴OD=12DE=7cm，
∵AB=12cm，
∴OC=12AB=6cm，
∴线段CD长的最小值为OD−OC=1cm；
如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，
∵∠DOE=90°，∠E=30°，DE=14cm，
∴OD=12DE=7cm，
∵AB=12cm，
∴OC=12AB=6cm，
∴线段CD长的最大值为OD+OC=7+6=13(cm)．
【解析】(1)①连接CO，根据等腰直角三角形的性质得到CO=AO=12AB；∠BCO=∠A=45°，CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到AP=CQ；
②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(2)如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
2022-2023学年四川省达州市渠县清溪中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 历时7年研发建设完成，拥有100%自主知识产权的“云巴”(如图)在重庆璧山正式运行，“云巴”在轨道上的运行可以看作是( )
A. 对称
B. 旋转
C. 平移
D. 跳跃
2. 分式x2−xx−1的值为零，则x等于( )
A. 1 B. −1 C. 0 D. 0或1
3. 如图所示，在数轴上表示不等式正确的是( )
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
4. 下列说法错误的是( )
A. 若a>b，则a+3>b+3 B. 若a>b，则3−2a<3−2b
C. 若ac2
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
6. 把多项式m(a−2)+(a−2)分解因式等于( )
A. m(a−2) B. (a−2)(m+1) C. m(a+2) D. (m−1)(a−2)
7. 下列命题中是真命题的是( )
A. 一组边、一组角对应相等的两个直角三角形全等
B. 若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm
C. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D. 三角形中三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等
8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE.若AC=8，△AOE的周长为9，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 17 B. 20 C. 26 D. 34
9. 已知不等式ax+b<0的解是x>−2，下列有可能是函数y=ax+b的图象的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE//BD，AE与CB的延长线交于点E，连接DE交AB于点F，连接CF，下列结论：①BC=12EC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF=∠BCF，则∠ABC=90°；④若DF=FC，则△DCE是直角三角形.其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算：7582−2422=______．
12. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC.若AB=AC=26cm，D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD的长为______ cm．
13. 如图，∠1，∠2，∠3分别为四边形ABCD的外角.判断下列大小关系：①∠1+∠3=∠ABC+∠D；②∠1+∠3<∠ABC+∠D；③∠1+∠2+∠3=360°；④∠1+∠2+∠3>360°.其中正确的是______ .(填序号)
14. 如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为______ 个.
15. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM=PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变，其中正确的为 (请填写正确结论前面的序号)．
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)解分式方程：1−xx−2−1=32−x；
(2)解不等式组2x−7<−3(1−x)5−x+42≥x，并把解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
先化简：(x2x−1−x−1)÷x+2x2−2x+1，再从−2.−1，0，1中挑一个自己喜欢的整数代入求值．
18. (本小题6.0分)
已知关于x的分式方程m+xx+2=2的解为正数，求m的取值范围．
19. (本小题10.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,5)，B(6,3)，C(2,1)均在格点上．
(1)画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A2B2C，并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，直接写出线段BA在旋转过程中扫过的面积．
20. (本小题8.0分)
如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b.(a
21. (本小题8.0分)
已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
22. (本小题10.0分)
为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示.经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元．
甲型
乙型
价格(单位：元/台)
a
b
有效监控半径(单位：米/台)
100
150
(1)求a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
(3)在(2)购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，点E在AC上，且AE=DE，过点B作BF//AC交ED的延长线于点F．
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)求证：E是AC的中点；
(3)若BD=3，BF=2.5，则四边形ABFE的面积为______ ．
24. (本小题12.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：
若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．
(1)如图1，A(4,0)，下列各点中，线段OA的中垂点是______ ．
Q1(0,4)，Q2，(2,−4)，Q3(1, 3)
(2)如图2，点A为x轴上一点，若Q(2,2 3)为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是______ 和______ ，两者的距离是______ ．
(3)若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P(0,m)在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ= ______ (用含m的式子表示).并求出∠MQA(写出简单思路即可)．
25. (本小题12.0分)
综合与实践：
动手操作：某校八(1)班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板DOE(DOE=90°,∠E=30°)的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC(∠C=90°,AC=BC)斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．
发现结论：
(1)如图1，三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q(规定：此时点P，Q均在边AC，BC上运动)，他们在旋转过程中，发现线段AP与CQ的长总相等及四边形OPCQ的面积不会发生变化．
问题解决：①请你帮他们说明AP=CQ的理由；
②若AB=12cm，请你帮他们求出四边形OPCQ的面积．
拓展延申：
(2)如图2，连接CD，当AB=12cm，DE=14cm时，那么直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段CD长的最小值和最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移．
故选：C．
根据平移的定义判断即可．
本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点(可以在物体外)的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：分式x2−xx−1的值为零，
则x2−x=0且x−1≠0，
解得：x=0．
故选：C．
直接利用分式的值为零，其分子为零分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，得：x<1，
故选：A．
根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】D
【解析】解：∵a>b，
∴a+3>b+3，
∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴−2a<−2b，
∴3−2a<3−2b，
∴选项B不符合题意；
∵若ac2
∴ac2c2
∵若a
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】D
【解析】解：由旋转可知，AC′=AC，∠C′AC=30°，
∴∠AC′C=∠ACC′=12(180−30)°=75°，
故选：D．
先由旋转得到AC′=AC，∠C′AC=30°，再根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：原式=(a−2)(m+1)．
故选：B．
首先找出公因式(a−2)，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：一组边和任一组锐角对应相等的两个直角三角形全等，故A是假命题，不符合题意；
若等腰三角形的两边长分别为5cm，6cm，则该等腰三角形的周长是16cm或17cm，故B是假命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，故C是真命题，符合题意；
三角形中三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的定义，平行四边形的对称性和三角形外心的性质等分别判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
8.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC=12AC，
∵点E是AD中点，
∴AE=ED=12AD，OE是△ACD的中位线，
∴OE=12CD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=2(AO+OE+AE)，
∵△AOE的周长=AO+OE+AE=9，
∴AC+AD+CD=18，
∵AC=8，
∴AD+CD=18−8=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=20，
故选：B．
根据平行四边形的对角线互相平分，得到O是AC的中点，进而得到OE为△ACD的中位线，得到△ACD的周长是△AOE的周长的2倍，用△ACD的周长减去AC的长，得到AD+CD的长，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵不等式ax+b<0的解是x>−2，
∴直线y=ax+b与x轴交点为(−2,0)且y随x增大而减小，
故选：C．
由不等式ax+b<0的解是x>−2可得直线y=ax+b与x轴交点为(−2,0)且y随x增大而减小，进而求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，
又∵AE//BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
故②正确，符合题意；
∴AD=EB，
∴EB=BC，
∵EC=EB+BC，
∴BC=12EC，
故①正确，符合题意；
∵AD//EC，
∴∠ADF=∠FEC，
∵∠ADF=∠BCF，
∴∠FEC=∠BCF，
∴FE=FC，
又∵BC=BE，
∴FB⊥BC，
即∠ABC=90°，
故③正确，符合题意；
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴DF=EF，
∵DF=FC，
∴EF=FC，
∴∠ABC=90°，
∵AB//CD，
∴∠DCE+∠ABC=180°，
∴∠DCE=90°，
∴△DCE是直角三角形，
故④正确，符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定判断求解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
11.【答案】516000
【解析】解：7582−2422=(758+242)×(758−242)
=1000×516
=516000．
故答案为：516000．
直接利用平方差公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12.【答案】13
【解析】解：∵AB=AC=26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AD=12AB=12×26=13(cm)，
故答案为：13．
由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB=90°，再由含30°角的直角三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】①
【解析】解：如图，连接BD，
∵∠1=∠ABD+∠ADB，∠3=∠DBC+∠BDC，
∴∠1+∠3=∠ABD+∠ADB+∠DBC+∠BDC=∠ABC+∠ADC，
故①正确，②不正确；
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3<360°，
故③④不正确．
故答案为：①．
根据多边形的外角和是360°及三角形的外角定理求解判断即可．
此题考查了多边形的内角与外角，构造三角形的外角是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：如图：
分三种情况：
当MP=MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP=NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM=PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故答案为：5．
分三种情况：当MP=MN时，当NP=NM时，当PM=PN时，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE，
∴OM+ON为定值，故③②正确，
在旋转过程中，△PMN是顶角不变的等腰三角形，
∵PM的长度是变化的，
∴MN的长度是变化的，故错误，
故答案为：①③④．
作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)方程两边都乘以x−2得
1−x−(x−2)=−3，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的根为x=3；
(2)2x−7<−3(1−x)①5−x+42≥x②，
解不等式①，得x>−4，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为−4
【解析】(1)观察可得最简公分母是(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(2)先分别求得每个不等式的解集，再找到其公共解集即可．
本题考查解不等式组及解分式方程．用到的知识点为：解不等式组应找到两个不等式的公共解集；分式方程必须验根．
17.【答案】解：(x2x−1−x−1)÷x+2x2−2x+1
=x2−(x+1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x+2
=x2−x2+1x−1⋅(x−1)2x+2
=1x−1⋅(x−1)2x+2
=x−1x+2，
∵当x=1或−2时，原分式无意义，
∴x可以取−1或0，
当x=0时，原式=0−10+2=−12．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从−2.−1，0，1中挑一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：方程两边同乘(x+2)得：
m+x=2x+4，
解得：x=m−4，
根据分式方程的解为正数，得到m−4>0，且m−4≠−2，
解得：m>4，
∴m的取值范围为m>4．
【解析】表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
此题考查的是分式方程的解，能够正确求得分式方程的解是解决此题关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C即为所求，A2(−2,4)；
(3)∵A(5,5)，B(6,3)，
∴BA= (6−1)2+(3−5)2= 5，
∴线段BA在旋转过程中扫过的面积为90π×( 5)2360=54π.
【解析】(1)根据平移的性质即可画出图形；
(2)根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点A2的坐标；
(3)由勾股定理得BA= 5，再代入扇形面积公式即可．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
20.【答案】解：如图，△ABC为所作．
【解析】若高为底边上的高：在直线l上取点D，作l′⊥l于D，在l′上截取AD=a，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．若高为腰上的高：先作AB=b，再作AB的垂中平分线得到AB的中点，接着以AB为直径作圆，再圆上截取BD=a，然后在AD的延长线上(DA的反向延长线上)截取AC=b，则△ABC满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAM=∠FCN，
又∵AD//BC，
∴∠E=∠F．
∵在△AEM与△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN(ASA)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =//CD，
又由(1)得AM=CN，
∴BM =//DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【解析】(1)先根据平行四边形的性质可得出AD//BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM =//DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
22.【答案】解：(1)根据题意，b−a=1503a−2b=150，
解得a=450b=600，
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台．
根据题意，得450x+600(15−x)≤7200，
解得x≥12．
答：至少购买甲型设备12台．
(3)根据题意，得100x+150(15−x)≥1600．
解得x≤13，
∴12≤x≤13．
∴x的取值为12或13．
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备3台；所需资金为450×12+600×3=7200(元)；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台；所需资金为450×13+600×2=7050(元)．
∵7200>7050，
∴方案二省钱．
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台．
【解析】(1)根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买甲型设备x台，则购买乙型设备(15−x)台，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出答案；
(3)由(2)的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】12
【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB//EF，
∵BF//AC，
∴四边形ABFE是平行四边形；
(2)证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD=12BC，
∵DE//AB，
∴AECB=BDCD=1，
∴AE=CE，
∴E是AC的中点；
(3)解：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴CE=AE=BF=2.5，
∴AC=5，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵CD=BD=3，
∴AD= AC2−CD2= 52−32=4，BC=3+3=6，
∵BF//CE，
∴∠C=∠DBF，∠DEC=∠F，
在△DCE与△DBF中，
∠DEC=∠F∠C=∠DBFCD=BD，
∴△DCE≌△DBF(AAS)，
∴S△DCE=S△DBF，
∴S▱ABFE=S△DBF+S四边形ABDE
=S△DCE+S四边形ABDE
=S△ABC
=12BC⋅AD
=12×6×4
=12．
(1)根据角平分线定义，结合已知条件易得∠BAD=∠ADE，则AB//EF，然后结合已知条件，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论；
(2)结合已知条件，根据三线合一及平行线分线段成比例即可证得结论；
(3)利用平行四边形性质及线段中点的定义可得AC=5，然后利用三线合一及勾股定理求得AD的长度，再利用平行线性质及全等三角形的判定及性质易证得S△DCE=S△DBF，最后利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积后利用三角形面积公式即可求得答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用面积的和差将平行四边形ABFE的面积转化成△ABC的面积．
24.【答案】Q2 A(4,0) Q′(−2,2 3) 4 3 m
【解析】解：(1)∵若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；
∴Q在MN的垂直平分线上，
∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A(4,0)，O(0,0)，
∴线段OA的中垂点横坐标为2，
∴Q2(2,−4)符合题意，
故答案为Q2．
(2)如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
∴A(4,0)，Q′(−2,2 3)，
AQ′= 62+(2 3)2=4 3，
故答案为：A(4,0)，Q′(−2,2 3)，4 3．
(3)如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM．
∵点Q为线段OA的“完美中垂点”，
∴△AOQ是等边三角形，
∴∠OAQ=∠PAM=60°，
∴∠OAP=∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
AO=AQ∠OAP=∠QAMAP=AM
∴△OAP≌△QAM(SAS)，
∴OP=QM=m，∠AOP=∠AQM=90°，
故答案为：m，90°．
(1)由“中垂点”定义可求解．
(2)如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，
(3)如图3中，以PA为边，向上作等边三角形PAM，连接QM.利用全等三角形的性质求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)①理由是：连接CO，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，
∴CO=AO=12AB；∠BCO=∠A=45°，CO⊥AB，
∵∠AOP+∠COP=∠COP+∠COQ=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中，
∠OCQ=∠AOC=OA∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ(ASA)，
∴AP=CQ；
即：AP与CQ的长总相等；
②∵△AOP≌△COQ，
∴S△AOP=S△COQ，
∴S四边形CPOQ=S△COQ+S△COP=S△AOP+S△COP=S△AOC，
∵S△AOC=12S△ABC=12×12×12×6=18，
∴S四边形CPOQ=18
即：四边形OPCQ的面积总是一个定值为18；
(2)如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，
∵∠DOE=90°，∠E=30°，DE=14cm，
∴OD=12DE=7cm，
∵AB=12cm，
∴OC=12AB=6cm，
∴线段CD长的最小值为OD−OC=1cm；
如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，
∵∠DOE=90°，∠E=30°，DE=14cm，
∴OD=12DE=7cm，
∵AB=12cm，
∴OC=12AB=6cm，
∴线段CD长的最大值为OD+OC=7+6=13(cm)．
【解析】(1)①连接CO，根据等腰直角三角形的性质得到CO=AO=12AB；∠BCO=∠A=45°，CO⊥AB，根据全等三角形的性质得到AP=CQ；
②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(2)如图2，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段CD长的最小，如图3，当点D，C，O在一条直线上，且点O在点D和点C之间时，线段CD长的最大，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
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